绝对值
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2023年2月13日发(作者：)绝对值基础知识讲解
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绝对值（基础）
【学习目标】
1．掌握一个数的绝对值的求法和性质;
2．进一步学习使用数轴,借助数轴理解绝对值的几何意义；
3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小;
4．理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.
【要点梳理】
要点一、绝对值
1.定义:一般地，数轴上表示数ａ的点与原点的距离叫做数ａ的绝对值，记作|a|．
要点诠释:
（１）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数；0
的绝对值是0．即对于任何有理数a都有:
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离
越远，绝对值越大；离原点的距离越近,绝对值越小．
(3)一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的.
2．性质:绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或０．
要点二、有理数的大小比较
１．数轴法:在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.如：a与b在数轴
上的位置如图所示,则a 2.法则比较法： 两个数比较大小,按数的性质符号分类，情况如下: 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号正数大于负数 －数为0 正数与0:正数大于0 负数与0:负数小于0 要点诠释: 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤:(1）分别计算两数的绝对值；(2)比较绝对值的 大小;(３)判定两数的大小. ３．作差法:设a、ｂ为任意数，若a-ｂ>0，则a>b;若a-ｂ＝０,则a=b;若a－b＜0，a 反之成立. 4.求商法:设ａ、b为任意正数,若1 a b ，则ab;若1 a b ,则ab;若1 a b ,则ab； 反之也成立.若a、b为任意负数，则与上述结论相反. 5．倒数比较法：如果两个数都大于０，那么倒数大的反而小. 【典型例题】 类型一、绝对值的概念 1.求下列各数的绝对值． (0) ||0(0) (0) aa aa aa 绝对值基础知识讲解 2/5 1 1 2 ，-0.3,０, 1 3 2 【思路点拨】 1 1 2 ，-０.3，０, 1 3 2 在数轴上位置距原点有多少个单位长度,这个数字 就是各数的绝对值.还可以用绝对值法则来求解． 【答案与解析】 解法一:因为 1 1 2 到原点距离是 1 1 2 个单位长度，所以 11 11 22 . 因为-０.３到原点距离是0.3个单位长度,所以|-0.3｜＝0.3． 因为0到原点距离为０个单位长度,所以|0|＝0． 因为 1 3 2 到原点的距离是 1 3 2 个单位长度，所以 11 33 22 . 解法二：因为 1 10 2 ，所以 111 111 222 . 因为－0.3＜０,所以|-0.3｜＝-(-０.３)＝0.3. 因为０的绝对值是它本身,所以|0｜=０． 因为 1 30 2 ,所以 11 33 22 . 【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)， 一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法２),后种方法的具体做法为:首先判断这个数是 正数、负数还是０.再根据绝对值的意义,确定去掉绝对值符号的结果是它本身,是它的相反 数,还是０.从而求出该数的绝对值． 2．已知一个数的绝对值等于2009,则这个数是_＿__＿_＿_. 【答案】2０09或-2009 【解析】根据绝对值的定义，到原点的距离是２００9的点有两个,从原点向左侧移动20０9 个单位长度，得到表示数－2009的点；从原点向右侧移动200９个单位长度，得到表示数２ 0０9的点． 【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(１)利用概念;(２)利用数形结合法在数轴上表示 出来.无论哪种方法都要注意若一个数的绝对值是正数,则此数有两个,且互为相反数． 举一反三： 【变式1】求绝对值不大于3的所有整数． 【答案】绝对值不大于3的所有整数有-３、－2、－1、0、1、2、3. 【高清课堂：绝对值比大小3568４５典型例题3】 【变式2】如果｜x|=2，那么x=_＿＿__＿；如果｜-x|＝2，那么ｘ=______. 如果｜x－2|=１，那么x＝;如果|ｘ｜>３,那么x的范围 是． 绝对值基础知识讲解 3/5 【答案】2-2或;2-2或；１或3;x>3或x<-3 【变式３】数轴上的点A到原点的距离是６,则点A表示的数为． 