反函数例题
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2023年2月17日发(作者：葛新峰)1
大一反函数的经典例题
（范文5篇）
以下是网友分享的关于大一反函数的经典例题的资料5
篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
大一反函数的经典例题（1）
［例1］若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称，
且f(x)=(x-1)(x≤1)，求g(x).选题意图：本题考查互为
反函数的函数的图象间的对称关系.
解：f(x)与g(x)在定义域内互为反函数，
f(x)=(x-1)2(x≤1)的反函数是2
y=1-x(x≥0)，
∴g(x)=1-x(x≥0).
说明：互为反函数的图象关于y=x对称，反之亦然，也是
判断两个函数互为反函数的方法之一，本是f(x)与g(x)
2
互为反函数，要求g(x),只须求f(x)在限定区间上的反函
数即可.
［例2］若点P(1，2)在函数y=ax+b的图象上，又在它
的反函数的图象上，求a,b的值.
选题意图：本题考查反函数的概念，反函数的图象与原函
数图象的对称关系的应用.
解：由题意知P(1，2)在其反函数的图象上，
根据互为反函数的函数图象关于y=x对称的性质，
Ｐ′(2，1)也在函数y=+b的图象上，⎧⎪2=a+b因此：
⎨解得:a=-3,b=7.⎪⎩1=2a+b
说明：引导学生树立创造性思考问题的方式、方法，利用
互为反函
数的图象的对称关系.（１，２）在反函数图象上，则(2，
1)也在原函
数图象上是解决该问题的关键所在，即f(2)=1,这是得到a,
b的另一个
关系式的条件，这样两个条件两个未知数，就可解出a,b
的值.
［例3］已知函数f(x)=(1+x2-1)-2(x≥-2)，求方程f(x)=f
(x)的2
解集.
选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象关于y=x对
3
称的关系，
灵活运用这一关系解决问题的能力.
分析：若先求出f(x)=2x+2-2(x≥-2),再解方程(1+-1
-1图2—8x2)-2=2x+2-2，整理得四2次方程，求解有困
难，但我们可以利用y=f(x)与y=f(x)的图象的关系求解.
先画出
y=f(x)=(1+x2-1)-2的图象，如图，因为y=f(x)的图象
和y=f(x)的图象关于直线y=x对称，2
-1可立即画出y=f(x)的图象，由图象可见两图象恰有两
个交点，且交点在y=x上，因此，由x2⎧⎪y=(1+)-2方程
组⎨联立即可解得.2⎪⎩y=x
解：由函数f(x)=(1+x2)-2(x≥-2)画出图象，如图，由于
函数f(x)的反函数的图象与2
函数f(x)的图象关于y=x对称，故可以画出其反函数图
象(如图)
，由图可知两图象恰有两
x2⎧y=(1+)-2⎪-1个交点且交点都在y=x上.因此，方程
组⎨的解即为f(x)=f(x)的解，于是2⎪⎩y=x
解方程组得x=-2或x=2,从而方程f(x)=f(x)的解集为
｛-2,2｝.
说明：解决本题的关键是，根据互为反函数的图象关于y=x
对称，若两个函数有交点，则交点必在直线y=x上，由此，
4
将要解的两个较复杂的方程组转化为直线y=x与其中-1y
=(1+
x2)-２一个方程组的解的问题.2
大一反函数的经典例题（2）
［例1］下列各组函数中，不互为反函数的是()．．．．．．
1
(x-3)21
B.f(x)=2x+3,g(y)=(y-3)
2
A.f(x)=2x+3,g(x)=C.f(x)=x,g(x)=x
2
D.f(x)=x(x＜0),g(x)=-x(x＞0)
2
选题意图：本题主要考查函数的反函数的有关概念，判断
互为反函数的两个函数必须满足的条件：即函数解析式之间
的关系是互相能确定x、y，定义域与值域之间的关系，是
否是一个函数的定义域和值域分别是另一个函数的值域和
定义域.
