考研数学二真题
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2023年2月18日发(作者：猫的资料简介)2016考研数学二真题及解析
2016年考研数学二真题及解析
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸
．．．
指定的位置上.
(1)设
1
(cos1)axx,3
2
ln(1)axx,3
3
11ax.当0x时,以上3个无穷小
量按照从低阶到高阶的排序是()
(A)
123
,,aaa.(B)
231
,,aaa.
(C)
213
,,aaa.(D)
321
,,aaa.
【答】应选B
【解】2
12
1
~xa，
5
6
2
~ax
，xa
3
1
~3，则
321
,,aaa从低阶到高阶排列应为
132
,,aaa。
(2)已知函数
2(1),1,
()
ln,1,
xx
fx
xx
则()fx的一个原函数是
(A)
2(1),1
()
(ln1),1
xx
Fx
xxx
(B)
2(1),1
()
(ln1)1,1
xx
Fx
xxx
(C)
2(1),1
()
(ln1)1,1
xx
Fx
xxx
(D)
2(1),1
()
(ln1)1,1
xx
Fx
xxx
【答】应选D.
【解】由于原函数一定是连续，可知函数Fx在1x连续，而A、B、C中
的函数在1x处均不连续,故选D.
(3)反常积分
1
0
2
1
dxex
x①
，
1
+
2
0
1
dxex
x
②的敛散性为
（A）①收敛，②收敛.（B）①收敛，②发散.
（C）①收敛，②收敛.（D）①收敛，②发散.
【答】应选B.
【解】
1
1
0
11
0
2
xxedxe
x
,故1收敛.
0
11
0
2
1
xxedxe
x
，由于
1
0
limx
x
e
，故2发散.
2016考研数学二真题及解析
(4)设函数()fx在(,)内连续，其导函数的图形如图所示，则()
（A）函数()fx有2个极值点，曲线()yfx有2个拐点.
（B）函数()fx有2个极值点，曲线()yfx有3个拐点.
（C）函数()fx有3个极值点，曲线()yfx有1个拐点.
（D）函数()fx有3个极值点，曲线()yfx有2个拐点.
【答】应选（B）
【解】由图可知曲线有两个点左右两边导数符号不一样，有三个点左右两边导函数单调
性不一样，故有2个极值点，3个拐点.
(5)设函数()(1,2)
i
fxi具有二阶连续导数，且
0
()0(1,2)
i
fxi
，若两条曲线
()(1,2)
i
yfxi在点
00
(,)xy处具有公切线()ygx，且在该点处曲线
1
()yfx的
曲率大于曲线
2
()yfx的曲率，则在
0
x的某个领域内，有
（A）
12
()()()fxfxgx（B）
21
()()()fxfxgx
（C）
12
()()()fxgxfx（D）
21
()()()fxgxfx
【答】应选A
【解】由于()0
i
fx
可知，)(
1
xf与)(
2
xf均为凸函数，可知)(
1
xfy，)(
2
xfy的
图像均在其切线下方，故)()(),(
21
xgxfxf，由曲率公式
2
3
2
2
2
2
2
3
2
1
1
1
))((1
)(
,
))((1
)(
xf
xf
k
xf
xf
k，由
21
kk可知，
1020
()()fxfx
，则
)()(
21
xfxf.
(6)已知函数
(,)
xe
fxy
xy
，则
（A）
0
xy
ff
（B）
0
xy
ff
2016考研数学二真题及解析
（C）
xy
fff
（D）
xy
fff
【答】应选(D)
【解】
22
,,
xxx
xyxy
eee
fffff
xy
xyxy
.
(7)设A,B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是
（A）TA与TB相似
（B）1A与1B相似
（C）TAA与TBB相似
（D）1AA与1BB相似
【答】应选(C).
【解】因为A与B相似，所以存在可逆矩阵P，使得1,PAPB两端取转置与逆可得：
1
TTTTPAPB,111PAPB,111PAAPBB,可知A、B、D均正
确,故选择C.
(8)设二次型222
3
(,,)()222fxxxaxxxxxxxxx的正、负惯性指数分别
为1,2，则
（A）1a（B）2a
（C）21a（D）1a与2a
【答】应选(C)
【解】二次型矩阵为
11
11
11
a
a
a
，其特征值为1,1,2aaa，可知10,20aa，
即21a，故选择(C)
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)曲线
3
2
2
arctan(1)
1
x
yx
x
的斜渐近线方程为.
【答】应填
2
xy.
