市北初级中学

市北初级中学

-

2023年2月13日发(作者：)

上海市北初级中学七年级上册压轴题数学模拟试卷及答案

一、压轴题

1．如图，数轴上点

A

表示的数为4，点

B

表示的数为

16

，点

P

从点

A

出发，以每秒

3

个

单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点

Q

从点

B

出发，以每秒

2

个单位长度的速度向

左匀速运动

.

设运动时间为

t

秒

(t0)

．

1A

，

B

两点间的距离等于

______

，线段

AB

的中点表示的数为

______

；

2

用含

t

的代数式表示：

t

秒后，点

P

表示的数为

______

，点

Q

表示的数为

______

；

3

求当

t

为何值时，

1

PQAB

2



？

4

若点

M

为

PA

的中点，点

N

为

PB

的中点，点

P

在运动过程中，线段

MN

的长度是否发

生变化？若变化，请说明理由；若不变请直接写出线段

MN

的长．

2．已知：

A

、

O

、

B

三点在同一条直线上，过

O

点作射线

OC

，使∠

AOC

：

∠BOC

＝1：2，将

一直角三角板的直角顶点放在点

O

处，一边

OM

在射线

OB

上，另一边

ON

在直线

AB

的下

方．

（1）将图1中的三角板绕点

O

按逆时针方向旋转至图2的位置，使得

ON

落在射线

OB

上，此时三角板旋转的角度为度；

（2）继续将图2中的三角板绕点

O

按逆时针方向旋转至图3的位置，使得

ON

在∠

AOC

的

内部．试探究∠

AOM

与∠

NOC

之间满足什么等量关系，并说明理由；

（3）将图1中的三角板绕点

O

按5°每秒的速度沿逆时针方向旋转一周的过程中，当直角

三角板的直角边

OM

所在直线恰好平分∠

BOC

时，时间

t

的值为（直接写结果）．

3．如图①，点

C

在线段

AB

上，图中共有三条线段

AB、AC

和

BC

，若其中有一条线段的长

度是另外一条线段长度的

2

倍，则称点

C

是段

AB

的

“2

倍点

”

．

（1

）线段的中点

__________

这条线段的

“2

倍点

”

；（填

“

是

”

或

“

不是

”）

（2

）若

AB＝15cm

，点

C

是线段

AB

的

“2

倍点

”

．求

AC

的长；

（3

）如图②，已知

AB＝20cm

．动点

P

从点

A

出发，以

2cm

／

s

的速度沿

AB

向点

B

匀速移

动．点

Q

从点

B

出发，以

1cm/s

的速度沿

BA

向点

A

匀速移动．点

P、Q

同时出发，当其

中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为

t（s

），当

t＝_____________s

时，点

Q

恰好是线段

AP

的

“2

倍点

”

．（请直接写出各案

）

4．已知：如图数轴上两点

A

、

B

所对应的数分别为

-3

、

1

，点

P

在数轴上从点

A

出发以每

秒钟

2

个单位长度的速度向右运动，点

Q

在数轴上从点

B

出发以每秒钟

1

个单位长度的速

度向左运动，设点

P

的运动时间为

t

秒．

（

1

）若点

P

和点

Q

同时出发，求点

P

和点

Q

相遇时的位置所对应的数；

（

2

）若点

P

比点

Q

迟

1

秒钟出发，问点

P

出发几秒后，点

P

和点

Q

刚好相距

1

个单位长

度；

（

3

）在（

2

）的条件下，当点

P

和点

Q

刚好相距

1

个单位长度时，数轴上是否存在一个点

C

，使其到点

A

、点

P

和点

Q

这三点的距离和最小，若存在，直接写出点

C

所对应的数，

若不存在，试说明理由．

5．我国著名数学家华罗庚曾经说过，

“

数形结合百般好，隔裂分家万事非．

”

数形结合的思

想方法在数学中应用极为广泛

.

观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图：

用含

n

的式子表示第

n

个图的钢管总数

.

（

分析思路

）

图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法

,

从图形排列中找规律

;

把图形看成几个

部分的组合

,

并保持结构

,

找到每一部分对应的数字规律

,

进而找到整个图形对应的数字规

律．

如

:

要解决上面问题，我们不妨先从特例入手

:(

统一用

S

表示钢管总数

)

（

解决问题

）

(1)

如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗

?