解析：由f(x)=x的定义域为x∈R，而值域为y≥0;g
(x)=x的定义域为x≥0，而值
5
2
域为y≥0.由反函数的概念知反函数的定义域和值域正是
原函数的值域和定义域推得它们不能互为反函数.
说明：注意例1是判断不互为反函数的命题，否定互为反
函数的三条件之一即不是反函数.
［例2］判断函数y=x-x有无反函数?如果有，求出其反
函数.
选题意图：加深函数有无反函数判断的理解以及熟悉求反
函数的方法与步骤.
解：判断函数y=f(x)有无反函数，根据反函数的概念，
应该判断：对每个确定的y的(可能取到)值，是否有惟一
确定的x值与之相对应.由y=x-x
1
12
-12
-1，得∴
(x)-y⋅x-1=0
112
2
12
①.
6
2
11y±y2+4y-y+4
x=,,x0,∴x=舍去,
22
y+y2+4y2+yy2+4∴x=,∴x=+1∴每一个确定的y值，
对应着(即只能
22
1
求出)一个x,∴ｘ是y的函数，即y=x-x
1-1有反函数，，由上面过程，易见反函数为
x2+xx2+4x2+xx2+4
，值域为(0，y=+1,且f(x)=y=+1的定义域是(x∈Ｒ）
22
＋∞).
说明：上述过程包含着：对于任意实数y的取值方程①必
有根，因此x2-x
1
1
-12
可以取
到任意实数即函数y=x-x的值域为（－∞，＋∞），所以反
函数的定义域为（－∞，
7
-1
x2+xx2+4
＋∞），恰是函数y=+1的定义域，在这种情况下，可以不
注明函数的定义
2
域，当然原函数y=x-x的值域也可以用以下方法解：当x
=1时，y=0，当0＜ｘ＜１时，0＜x＜1，x
112-12
-1＞1,则y＜０，且当x→0时，x→0,x
12
1-1→+∞,这时y可以取任
12
何负数.当x＞1时，x＞1，0＜x
12
-12
＜1,则y＞0，且当x→＋∞时，x→+∞,x
-12
-12
→0.
这时y可以取任何正数，∴y=x-x的值域为R，即（－
∞，＋∞）.
［例3］已知一次函数y=f(x)的反函数仍是它自己，求f
8
(x).选题意图：本题考查反函数的概念，利用反函数与原函
数的关系分析问题解决问题的能力.
解：设y=f(x)=ax+b(a≠0)，则f
1b
x-,aa1b
ax+b=x-对于一切x都成立，
aa
-1
(x)=
1⎧a=⎪⎧a=1⎧a=-1⎪a∴⎨∴⎨或⎨
⎪-b=b,⎩b=0.⎩b∈R,⎪⎩a
∴f(x)=x或f(x)=-x+b(b∈R).
说明：利用互为反函数的条件判断或证明某个或某两个函
数是互为反函数的基本方法，此题是一个特殊函数的反函数
的证明，希望读者掌握这种证明方法和思路.