【解】由1lim
x
y
n
知1k,又
2
)1arctan(lim
1
lim))1arctan(
1
(limlim2
2
2
2
3
x
x
x
xx
x
x
xy
nnnn
2016考研数学二真题及解析
则斜渐近线方程为
2
xy.
(10)极限
2
112
lim(sin2sinsin)
n
n
n
nnnn
.
【答】应填cos1sin1.
【解】
22
11
11211
limsin2sinsinlimsinlimsin
nn
nnn
ii
niii
ni
nnnnnnnnn
111
000
1
sincoscoscosdcos1sin1
0
xxdxxdxxxxx.
(11)以2xyxe和2yx为特解的一阶非齐次线性微分方程为___________.
【答】应填
yy22xx.
【解】由线性微分方程解的性质可知xxeexx)(22为齐次方程的解，可知齐次方程为
0yy
.非齐次方程为)(xfyy
，将2xy代入可得:22)(xxxf,故方程为
yy22xx.
(12)已知函数()fx在(,)上连续，且2
0
()(1)2()dxfxxftt，则当2n时，
()(0)nf.
【答】应填125n
【解】)(2)1(2)(,1)0(xfxxff
，则)(22)(,4)0(xfxff
，则10)0(
f.
两边同时求2n阶导可得
)(2)()1()(xfxfnn.则
12)1()(25)0(2)0(2)0(
nnnnfff.
(13)已知动点P在曲线3yx上运动，记坐标原点与点P间的距离为l.若点P的横坐标时
间的变化率为常数
0
v，则当点P运动到点(1,1)时,l对时间的变化率是.
【答】应填
0
22v
【解】
62
5
0
62
5
62
3
,
3
,
xx
xx
v
dt
dx
dx
dl
dt
dl
xx
xx
dx
dl
xxl
,则
0
d
22
d
l
v
t
.
2016考研数学二真题及解析
(14)设矩阵
11
11
11
a
a
a
与
110
011
101
等价，则a.
【答】应填2.
【解】
110110110
011011011
101011000
，可知，
110
0112
101
r
从而，
11
112
11
a
ra
a
，可知，2a
三、解答题：（15～23小题，共94分.）
(15)（本题满分10分）求极限4
1
0
lim(cos22sin)x
x
xxx
.
【解】由重要极限得,原式为
24
34
44
444
000
111
1
12221()
()
cos22sin1
2246
1
3
limlimlim
3xxx
xxxxxox
xox
xxx
xxxeeee
.
(16)（本题满分10分）设函数
1
22
0
()d(0)fxtxtx，求()fx
并求()fx的最小值.
【解】01x时，1
222232
0
41
()
33
x
x
fxxtdttxdtxx
当1x时，1
222
0
1
()
3
fxxtdtx.
所以
32
2
41
,01
33
()
1
,1
3
xxx
fx
xx
,从而
2
'
42,01
()
2,1
xxx
fx
xx
,
由导数的定义可知'(1)2,f，可知
2
'
42,01
()
2,1
xxx
fx
xx
易知，当
1
0,
2
x
时，'()0fx；当
1
,1
2
x
时，'()0fx；当1,x时，
'()0fx.可知，()fx的最小值为
11
24
f
.
2016考研数学二真题及解析
(17)（本题满分10分）已知函数(,)zzxy由方程22()ln2(1)0xyzzxy确定，
求(,)zzxy的极值.
【解】
22
22
1
2201
1
2202
zz
xzxy
xzx
zz
yzxy
yzy
令0
zz
xy
得
11
,xy
zz
代入方程可得，
2
ln20z
z
。解得，
1z
，故
1xy。
方程(1),(2)两边再同时求导,得
2
22
22
222
22
22
2
2
22
22
222
11
2220
11
220
11
2220
zzzzz
zxxxy
xxxzxzx
zzzzzz
xyxy
yxxyzyxzxy
zzzzz
zyyxy
yyyzyzy
将1,1,1,0
zz
xyz
xy
代入,可得
1,11,11,1
222
22
22
,0,,
33
zzz
ABC
xxyy
由20,0ACBA可知，1,11Z为极大值。
(18)（本题满分10分）设D是由直线1y,yx,yx围成的有界区域,计算二重积分
22
22
dd
D
xxyy
xy
xy
.