像

n=1、n=2

的情形那样

,

在所给横线上

,

请用数学算式表达你发现的规律

.

S=1+2S=2+3+4___________________________

(2)

其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像

(1)

那样保持结构的、对每

一个所给图形添加分割线，提供与

(1)

不同的分割方式

;

并在所给横线上，请用数学算式表达

你发现的规律

:

_________________________________________________

(3)

用含

n

的式子列式，并计算第

n

个图的钢管总数

.

6．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距

离为10．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从

点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．（1）设运动时间为t（t＞

0）秒，数轴上点B表示的数是，点P表示的数是（用含t的代数式表

示）；（2）若点P、Q同时出发，求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？②当点

P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？

7．已知线段30ABcm

（

1

）如图

1

，点P沿线段AB自点A向点B以2/cms的速度运动，同时点

Q

沿线段点B

向点A以3/cms的速度运动，几秒钟后，

PQ、

两点相遇？

（

2

）如图

1

，几秒后，点

PQ、

两点相距10cm？

（

3

）如图

2

，4AOcm，2POcm，当点P在AB的上方，且060POB时，点P

绕着点O以

30

度

/

秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止，同时点

Q

沿直线BA自B点向

A点运动，假若点

PQ、

两点能相遇，求点

Q

的运动速度．

8．如图，数轴上有

A、B、C

三个点，它们表示的数分别是25、

10

、10．

（1

）填空：

AB＝，BC＝；

（2

）现有动点

M、N

都从

A

点出发，点

M

以每秒

2

个单位长度的速度向右移动，当点

M

移动到

B

点时，点

N

才从

A

点出发，并以每秒

3

个单位长度的速度向右移动，求点

N

移动

多少时间，点

N

追上点

M？

（3

）若点

A

以每秒

1

个单位长度的速度向左运动，同时，点

B

和点

C

分别以每秒

3

个单

位长度和

7

个单位长度的速度向右运动．试探索：

BC－AB

的值是否随着时间的变化而改

变？请说明理由．

9．结合数轴与绝对值的知识解决下列问题：

探究：数轴上表示

4

和

1

的两点之间的距离是

____

，表示－

3

和

2

两点之间的距离是

____

；

结论：一般地，数轴上表示数

m

和数

n

的两点之间的距离等于∣

m-n

∣．

直接应用：表示数

a

和

2

的两点之间的距离等于

____

，表示数

a

和－

4

的两点之间的距离

等于

____

；

灵活应用：

(1)

如果∣

a+1

∣

=3

，那么

a=____

；

(2)

若数轴上表示数

a

的点位于－

4

与

2

之间，则∣

a-2

∣

+

∣

a+4

∣

=_____

；

(3)

若∣

a-2

∣

+

∣

a+4

∣

=10

，则

a=______

；

实际应用：

已知数轴上有

A

、

B

、

C

三点，分别表示

-24

，

-10

，

10

，两只电子蚂蚁甲、乙分别从

A

、

C

两

点同时相向而行，甲的速度为

4

个单位长度

/

秒，乙的速度为

6

个单位长度

/

秒

.

(1)

两只电子蚂蚁分别从

A

、

C

两点同时相向而行，求甲、乙数轴上相遇时的点表示的数。

(2)