大一反函数的经典例题（3）
函数的性质、反函数函数的单调性例题
例1-5-1下列函数中，属于增函数的是
[]
9
解D
例1-5-2若一次函数y=kx+b(k≠0)在(-∞，+∞)上是单调
递减函数，则点(k，b)在直角坐标平面的[]
A．上半平面B．下半平面
C．左半平面D．右半平面
解C因为k＜0，b∈R．
例1-5-3函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函
数，则实数a的取值范围是[]
A．a≥3B．a≤-3
C．a≤5D．a=-3
解B因抛物线开口向上，对称轴方程为x=1-a，所以1-a
≥4，即a≤-3．
例1-5-4已知f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x)
[]
A．在区间(-1，0)内是减函数
B．在区间(0，1)内是减函数
C．在区间(-2，0)内是增函数
D．在区间(0，2)内是增函数
解Ag(x)=-(x2-1)2+9．画出草图可知g(x)在(-1，0)上是
减函数．
10
+bx在(0，+∞)上是______函数(选填“增”或“减”)．
解[-2，1]
大一反函数的经典例题（4）
反函数例题讲解
例1．下列函数中，没有反函数的是
(A)y=x2－1（x1）2
()
(B)y=x3+1（x∈R）(D)y=⎨
⎧2x-2(x≥2)，
-4x(xx
（x∈R，x≠1）x-1
分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质
决定．
判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代
数角度入手，可试解以y表示x的式子；从几何角度入手，
可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特
例指出不存在反函数．
本题应选（D）．因为若y=4，则由⎨
11
⎧2x-2=4，
得x=3．
x≥2⎩
由⎨
⎧-4x=4，
得x=－1．
x∴（D）中函数没有反函数．如果作出y=⎨
⎧2x-2(x≥2)，
的图像（如图），依图
-4x(x更易判断它没有反函数．
例2．求函数y=1--x2（－1≤x≤0）的反函数．解：由y
=1--x2，得：-x2=1-y．
∴1－x2=(1－y)2，
x2=1－(1－y)2=2y－y2．∵－1≤x≤0，故x=-2y-y
2．又当－1≤x≤0时，0≤1－x2≤1，∴0≤-x2≤1，0≤1
－-x2≤1，即0≤y≤1．
∴所求的反函数为y=-2x-x2（0≤x≤1）．
由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要
步骤是：①把给出解析式中的自变量x当作未知数，因变
量y当作系数，求出x=φ(y)．
②求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域；
12
③依习惯，把自变量以x表示，因变量为y表示，改换
x=φ(y)为y=φ(x)．
例3．已知函数f(x)=x2+2x+2（x分析：依据f－1(2)
这一符号的意义，本题可由f(x)先求得f－1(x)，再求f－
1(2)的值（略）．
依据函数与反函数的联系，设f－1(2)=m，则有f(m)
=2．据此求f－
1
(2)的值会简捷些．
令x2+2x+2=2，则得：x2+2x=0．∴x=0或x=
－2．
又x的图像是
（()
（B
（（
分析：作为选择题，当然不必由f(x)求出f－1(x)，再
作出f－1(x)图像，予以比较、判断．
由f(x)=+4x2（x≤0）易得函数f(x)的定义域为(-∞,0]，
值域为
[1,+∞)．于是有函数f
－1
13
(x)的定义域为[1,+∞)，值域为(-∞,0]．依此对给出
图像作检验，显然只有（D）是正确的．
因此本题应选（D）．
例5．给定实数a，a≠0，a≠1，设函数y=
x-11
（x∈R，x≠）．
aax-1
求证：这个函数的图像关于直线y=x成轴对称图形．分
析：本题可用证明此函数与其反函数是同一个函数的思
路．证明：先求给出函数的反函数：
由y=∴
x-11
（x∈R，x≠），得y(ax－1)=x－1．
aax-1
(ay－1)x=y－
1．①
若ay－1=0，则ay=1．又a≠0，故y=
11
．此时由①可有y=1．于是=1，即a=1，aa
这与已知a≠1是矛盾的，故ay－1≠0．则由①得x=
∴函数y=
≠）．
14
由于函数f(x)与f－1(x)的图像关于直线y=x对称，
故函数y=（x∈R且x≠
1
）的图像关于直线y=x成轴对称图形．a
1a
y-11