【答案】6或-6 类型二、比较大小 3．比较下列有理数大小：(1)-１和0；(2)－２和｜-3|;(3) 1 3 和 1 2 ； (４)1＿_____0.1 【答案】(1)0大于负数，即-1＜0; (2)先化简｜-３|=3，负数小于正数，所以-2＜3，即-２<|-３|； (３)先化简 11 33 ， 11 22 ， 11 23 ,即 11 32 . (4)先化简11，0.10.1,这是两个负数比较大小：因为11， 0.10.1，而10.1, 所以10.1,即1<0.1 【解析】（２)、(3)、（4)先化简，再运用有理数大小比较法则. 【点评】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行:先求两个负数的绝对值，再比较两 个绝对值的大小,最后根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断． 举一反三： 【高清课堂：绝对值比大小356845典型例题2】 【变式１】比大小： 6 5 3______ 7 6 3；-|－3.２|_＿_＿_＿-(+3．2);０.00０1＿____＿ -1000； 1.38＿_____－１．３84；－π＿_____－3.１４. 【答案】＞；＝；＞;＞；＜ 【变式２】（山东临沂)下列各数中，比-1小的数是（) Ａ．0B．１ﻩC.－2ﻩD．２ 【答案】C 【变式３】数a在数轴上对应点的位置如图所示，则ａ，-ａ,－１的大小关系是（). 绝对值基础知识讲解 4/5 A．-ａ Ｃ.a＜-１<-ａD.ａ<-a＜-1 【答案】C 类型三、绝对值非负性的应用 ４.已知|2-ｍ|+｜n-３|=0,试求ｍ-2n的值. 【思路点拨】由｜ａ|≥０即绝对值的非负性可知，｜2－m｜≥0，|ｎ－３|≥0,而它们的和 为0.所以|2-m｜=0，|n-3|=０．因此，2-m＝0,n-3＝０，所以ｍ=２，n=3. 【答案与解析】因为|2-m|＋|ｎ－３|=0 且｜2-m|≥0,|n-３｜≥0 所以｜2-m|=０,｜ｎ－3｜＝0 即2－m=０，n-3=0 所以m=2，n＝3 故ｍ-２n＝2-2×3＝-4． 【总结升华】若几个数的绝对值的和为0,则每个数都等于0,即|ａ｜+|ｂ|＋…+|m｜=0时， 则a=b=…=m=0. 类型四、绝对值的实际应用ﻩ 5.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是６个足球的质量检测结果， 用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数.检测结果(单位：克）:－２ 5,+1０,－20，+30,＋15，－４0．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由． 【答案】因为|+10|＜|+15|＜|-20|<｜-25｜＜｜＋３0|＜|-40｜,所以检测结果为+10的 足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛. 【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小,则足球的质量越好.这个偏 差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小,反之绝对值越大偏差也就越大． 【点评】绝对值越小,越接近标准. 举一反三: 【变式１】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求,净含量(不含包装）可以有0.002L 的误差.现抽查６瓶食用调和油,超过规定净含量的升数记作正数,不足规定净含量的升数记 作负数.检查结果如下表: +0．0018-0.00２3+0．0025 -０.０015+0.0０１２+0.0010 请用绝对值知识说明： (１)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)? (２)哪一瓶净含量最接近规定的净含量? 【答案】（１)绝对值不超过０.002的有４瓶，分别是检查结果为+0.0018,-0.００15,＋ 0．0012,+0.0010的这四瓶． (2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少,最接近规定的净含量. 【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行,假定向右爬行的路程记为正 数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位:cｍ）依次记为:+5，-３,+1０,- ８，-６，+１2,-1０,在爬行过程中，如果小虫每爬行１cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共 可以得到多少粒芝麻？ 【答案】小虫爬行的总路程为： 绝对值基础知识讲解 5/5 ｜＋5|＋|-3|+|＋10|＋｜-8｜＋｜-6｜＋|+1２|+｜-1０|＝5+３＋10+8+6＋12+1０ =54（cm). 小虫得到的芝麻数为54×2=108(粒).