求运动几秒后甲到

A

、

B

、

C

三点的距离和为

40

个单位长度？

10．如图

1

，

O

为直线

AB

上一点，过点

O

作射线

OC

，∠

AOC

＝

30

°，将一直角三角板

（其中∠

P

＝

30

°）的直角顶点放在点

O

处，一边

OQ

在射线

OA

上，另一边

OP

与

OC

都

在直线

AB

的上方．将图

1

中的三角板绕点

O

以每秒

3

°的速度沿顺时针方向旋转一周．

（

1

）如图

2

，经过

t

秒后，

OP

恰好平分∠

BOC

．

①

求

t

的值；

②

此时

OQ

是否平分∠

AOC

？请说明理由；

（

2

）若在三角板转动的同时，射线

OC

也绕

O

点以每秒

6

°的速度沿顺时针方向旋转一

周，如图

3

，那么经过多长时间

OC

平分∠

POQ

？请说明理由；

（

3

）在（

2

）问的基础上，经过多少秒

OC

平分∠

POB

？（直接写出结果）．

11．如图

1

，线段

AB

的长为

a

．

（

1

）尺规作图：延长线段

AB

到

C

，使

BC

＝

2AB

；延长线段

BA

到

D

，使

AD

＝

AC

．（先用

尺规画图，再用签字笔把笔迹涂黑．）

（

2

）在（

1

）的条件下，以线段

AB

所在的直线画数轴，以点

A

为原点，若点

B

对应的数

恰好为

10

，请在数轴上标出点

C

，

D

两点，并直接写出

C

，

D

两点表示的有理数，若点

M

是

BC

的中点，点

N

是

AD

的中点，请求线段

MN

的长．

（

3

）在（

2

）的条件下，现有甲、乙两个物体在数轴上进行匀速直线运动，甲从点

D

处开

始，在点

C

，

D

之间进行往返运动；乙从点

N

开始，在

N

，

M

之间进行往返运动，甲、乙

同时开始运动，当乙从

M

点第一次回到点

N

时，甲、乙同时停止运动，若甲的运动速度为

每秒

5

个单位，乙的运动速度为每秒

2

个单位，请求出甲和乙在运动过程中，所有相遇点

对应的有理数．

12．已知：OC平分AOB，以O为端点作射线OD，OE平分AOD.

（

1

）如图

1

，射线OD在AOB内部，BOD82，求COE的度数.

（

2

）若射线OD绕点O旋转，BODα，（

α

为大于AOB的钝角），

COEβ

，其他条件不变，在这个过程中，探究

α

与

β

之间的数量关系是否发生变化，

请补全图形并加以说明

.

13．已知有理数

a

，

b

，

c

在数轴上对应的点分别为

A

，

B

，

C

，且满足（

a-1

）2+|ab+3|=0

，

c=-2a+b

．

（

1

）分别求

a

，

b

，

c

的值；

（

2

）若点

A

和点

B

分别以每秒

2

个单位长度和每秒

1

个单位长度的速度在数轴上同时相

向运动，设运动时间为

t

秒．

i

）是否存在一个常数

k

，使得

3BC-k•AB

的值在一定时间范围内不随运动时间

t

的改变而改

变？若存在，求出

k

的值；若不存在，请说明理由．

ii

）若点

C

以每秒

3

个单位长度的速度向右与点

A

，

B

同时运动，何时点

C

为线段

AB

的三

等分点？请说明理由．

14．如图，从左到右依次在每个小方格中填入一个数，使得其中任意三个相邻方格中所填

数之和都相等．

6abx-1-2...

（

1

）可求得

x=______

，第

2021

个格子中的数为

______

；

（

2

）若前

k

个格子中所填数之和为

2019

，求

k

的值；

（

3

）如果

m

，

n

为前三个格子中的任意两个数，那么所有的

|m



n|

的和可以通过计算

|6



a|



|6



b|



|a



b|



|a



6|



|b



6|



|b



a|

得到．若

m

，

n

为前

8

个格子中的任意两个数，

求所有的

|m-n|

的和

.

15．借助一副三角板，可以得到一些平面图形

（

1

）如图

1

，∠

AOC

＝度．由射线

OA

，

OB

，

OC

组成的所有小于平角的和是多少

度？

（

2

）如图

2

，∠

1

的度数比∠

2

度数的

3

倍还多

30°

，求∠

2

的度数；

（

3

）利用图

3

，反向延长射线

OA

到

M

，

OE

平分∠

BOM

，

OF

平分∠

COM

，请按题意补全

图（

3

），并求出∠

EOF

的度数．

16．如图

1

，已知面积为

12

的长方形

ABCD

，一边

AB

在数轴上。点

A

表示的数为

—2

，点

B

表示的数为

1

，动点

P

从点

B

出发，以每秒

1

个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，

设点

P

运动时间为

t

（

t>0

）秒

.