（y∈R，y≠）．ay-1a
x-11x-1
（x∈R，x≠）的反函数还是y=（x∈R，x
aax-1ax-1
x-1
ax-1
本题证明还可依轴对称的概念进行，即证明：若点P（x，
y）是函数f(x)图像上任一点，则点P关于直线的对称点
Q（y，x）也在函数f(x)的图像上（过程略）．
例题讲解（反函数）
例1．求下列函数的反函数：(1)y=3x－1(x∈R)；(2)
y=x3＋1(x∈R)；(3)y=x+1(x≥0)；(4)y=
2x+3
(x∈R，且x≠1)．x-1
通过本例，使学生掌握求反函数的方法．求反函数时，要
15
强调分三个步骤进行．第一步将y=f(x)看成方程，解出x
=f－1(y)，第二步将x，y互换，得到y=f－1(x)，
第三步求出原函数的值域，作为反函数的定义域．其中第三
步容易被忽略，造成错误．
如第(3)小题，由y=x+1解得x=(y－1)2，再将x，y互
换，得y=(x－1)2．到此以为反函数即y=(x－1)2，这
就错了．必须根据原函数的定义域x≥0，求得值域y≥1，得
到反函数的定义域，于是所求反函数为
y=(x－1)2(x≥1)．例2．求下列函数的反函数：(1)y
=x2－2x－3(x≤0)；
⎧x-1(x≤0)，⎪
(2)y=⎨1
-1(x＞0)．⎪⎩x
通过本例，使学生进一步掌握求反函数的方法，明确求解
中三个步骤缺一不可．
解：(1)由y=x2－2x－3，得y=(x－1)2－4，
即(x－1)2=y＋4，
因为x≤0，所以x-1=-y+4，所以原函数的反函数是
y=1-x+4(x≥－3)．
(2)当x≤0时，得x=y＋1且y≤－1；
当x＞0时，得x=
16
1
且y＞－1，y+1
所以，原函数的反函数是：
x≤－1，x＞－1．
⎧x+1
⎪
y=⎨1
⎪⎩x+1
例题讲解(反函数）
［例1］若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称，
且f(x)=(x-1)2(x≤1)，求g(x).
选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象间的对称关
系.解：f(x)与g(x)在定义域内互为反函数，f(x)=(x-1)
2(x≤1)的反函数是
y=1-x(x≥0)，∴g(x)=1-x(x≥0).
说明：互为反函数的图象关于y=x对称，反之亦然，也是
判断两个函数互为反函数的方法之一，本是f(x)与g(x)
互为反函数，要求g(x),只须求f(x)在限定区间上的反函
数即可.
［例2］若点P(1，2)在函数y=ax+b的图象上，又在它
17
的反函数的图象上，求a,b的值.选题意图：本题考查反函
数的概念，反函数的图象与原函数图象的对称关系的应用.
解：由题意知P(1，2)在其反函数的图象上，
根据互为反函数的函数图象关于y=x对称的性质，
Ｐ′(2，1)也在函数y=ax+b的图象上，
⎧⎪2=a+b
因此：⎨解得:a=-3,b=7.
⎪⎩1=2a+b
说明：引导学生树立创造性思考问题的方式、方法，利用
互为反函数的图象的对称关系.（１，２）在反函数图象上，
则(2，1)也在原函数图象上是解决该问题的关键所在，即f
(2)=1,这是得到a,b的另一个关系式的条件，这样两个条件
两个未知数，就可解出a,b的值.
x
［例3］已知函数f(x)=(1+)2-2(x≥-2)，求方程
2
-1
f(x)=f(x)的解集.
选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象关于y=x对
称的关系，灵活运
图2—8用这一关系解决问题的能力.
x
18
分析：若先求出f-1(x)=2x+2-2(x≥-2),再解方程(1+)
2-2=2x+2-2，
2
整理得四次方程，求解有困难，但我们可以利用y=f(x)与
y=f-1(x)的图象的关系
x
求解.先画出y=f(x)=(1+)2-2的图象，如图，因为y=f(x)
的图象和y=f-1(x)的
2
图象关于直线y=x对称，可立即画出y=f-1(x)的图象，
由图象可见两图象恰有两
x2⎧
y=(1+)-2⎪
个交点，且交点在y=x上，因此，由方程组⎨联立即可解
得.2
⎪⎩y=x
x2
)-2(x≥-2)画出图象，如图，由于函数f(x)的反函2
数的图象与函数f(x)的图象关于y=x对称，故可以画出
其反函数图象(如图)，
解：由函数f(x)=(1+
x2⎧
19
⎪y=(1+)-2
由图可知两图象恰有两个交点且交点都在y=x上.因此，
方程组⎨2
⎪⎩y=x的解即为f(x)=f-1(x)的解，于是解方程组得x
=-2或x=2,从而方程f(x)=f-1(x)
的解集为｛-2,2｝.