【解】积分区域如图所示：
2016考研数学二真题及解析
由对称性可知，
1
2222
2222
2
DD
xxyyxy
dxdydxdy
xyxy
（
1
D为D在第一象限的部分）
1
1
22
22
2sin
22
0
4
2
2
4
cossin
1
cot1
2
1
24
D
xy
dxdydrdr
xy
d
故
22
22
1
2
D
xxyy
dxdy
xy
(19)（本题满分10分）已知
1
()xyxe，
2
()()xyxuxe是二阶微分方程
(21)(21)20xyxyy
的两个解，若(1)ue，(0)1u，求()ux，并写
出该微分方程的通解.
【解】
2
'''xxxyuxeuxeuxuxe，2
''''2'xyeuxuxux
所以21''2'21'20xxxxeuxuxuxxuxuxeuxe
所以21''23'0xuxxux
解得
12
21xuxCxeC，由于1,01ueu
所以21xuxxe
原方程通解为
1122
yxCyxCyx
(20)（本题满分11分）设D是由曲线21(01)yxx与
3
3
cos
0
2
sin
xt
t
yt
围成的
平面区域，求D绕
x
轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积.
【解】（1）
12
VVV
1
V
为21yx绕
x
轴旋转一周所得旋转体体积；
2
V
为
3
3
cos
0
2
sin
xt
t
yt
绕
x
轴旋
转一周所得旋转体体积。
1
2
3
V
2016考研数学二真题及解析
1
263
2
2
00
62
2
0
72
2
0
79
22
00
sincos
sin3cossin
3sin1sin
3sinsin
642864216
3
7539753105
Vydxtdt
tttdt
ttdt
tdttdt
所以
12
21618
310535
VVV
（2）
12
SSS，其中
1
S分别为两函数绕
x
轴的旋转体侧面积
1
2S
3
2
2
0
6
2sin3sincos
5
Stttdt
616
2
55
S
(21)（本题满分11分）已知()fx在
3
[0,]
2
上连续，在
3
(0,)
2
内是函数
cos
23
x
x
的一个原
函数(0)0f.
(Ⅰ)求()fx在区间
3
[0,]
2
上的平均值；
(Ⅰ)证明()fx在区间
3
(0,)
2
内存在唯一零点.
【答】(Ⅰ)由题设可知
0
cos3
,0,
232
xt
fxx
t
3
333
2
222
000
0
333cos1
222232
x
fxdxfxdxxfxxdx
x
则fx在区间
3
0,
2
上的平均值
3
2
0
1
3
3
2
fxdx
k
(Ⅰ)0,0,
2
fxx
，
3
0,,
22
fxx
从而fx在0,
2
单减，在
2016考研数学二真题及解析
3
,
22
单增，注意到00,0
2
ff
3
2
0
3cos
223
t
fdt
t
33
22
22
00
22
coscoscoscos1
0
2323222
tttt
dtdtdtdt
tt
,
从而fx在
3
0,
2
上有唯一实根
11
22
xxfxee.
(22)（本题满分11分）设矩阵
111
10
111
a
a
aa
A，
0
1
22a
β，且方程组Axβ无
解.
(Ⅰ)求
a
的值；
(Ⅰ)求方程组TTAAxAβ的通解.
【解】(Ⅰ)
2
1110
01210
0022
a
Aa
aaa
，方程组Ax无解，可知0a。
(Ⅰ)
322
222
222
TAA
,
1
2
2
TA
32211001
22220112
22220000
TTAAA
，则通解为
01
12,
10
kkR
(23)（本题满分11分）已知矩阵
011
230
000
A
.
(Ⅰ)求99A
;
(Ⅰ)设3阶矩阵
123
(,,)Bααα
满足2BBA。记100
123
(,,)Bβββ，将
123
,,βββ分
别表示为
123
,,ααα
的线性组合.
2016考研数学二真题及解析
【解】(Ⅰ)2
11
23032
00
EA
，可知A的特征值为：0,1,2.
3
10
011
2
230011
000000
A
，则0的特征向量为
3
2
2
111110
220001
001000
AE
，则1的特征向量为
1
1
0
1
10
211
2
2210001
002000
AE
，则2的特征向量为
1
2
0
令
311
212
200
P
，则1
0
1
2
PAP
,1APP,
则有
99991
99
1
00
3110
2
2121212
20021
11
2
APP
999998
10010099
221222
221222
000
.
(Ⅰ)2BBA可知10099BBA，即
999998
10010099
123123
221222
221222
000
，
则99100
112
2222，99100
212
1212，
2016考研数学二真题及解析
9899
312
2222.