（

1

）长方形的边

AD

长为单位长度；

（

2

）当三角形

ADP

面积为

3

时，求

P

点在数轴上表示的数是多少；

（

3

）如图

2

，若动点

Q

以每秒

3

个单位长度的速度，从点

A

沿数轴向右匀速运动，与

P

点出发时间相同。那么当三角形

BDQ

，三角形

BPC

两者面积之差为

1

2

时，直接写出运动时

间

t

的值

.

17．已知120AOB＝(

本题中的角均大于0且小于

180)

(1)

如图

1

，在

AOB

内部作COD，若160AODBOC＋＝，求COD的度数；

(2)

如图

2

，在

AOB

内部作COD，OE在AOD内，OF在BOC内，且

3DOEAOE＝，3COFBOF，

7

2

EOFCOD

，求

EOF

的度数；

(3)

射线OI从OA的位置出发绕点O顺时针以每秒6的速度旋转，时间为t秒

(050t

且30t)

．射线OM平分AOI，射线ON平分BOI，射线OP平分

MON

．若

3MOIPOI，则

t

秒．

18．已知AOD，OB、OC、OM、ON是AOD内的射线．

(1)

如图

1

，当160，若OM平分

AOB

，ON平分BOD，求

MON

的大小；

(2)

如图

2

，若OM平分AOC，ON平分BOD，20BOC，

60MON

，求



．

19．（

1

）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？

在①135，②120，③75，④25中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是

_________

；（填序号）

（

2

）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种

.

如图，他先用三角板

画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45角（

AOB

）的顶点与60角

（COD）的顶点互相重合，且边OA、OC都在直线EF上

.

固定三角板COD不动，将

三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度



，当边OB与射线OF第一次重合时停

止

.

①当OB平分EOD时，求旋转角度



；

②是

否存在2BOCAOD？若存在，求旋转角度



；若不存在，请说明理由

.

20．如图，已知数轴上点

A

表示的数为

8

，

B

是数轴上位于点

A

左侧一点，且

AB=20

，动

点

P

从

A

点出发，以每秒

5

个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为

t

（

t

＞

0

）秒．

（

1

）写出数轴上点

B

表示的数

______

；点

P

表示的数

______

（用含

t

的代数式表示）

（

2

）动点

Q

从点

B

出发，以每秒

3

个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点

P

、

Q

同

时出发，问多少秒时

P

、

Q

之间的距离恰好等于

2

？

（

3

）动点

Q

从点

B

出发，以每秒

3

个单位长度的速度沿数轴向左匀速到家动，若点

P

、

Q

同时出发，问点

P

运动多少秒时追上

Q

？

（

4

）若

M

为

AP

的中点，

N

为

BP

的中点，在点

P

运动的过程中，线段

MN

的长度是否发

生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段

MN

的长．

【参考答案】

***

试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．（1）20,6；（2）43t，162t；（3）t2或

6

时；（4）不变，10，理由见解

析.

【解析】

【分析】

（

1

）由数轴上两点距离先求得

A

，

B

两点间的距离，由中点公式可求线段

AB

的中点表示

的数；

（

2

）点

P

从点

A

出发，以每秒

3

个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点

Q

从点

B

出发，向右为正，所以

-4+3t

；

Q

从点

B

出发，以每秒

2

个单位长度的速度向左匀速运动，向左为负，

16-2t.