说明：解决本题的关键是，根据互为反函数的图象关于y=x
对称，若两个函数有交点，则交点必在直线y=x上，由此，
将要解的两个较复杂的方程组转化为
x2
直线y=x与其中y=(1+)-２一个方程组的解的问题.
2
例题讲解（练习）
例1．函数f(x)=x－x是否存在反函数？说明理由点评：
不存在，∵f(0)=f(－1)=f(1)=0．例2．求下列函数的反函
数．(1)f(x)=
3
6x+5
x-1
(2)y=-x-1
(3)f(x)=x－2x+3，x∈(1，+∞)(4)f(x)=1--x2(－1≤x≤0)
20
点评：(1)f
-1
2
(x)=
2
x+5
(x∈R且x≠6)x-6
(2)f(x)=x+1(x≤0)(3)f(4)f
-1
－1
(x)=
(x)=-
x-2+1(x>2)
-x-1(0≤x≤1)
2
-1
⎧⎪x-1(x≥1)例3．求函数y=⎨的反函数．⎪⎩--x(x2
⎧⎪x+1
点评：反函数为y=⎨2
⎪⎩1-x
(x≥0)
．
21
(x例4．已知f(x)=
3x+2－1
，求f[f(x)]的值．x+1
⎡
点评：f⎢f
⎢⎣
-1
⎛2⎫⎤2
⎪⎥=，注意f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠－1}，值域
为{y|y2⎪2⎝⎭⎥⎦
∈R且y≠－3}．
例5．已知一次函数y=f(x)反函数仍是它自己，试求f(x)
的表达式．分析：设y=f(x)=ax+b(a≠0)，则f(x)=
－1
1
(x－b)．a
⎧1=a⎪⎧a=-1⎧a=11⎪a
由(x－b)=ax+b得⎨或⎨⇒⎨abb∈Rb=0⎩⎩⎪-=b
⎪⎩a
∴f(x)=x或f(x)=－x+b(b∈R)
例6．若函数y=
ax+1
22
在其定义域内存在反函数．4x+3
(1)求a的取值范围；(2)求此函数的值域．解：(1)方法
一：原式可化为4xy+3y=ax+1，
(4y－a)x=1－3y，
aax+1a
≠时，，即
44x+344
解得a≠时原函数有反函数．
3ax+1
方法二：要使y=在其定义域内存在反函数，则需此函数为
非常数函数，
4x+3a14ax+1即≠，所以a≠时函数y=在其定义域内存在
反函数．
3434x+3
当y≠
(2)由y=
ax+1-3y+1
解得x=．4x+34y-a
ax+1-3x+1
的反函数为y=．4x+34x-a-3x+1a∵y=的定义域是{x|x
∈R且x=}
44x-a
23
ax+1a故y=的值域是{y|y∈R且y≠}．
44x+3
∴y=
例7．设函数y=f(x)满足f(x－1)=x－2x+3(x≤0)，
求f(x+1)．解：∵x≤0，则x－1≤－1．
∵f(x－1)=(x－1)+2(x≤0)∴f(x)=x+2(x≤－1)．
由y=x+2(x≤1)解得x=-y-2(y≥3)
2
2
2
2
－1
∴f故f
-1
(x)=-
x-2(x≥3)．x-1(x≥2)．
－1
－1
-1
(x+1)=-
－1
点评：f(x+1)表示以x+1代替反函数f(x)中的x，所以
24
要先求f(x)，再以x+1代x，不能把f(x+1)理解成求f(x
+1)的反函数．习题
1．已知函数f(x)=x－1(x≤－2)，那么f
(4)=______________．2．函数y=－x+x－1(x≤
2
2
－1
－1
1
)的反函数是_________________．2
2⎧1]⎪x-1，x∈(0，
3．函数y=⎨2的反函数为__________________．
⎪⎩x，x∈[-1，0)
4．函数y=5．已知y=x2-2x+3(x≤1)的反函数的定义域
是_____________．
11
x+m与y=nx-是互为反函数，则m=______和n
=________．23
答案1．-
2．y=
1--4x-3⎛⎝
x≤-3⎫2
25
4⎪⎭3．y=⎧⎪⎨x+1，x∈(-1，0]，
⎪⎩-x，x∈(0，
1]
4．2，+∞)
5．1
6
，2
大一反函数的经典例题（5）
反函数求值
例1、设互为反函数，求
有反函数
的值．
，且函数
与
分析：本题对概念要求较强，而且函数不具体，无法通过
算出反函数求解，所以不妨试试“赋值法”，即给变量一些适
当的值看看能得到什么后果．解：设在函数这样即有
，则点的图象上，即
26
，从而
在函数
的图象上，从而点
．由反函数定义有
．
，
小结：利用反函数的概念，在不同式子间建立联系，此题
考查对反函数概念的理解，符号间关系的理解．
两函数互为反函数,确定两函数的解析式
例2若函数的值.
