无穷小量的性质
世界观与方法论-西洋乐器有哪些
2023年2月18日发(作者：中国书法简史)等价无穷小性质的理解、延拓及应用
【摘要】等价无穷小具有很好的性质，灵活运用这些性质，无论是在在求极限的运算
中，还是在正项级数的敛散性判断中，都可取到预想不到的效果，能达到罗比塔法则所不能
取代的作用。通过举例，对比了不同情况下等价无穷小的应用以及在应用过程中应注意的一
些性质条件，不仅使这些原本复杂的问题简单化，而且可避免出现错误地应用等价无穷小。
【关键词】等价无穷小极限罗比塔法则正项级数比较审敛法
等价无穷小概念是高等数学中最基本的概念之一，但在高等数学中等价无穷小的性质仅仅在
“无穷小的比较”中出现过，其他地方似乎都未涉及到。其实，在判断广义积分、级数的敛
散性，特别是在求极限的运算过程中，无穷小具有很好的性质，掌握并充分利用好它的性质，
往往会使一些复杂的问题简单化，可起到事半功倍的效果，反之，则会错误百出，有时还很
难判断错在什么地方。因此，有必要对等价无穷小的性质进行深刻地认识和理解，以便恰当
运用，达到简化运算的目的。
1等价无穷小的概念及其重要性质［1］
无穷小的定义是以极限的形式来定义的，当x→x0时(或x→∞)时，limf(x)=0，则称函数
f(x)当x→x0时(或x→∞)时为无穷小。
当limβα=1，就说β与α是等价无穷小。
常见性质有：
设α,α′,β,β′,γ等均为同一自变量变化过程中的无穷小，①若α～α′,β～
β′，且limα′β′存在，则limαβ=limα′β′②若α～β，β～γ，则α～γ
性质①表明等价无穷小量的商的极限求法。性质②表明等价无穷小的传递性若能运用极限的
运算法则，可继续拓展出下列结论：
③若α～α′,β～β′，且limβα=c(≠-1)，则αβ～α′β′
证明：∵limαβα′β′=lim1βαα′αβ′α′=lim1c1
αα′·βα·β′β
=lim1c1c=1∴αβ～α′β′
而学生则往往在性质(3)的应用上忽略了“limβα=c(≠-1)”这个条件，千篇一律认为
“α～α′,β～β′，则有αβ～α′β′
④若α～α′,β～β′，且limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′存在，则当
Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0且limAα±BβCα±Dβ存在，有
limAα±BβCα±Dβ=limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′
此性质的证明见文献［2］，性质③、④在加减法运算的求极限中就使等价无穷小的代
换有了可能性，从而大大地简化了计算。但要注意条件“limβα=c(≠-1)”，
“Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0”的使用。
2等价无穷小的应用
2.1在求极限中经常用到的等价无穷小有x～sinx～arcsinx～tanx～arctanx～ln(1
x)～ex-1,1-cosx～12x2,n1x～1xn,(x→0)
例1limx→0tanx-sinxx3
解：原式=limx→0sinx(1-cosx)x3cosx
=limx→0x·12x2x3(∵sinx～x,1-cosx～x22)
=12
此题也可用罗比塔法则做，但不能用性质④做。
∵tanx-sinxx3=x-xx3=0，不满足性质④的条件，否则得出错误结论0。
例2limx→0e2x-31xxsinx2
解：原式=limx→0e2x-1-(31x-1)xx2=limx→02x-13xx(1x)=53
用性质④直接将等价无穷小代换进去，也可用罗比塔法则做。
例3limx→0(1x2-cot2x)
解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x
=limx→0(sinxxcosx)(sinx-xcosx)x4
=limx→0x2(1cosx)(1-cosx)x4(∵sinx～x)
=limx→0(1cosx)(1-cosx)x2
=limx→012x2·(1cosx)x2=1
解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x
=limx→0(tanxx)(tanx-x)x4
=limx→02x(tanx-x)x44(∵tanx～x)
=limx→02(tanx-x)x3=limx→02(sec2x-1)3x2
=23limx→0tan2xx2=23(∵tanx～x)
两种解法的结果不同，哪一种正确呢？可以发现解法1错了，根源在于错用
sinx-xcosx～x-xcosx(注意limx→0sinx-xcosx=-1),由性质③sinx-xcosx并不等价于
x-xcosx。从解法2又可以看到尽管罗比塔法则是求极限的一个有力工具，但往往需要几
种方法结合起来运用，特别是恰当适时地运用等价无穷小的代换，能使运算简便，很快得出
结果。
2.2在正项级数的审敛判别法中，用得比较多的是比较审敛法的极限形式，它也是无穷
小的一个应用。
比较审敛法的极限形式：设∑∞n=1un和∑∞n=1vn都是正项级数，①如果
limn→∞unvn=l(0≤l<∞)，且级数∑∞n=1vn收敛，则级数∑∞n=1un收敛。
②如果limn→∞unvn=l>0或limn→∞unvn=∞，且级数∑∞n=1vn发散，则级数
∑∞n=1un发散。当l=1时，∑un，∑vn就是等价无穷小。由比较审敛法的极限形式知，∑un
与∑vn同敛散性，只要已知∑un，∑vn中某一个的敛散性,就可以找到另一个的敛散性。
例4判定∑∞n=11n2-lnn的敛散性
解：∵limn→∞1n2-lnn1n2=limn→∞n2n2-lnn=1又∑1n2收敛∴∑∞n=11n2-lnn收
敛
例5研究∑∞n=11ln(1n)的敛散性
解：limn→∞1ln(1n)1n=limn→∞nln(1n)=1而∑1n发散∴∑∞n=11ln(1n)发散
3等价无穷小无可比拟的作用
以例3看，若直接用罗比塔法则会发现出现以下结果：
原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x=limx→02(secx·tanx-x)2xtan2x2x2tanx·secx
=limx→0secx(tan2x-sec2x)-1tan2x4x·tanx·secxx2secx(sec2xtan2x)式子越变越复
杂，难于求出最后的结果。而解法2适时运用性质①，将分母x2tan2x替换成x4，又将分
子分解因式后进行等价替换，从而很快地求出正确结果。再看一例：
例6［3］limx→0tan(sinx)sin(tanx)
解：原式=limx→0sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx)（用罗比塔法则）
=limx→0sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0sin(tanx)tan(sinx)（分离非零极限
乘积因子）
=limx→0sin(tanx)tan(sinx)（算出非零极限）
=limx→0cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx)（用罗比塔法则）
=limx→0cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0tan(sinx)sin(tanx)
=limx→0tan(sinx)sin(tanx)
出现循环，此时用罗比塔法则求不出结果。怎么办？用等价无穷小代换。
∵x～sinx～tanx(x→0)
∴原式=limx→0xx=1而得解。
由此可看到罗比塔法则并不是万能的，也不一定是最佳的，它的使用具有局限性［3］。只
要充分地掌握好等价无穷小的4条性质就不难求出正确的结论。
【参考文献】
1同济大学应用数学系，主编.高等数学.第5版.北京：高等教育出版社，2002,7（38）：
56～59.
2杨文泰，等.价无穷小量代换定理的推广.甘肃高师学报，2005，10（2）：11～13.
3王斌.用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨.黔西南民族师专学报，2001，12
（4）：56～58.