（

3

）由题意

,

1

PQAB

2



表示出线段长度，可列方程求

t

的值；

（

4

）由线段中点的性质可求

MN

的值不变．

【详解】

解：1

点

A

表示的数为4，点

B

表示的数为

16

，

A，

B

两点间的距离等于

41620

，线段

AB

的中点表示的数为

416

6

2





故答案为

20

，

6

2

点

P

从点

A

出发，以每秒

3

个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，



点

P

表示的数为：43t，

点

Q

从点

B

出发，以每秒

2

个单位长度的速度向左匀速运动，



点

Q

表示的数为：162t，

故答案为43t，162t



1

3PQAB

2



43t162t10

t2或

6

答：t2或

6

时，

1

PQAB

2



4

线段

MN

的长度不会变化，

点

M

为

PA

的中点，点

N

为

PB

的中点，

1

PMPA

2



，

1

PNPB

2





1

MNPMPNPAPB

2



1

MNAB10

2



【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，找到正确的等量关系列出方程

是本题的关键．

2．（1）

90°

；（2）

30°

；（3）12秒或48秒．

【解析】

【分析】

（1

）依据图形可知旋转角

=

∠

NOB

，从而可得到问题的答案；

（2

）先求得∠

AOC

的度数，然后依据角的和差关系可得到∠

NOC=60°-

∠

AON，

∠

AOM=90°-

∠

AON

，然后求得∠

AOM

与∠

NOC

的差即可；

（3

）可分为当

OM

为∠

BOC

的平分线和当

OM

的反向延长为∠

BOC

的平分线两种情况，然

后再求得旋转的角度，最后，依据旋转的时间

=

旋转的角度

÷

旋转的速度求解即可．

【详解】

（1

）由旋转的定义可知：旋转角＝∠

NOB＝90°．

故答案为：

90°

（2）

∠

AOM﹣

∠

NOC＝30°．

理由：∵∠

AOC：

∠

BOC＝1：2，

∠

AOC+

∠

BOC＝180°，

∴∠

AOC＝60°．

∴∠

NOC＝60°﹣

∠

AON．

∵∠

NOM＝90°，

∴∠

AOM＝90°﹣

∠

AON，

∴∠

AOM﹣

∠

NOC＝（90°﹣

∠

AON）﹣（60°﹣

∠

AON）＝30°．

（3

）如图

1

所示：当

OM

为∠

BOC

的平分线时，

∵

OM

为∠

BOC

的平分线，

∴∠

BOM＝

∠

BOC＝60°，

∴

t＝60°÷5°＝12

秒．

如图

2

所示：当

OM

的反向延长为∠

BOC

的平分线时，

∵

ON

为为∠

BOC

的平分线，

∴∠

BON＝60°．

∴旋转的角度＝

60°+180°＝240°．

∴

t＝240°÷5°＝48

秒．

故答案为：

12

秒或

48

秒．

【点睛】

本题主要考查的是三角形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的定义、直角三角形的定

义以及角的和差计算，求得三角板旋转的角度是解题的关键．

3．（1

）是

；（2）5cm

或

7.5cm

或

10cm；（3）10

或

60

7

．

【解析】

【分析】

（1

）根据“

2

倍点”的定义即可求解

；

（2

）分点

C

在中点的左边

，

点

C

在中点

，

点

C

在中点的右边三种情况

，

进行讨论求解即

可

；

（3）

根据题意画出图形

，P

应在

Q

的右边

，

分别表示出

AQ、QP、PB，

求出

t

的范围

．

然

后根据（

2

）分三种情况讨论即可

．

【详解】

（

1）∵

整个线段的长是较短线段长度的

2

倍

，

∴线段的中点是这条线段的“

2

倍点”

．

故答案为是

；

（2）∵AB＝15cm，

点

C

是线段

AB

的

2

倍点

，∴AC＝15

1

3



5cm

或

AC＝15

1

2



7.5cm

或

AC＝15

2

3



10cm．

（3）

∵点

Q

是线段

AP

的“

2

倍点”

，

∴点

Q

在线段

AP

上

．

如图所示

：

由题意得

：AP=2t，BQ=t，∴AQ=20-t，QP=2t-（20-t）=3t-20，PB=20-2t．

∵PB=20-2t≥0，∴t≤10．

∵QP=3t-20≥0，∴t≥

20

3

，∴

20

3

≤t≤10．

分三种情况讨论

：

①

当

AQ＝

1

3

AP

时

，20-t＝

1

3

×2t，

解得

：t＝12＞10，

舍去

；

②

当

AQ＝

1

2

AP

时

，20-t＝

1

2

×2t，

解得

：t＝10；

③

当

AQ＝

2

3

AP

时

，20-t＝

2

3

×2t，

解得

：t

60

7



；

答

：t

为

10

或

60

7

时

，

点

Q

是线段

AP

的“

2

倍点”

．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的解法、线段的和差等知识点

，

题目需根据“

2

倍点”的定义分

类讨论

，

理解“

2

倍点”的定义是解决本题的关键

．

4．（1）

1

3



；（2）P出发

2

3

秒或

4

3

秒；(3)见解析.