与函数互为反函数，求
分析：常规思路是根据已知条件布列关于布列？如果注意
到g(x)的定义域、值域已知，又义域与值域互换，有如下解
法：
的三元方程组，关键是如何与g(x)互为反函数，其定
解：∵g(x)的定义域为
.
且，
的值域为
又∵g(x)的定义域就是∵g(x)的值域为
的值域,∴
27
,
.
由条件可知∴
.
的定义域是,,
∴
.
令
,则即点(3,1)在的图象上.
又∵与g(x)互为反函数,
的对称点(1,3)必在g(x)的图象上.
∴(3,1)关于
∴3=1+,.
故.
判断是否存在反函数
例3、给出下列函数:
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5).
其中不存在反函数的是__________________.
分析:判断一个函数是否有反函数,从概念上讲即看对函
28
数值域内任意一个,依照这函数的对应法则,自变量总有
唯一确定的值与之对应,由于这种判断难度较大,故通常对
给出的函数的图象进行观察,断定是否具有反函数.
解:(1),(2)都没有问题,对于(3)当
.
对于(4)
时,
和
时,和,
且
.对于(5)当时,和.
故(3),(4),(5)均不存在反函数.
小结:从图象上观察,只要看在相应的区间内是否单调即
可.
求复合函数的反函数
例4、已知函数分析:由于已知是
找到
解:令
,
由
得
29
.于是有
,再由,则
,所求是求出
,,求的反函数.
的反函数,
因此应首先由的表达式,再求反函数.
,,
.
,由于,
又
,的反函数是
.的值域是
,.
小结:此题涉及对抽象函数符号的认识与理解,特别是在
换元过程中,相应变量的取值范围也要随之发生改变,这一
点是学生经常忽略的问题.
原来的函数与反函数解析式相同求系数
例5、已知函数试指出
与其反函数
是同一个一次函数
30
,
的所有取值可能.
的反函数的解析式,
与
分析:此题可以有两种求解思路:一是求解
比较,让对应系数相等,列出关于的方程,二是利用两个
函数
图象的对称性,找对称点,利用点的坐标满足解析式来列
方程.解：由上,于是又于是
知点
在图象上,则点
定在
的图象
(1)过点
(2)
,则点
也在
的图象上,
由(1)得当
或,当
.
时,代入(2),此时(2)恒成立即;
31
代入(2)解得
综上,的所有取值可能有或.
小结:此题是反函数概念与方程思想的综合.在这个题目
中特殊点的选取一般是考虑计算简单方便,而且这种取特殊
点列方程的方法在其他地方也有应用,故对此种方法要引起
重视.另外此题在最后作答时,要求写出的所有取值可能
即要把的取值与的取值搭配在一起,所以解方程组时要
特别小心这一点.选题角度：
反函数图象关系、将反函数问题转化为原函数、利用性质
求解析式、两函数互为反函数，确定两函数的解析式判断是
否存在反函数、求出反函数解析式解关于反函数的不等式、
求复合函数的反函数、由原来函数运算关系证明反函数运
算。