立体几何公式
图片猜成语-秦致
2023年2月17日发(作者：对数螺线)优质文本
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109．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.
110．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
111．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.
112．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
114．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直.
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a＋b=b＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的
以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
117.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b存在实数λ使a=λb．
PAB、、
三点共线||APABAPtAB(1)OPtOAtOB.
||ABCDAB、CD共线且
ABCD、
不共线ABtCD且
ABCD、
不共线.
118.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对
,xy
,使paxby．
推论空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对
,xy
,使MPxMAyMB，
或对空间任一定点O，有序实数对
,xy
，使OPOMxMAyMB.
119.对空间任一点
O
和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC
（xyzk），则当
1k
时，对于空间任一点
O
，总有P、A、B、C四点共面；当
1k
时，若
O
平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若
O
平面ABC，则P、A、B、C四点不共
面．
CAB、、、D
四点共面AD与AB、AC共面ADxAByAC
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(1)ODxyOAxOByOC（O平面ABC）.
120.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，
y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实
数x，y，z，使OPxOAyOBzOC.
121.射影公式
已知向量AB=a和轴
l
，e是
l
上与
l
同方向的单位向量.作A点在
l
上的射影'A，作B
点在
l
上的射影'B，则
''||cosABAB〈a，e〉=a·e
122.向量的直角坐标运算
设a＝
123
(,,)aaa，b＝
123
(,,)bbb则
(1)a＋b＝
112233
(,,)ababab；
(2)a－b＝
112233
(,,)ababab；
(3)λa＝
123
(,,)aaa(λ∈R)；
(4)a·b＝
112233
ababab；
123.设A
111
(,,)xyz，B
222
(,,)xyz，则
ABOBOA=
212121
(,,)xxyyzz.
124．空间的线线平行或垂直
设
111
(,,)axyz，
222
(,,)bxyz，则
ab(0)abb
12
12
12
xx
yy
zz
；
ab0ab
121212
0xxyyzz.
125.夹角公式
设a＝
123
(,,)aaa，b＝
123
(,,)bbb，则
cos〈a，b〉=112233
222222
123123
ababab
aaabbb
.
推论2222222
3
()()()abababaaabbb，此即三维柯西不等式.
126.四面体的对棱所成的角
四面体
ABCD
中,
AC
与
BD
所成的角为
,则
2222|()()|
cos
2
ABCDBCDA
ACBD
.
127．异面直线所成角
cos|cos,|ab
=121212
222222
111222
||
||
||||
xxyyzz
ab
ab
xyzxyz
（其中
（090）为异面直线
ab,
所成角，,ab分别表示异面直线
ab,
的方向向量）
128.直线
AB
与平面所成角
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sin
||||
ABm
arc
ABm
(m为平面的法向量).
129.若
ABC
所在平面若与过若
AB
的平面成的角
,另两边
AC
,
BC
与平面
成的角分别是
1
、
2
,
AB、
为
ABC
的两个内角，则
22222
12
sinsin(sinsin)sinAB.
特别地,当90ACB时,有
222
12
sinsinsin.
130.若
ABC
所在平面若与过若
AB
的平面成的角,另两边
AC
,
BC
与平面
成的角分别是
1
、
2
,''AB、为
ABO
的两个内角，则
222'2'2
12
tantan(sinsin)tanAB.
特别地,当90AOB时,有
222
12
sinsinsin.
131.二面角l的平面角
cos
||||
mn
arc
mn
或cos
||||
mn
arc
mn
（m，n为平面，的法向量）.
132.三余弦定理
设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为
1
，AB与
AC所成的角为
2
，AO与AC所成的角为．则
12
coscoscos.
133.三射线定理
若夹在平面角为
的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是
1
,
2
,与二面
角的棱所成的角是θ，则有2222
1212
sinsinsinsin2sinsincos;
1212
||180()(当且仅当90时等号成立).
134.空间两点间的距离公式
若A
111
(,,)xyz，B
222
(,,)xyz，则
,AB
d=
||ABABAB222
212121
()()()xxyyzz
.
135.点Q到直线
l
距离
22
1
(||||)()
||
habab
a
(点
P
在直线
l
上，直线
l
的方向向量a=PA，向量
b=PQ).
136.异面直线间的距离
||
||
CDn
d
n
(
12
,ll是两异面直线，其公垂向量为n，
CD、
分别是
12
,ll上任一点，
d
为
12
,ll间的距离).
137.点
B
到平面的距离
||
||
ABn
d
n
（n为平面的法向量，
AB
是经过面的一条斜线，
A
）.
138.异面直线上两点距离公式
2222cosdhmnmn.
222'2cos,dhmnmnEAAF.
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2222cosdhmnmn
（'EAAF）.
(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段'AA的长度为h.在直线a、b上分别取两
点E、F，'AEm,
AFn
,
EFd
).
139.三个向量和的平方公式
222
2()222abcabcabbcca
2222||||cos,2||||cos,2||||cos,abcababbcbccaca
140.长度为
l
的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为
123
lll、、，夹角分
别为
123
、、,则有
2222
123
llll222
123
coscoscos1222
123
sinsinsin2.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
141.面积射影定理
'
cos
S
S
.
(平面多边形及其射影的面积分别是
S
、'S，它们所在平面所成锐二面角的为).
142.斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是
l
,侧面积和体积分别是S
斜棱柱侧
和V
斜棱柱
,它的直截面的周长和
面积分别是
1
c和
1
S,则
①
1
Scl
斜棱柱侧
.
②
1
VSl
斜棱柱
.
143．作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.
144．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积
的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相
似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的
比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．
145.欧拉定理(欧拉公式)
2VFE
(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
（1）
E
=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F
与棱数E的关系：
1
2
EnF；
（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：
1
2
EmV.
146.球的半径是R，则
其体积3
4
3
VR,
其表面积24SR．
147.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线
长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3)球与正四面体的组合体:
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棱长为a的正四面体的内切球的半径为
6
12
a,外接球的半径为
6
4
a.
148．柱体、锥体的体积
1
3
VSh
柱体
（
S
是柱体的底面积、
h
是柱体的高）.
1
3
VSh
锥体
（
S
是锥体的底面积、
h
是锥体的高）.