【解析】

【分析】

(1)

由题意可知运动

t

秒时

P

点表示的数为

-3+2t

，

Q

点表示的数为

1-t

，若

P

、

Q

相遇，则

P

、

Q

两点表示的数相等，由此可得关于

t

的方程，解方程即可求得答案；

(2)

由点

P

比点

Q

迟

1

秒钟出发，则点

Q

运动了

(t+1)

秒，分相遇前相距

1

个单位长度与相遇

后相距

1

个单位长度两种情况分别求解即可得；

(3)

设点

C

表示的数为

a

，根据两点间的距离进行求解即可得

.

【详解】

(1)

由题意可知运动

t

秒时

P

点表示的数为

-5+t

，

Q

点表示的数为

10-2t

；

若

P

，

Q

两点相遇，则有

-3+2t=1-t

，

解得：

t=

4

3

，

∴

41

32

33



，

∴点

P

和点

Q

相遇时的位置所对应的数为

1

3



；

(2)

∵点

P

比点

Q

迟

1

秒钟出发，∴点

Q

运动了

(t+1)

秒，

若点

P

和点

Q

在相遇前相距

1

个单位长度，

则2t1t141

，

解得：

2

t

3



；

若点

P

和点

Q

在相遇后相距

1

个单位长度，

则2t+1×(t+1)=4+1，

解得：

4

t

3



，

综合上述，当

P

出发

2

3

秒或

4

3

秒时，

P

和点

Q

相距

1

个单位长度；

(3)

①若点

P

和点

Q

在相遇前相距

1

个单位长度，

此时点

P

表示的数为

-3+2

×

2

3

=-

5

3

，

Q

点表示的数为

1-(1+

2

3

)=-

2

3

，

设此时数轴上存在

-

个点

C

，点

C

表示的数为

a

，由题意得

AC+PC+QC=|a+3|+|a+

5

3

|+|a+

2

3

|

，

要使

|a+3|+|a+

5

3

|+|a+

2

3

|

最小，

当点

C

与

P

重合时，即

a=-

5

3

时，点

C

到点

A

、点

P

和点

Q

这三点的距离和最小；

②若点

P

和点

Q

在相遇后相距

1

个单位长度，

此时点

P

表示的数为

-3+2

×

4

3

=-

1

3

，

Q

点表示的数为

1-(1+

4

3

)=-

4

3

，

此时满足条件的点

C

即为

Q

点，所表示的数为

4

3



，

综上所述，点

C

所表示的数分别为

-

5

3

和

-

4

3

.

【点睛】

本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，正确理解数

轴上两点间的距离，从中找到等量关系列出方程是解题的关键

.

本题也考查了分类讨论思想

.

5．（1）

3456;45678SS

;(2)

方法不唯一，见解析；（

3）

方法不唯

一，见解析

【解析】

【分析】

先找出前几项的钢管数，在推出第

n

项的钢管数

.

【详解】

（1）

3456;45678SS

（2

）方法不唯一，例如：

12S1233S123444S12345555S

（3

）方法不唯一，例如：

12.....2Snnnn





=.....12.....

1

11

2

nnnn

nnnn







3

1

2

nn

【点睛】

此题主要考察代数式的规律探索及求和，需要仔细分析找到规律

.

6．（1）﹣4，6﹣5t；（2）①当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；②当点P运动1或9

秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．

【解析】

【分析】

（

1

）根据题意可先标出点

A

，然后根据

B

在

A

的左侧和它们之间的距离确定点

B

，由点

P

从点

A

出发向左以每秒

5

个单位长度匀速运动，表示出点

P

即可；

（

2

）①由于点

P

和

Q

都是向左运动，故当

P

追上

Q

时相遇，根据

P

比

Q

多走了

10

个单

位长度列出等式，根据等式求出

t

的值即可得出答案；

②要分两种情况计算：第一种是点

P

追上点

Q

之前，第二种是点

P

追上点

Q

之后

.

【详解】

解：（1）∵数轴上点

A

表示的数为

6

，

∴

OA

＝

6

，

则

OB

＝

AB

﹣

OA

＝

4

，

点

B

在原点左边，

∴数轴上点

B

所表示的数为﹣

4

；

点

P

运动

t

秒的长度为

5t

，

∵动点

P

从点

A

出发，以每秒

5

个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，

∴

P

所表示的数为：

6

﹣

5t

，

故答案为﹣

4

，

6

﹣

5t

；

（2）①点

P

运动

t

秒时追上点

Q

，

根据题意得

5t

＝

10+3t

，

解得

t

＝

5

，

答：当点

P

运动

5

秒时，点

P

与点

Q

相遇；

②设当点

P

运动

a

秒时，点

P

与点

Q

间的距离为

8

个单位长度，

当

P

不超过

Q

，则

10+3a

﹣

5a

＝

8

，解得

a

＝

1

；

当

P

超过

Q

，则

10+3a+8

＝

5a

，解得

a

＝

9

；

答：当点

P

运动

1

或

9

秒时，点

P

与点

Q

间的距离为

8

个单位长度．

【点睛】

在数轴上找出点的位置并标出，结合数轴求追赶和相遇问题是本题的考点，正确运用数形

结合解决问题是解题的关键，注意不要漏解

.

7．（

1

）

6

秒钟

;

（

2

）

4

秒钟或

8

秒钟；（

3

）点

Q

的速度为7/cms或2.4/cms．

【解析】

【分析】

（

1

）设经过

ts

后，点

PQ、

相遇，根据题意可得方程2330tt，解方程即可求得

t

值；（

2

）设经过

xs

，

PQ、

两点相距10cm，分相遇前相距

10cm

和相遇后相距

10cm

两

种情况求解即可；（

3

）由题意可知点

PQ、

只能在直线AB上相遇，由此求得点

Q

的速

度即可

.

【详解】

解：（1）设经过

ts

后，点

PQ、

相遇．

依题意，有2330tt，

解得：

6t

．

答：经过6秒钟后，点

PQ、

相遇；

（2）设经过

xs

，

PQ、

两点相距10cm，由题意得

231030xx或231030xx，

解得：4x或8x．

答：经过4秒钟或8秒钟后，

PQ、

两点相距10cm；

（3）点

PQ、

只能在直线AB上相遇，

则点P旋转到直线AB上的时间为：

120

4

30

s

或

120180

10

30

s





，

设点

Q

的速度为

/ycms

，则有

4302y

，

解得：

7y

；

或

10306y

，

解得

2.4y

，

答：点

Q

的速度为7/cms或2.4/cms．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的综合应用解决第（

2

）（

3

）问都要分两种情况进行讨论，注意

不要漏解

.

8．(1)

AB＝15，BC＝20;(2)

点

N

移动

15

秒时，点

N

追上点

M;(3)BC－AB

的值不会随着时

间的变化而改变

,

理由见解析

【解析】

【分析】

（1

）根据数轴上点的位置求出

AB

与

BC

的长即可

,

（2

）不变

,

理由为：经过

t

秒后

,A、B、C

三点所对应的数分别是

-24-t,-10+3t,10+7t,

表示出

BC,AB,

求出

BC-AB

即可做出判断

,

（3

）经过

t

秒后

,

表示

P、Q

两点所对应的数

,

根据题意列出关于

t

的方程

,

求出方程的解得

到

t

的值

,

分三种情况考虑

,

分别求出满足题意

t

的值即可．

【详解】

解：（

1）AB＝15,BC＝20,

（2

）设点

N

移动

x秒时,点

N

追上点

M

,由题意得：

15

32

2

xx









,

解得15x,

答：点

N

移动

15

秒时,点

N

追上点

M.

（3

）设运动时间是

y

秒,那么运动后

A、B、C

三点表示的数分别是

25y

、

103y

、

107y

,

∴

BC107103204yyy,AB10325154yyy,

∴

BC－AB2041545yy

,

∴

BC－AB

的值不会随着时间的变化而改变.

【点睛】

本题主要考查了整式的加减

,

数轴

,

以及两点间的距离

,

解决本题的关键是要熟练掌握行程问

题中等量关系和数轴上点

,

9．探究：

3

；

5

；直接应用：∣

a-2

∣，∣

a+4

∣；灵活应用

(1)2

或

-4

；

(2)6

；

(3)-6

或

4

；实际

应用：

(1)

甲、乙数轴上相遇时的点表示的数是

-10.4

；

(2)

运动

2

秒或

5

秒后甲到

A

、

B

、

C

三

点的距离和为

40

个单位长度

.

【解析】

【分析】

利用数轴上两点间的距离公式、绝对值的意义、行程问题的基本数量关系，以及数轴直观

解决问题即可．

【详解】

探究：

4-1=3

；

2-

（－

3

）

=5

．

直接应用：∣

a-2

∣，∣

a+4

∣；

灵活应用：

（

1

）

a+1=

±

3

，

a=3-1=2

或

a=

－

3

－

1=

－

4

，∴

a=2

或

-4

；

（

2

）∵数轴上表示数

a

的点位于－

4

与

2

之间，∴

a-2

＜

0

，

a+4

＞

0

，∴原式

=2-a+a+4=6

；

（

3

）由（

2

）可知，

a

＜－

4

或

a

＞

2

．分两种情况讨论：

①当

a

＜－

4

时，方程变为：

2

－

a

－（

a+4

）

=10

，解得：

a=

－

6

；

②当

a

＞

2

时，方程变为：

a

－

2+

（

a+4

）

=10

，解得：

a=4

；

综上所述：

a

的值为

-6

或

4

．

实际应用：

（

1

）设

x

秒后甲与乙相遇，则：

4x+6x=34

解得：

x=3.4

，

4

×

3.4=13.6

，﹣

24+13.6=

﹣

10.4

．

故甲、乙数轴上相遇时的点表示的数是﹣

10.4

；

（

2

）设

y

秒后甲到

A

，

B

，

C

三点的距离之和为

40

个单位，

B

点距

A

，

C

两点的距离为

14+20=34

＜

40

，

A

点距

B

、

C

两点的距离为

14+34=48

＞

40

，

C

点距

A

、

B

的距离为

34+20=54

＞

40

，故甲应为于

AB

或

BC

之间．

①

AB

之间时：

4y+

（

14

﹣

4y

）

+

（

14

﹣

4y+20

）

=40

解得：

y=2

；

②

BC

之间时：

4y+

（

4y

﹣

14

）

+

（

34

﹣

4y

）

=40

解得：

y=5

．

答：运动

2

秒或

5

秒后甲到

A

、

B

、

C

三点的距离和为

40

个单位长度．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条

件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．

10．（

1

）

①5

；

②OQ

平分∠

AOC

，理由详见解析；（

2

）

5

秒或

65

秒时

OC

平分∠

POQ

；

（

3

）

t

＝

70

3

秒．

【解析】

【分析】

（

1

）

①

由∠

AOC

＝

30

°得到∠

BOC

＝

150

°，借助角平分线定义求出∠

POC

度数，根据角

的和差关系求出∠

COQ

度数，再算出旋转角∠

AOQ

度数，最后除以旋转速度

3

即可求出

t

值；

②

根据∠

AOQ

和∠

COQ

度数比较判断即可；

（

2

）根据旋转的速度和起始位置，可知∠

AOQ

＝

3t

，∠

AOC

＝

30

°

+6t

，根据角平分线定义

可知∠

COQ

＝

45

°，利用∠

AOQ

、∠

AOC

、∠

COQ

角之间的关系构造方程求出时间

t

；

（

3

）先证明∠

AOQ

与∠

POB

互余，从而用

t

表示出∠

POB

＝

90

°﹣

3t

，根据角平分线定义

再用

t

表示∠

BOC

度数；同时旋转后∠

AOC

＝

30

°

+6t

，则根据互补关系表示出∠

BOC

度

数，同理再把∠

BOC

度数用新的式子表达出来．先后两个关于∠

BOC

的式子相等，构造方

程求解．

【详解】

（

1

）

①

∵∠

AOC

＝

30

°，

∴∠

BOC

＝

180

°﹣

30

°＝

150

°,

∵

OP

平分∠

BOC

，

∴∠

COP

＝

1

2

∠

BOC

＝

75

°,

∴∠

COQ

＝

90

°﹣

75

°＝

15

°,

∴∠

AOQ

＝∠

AOC

﹣∠

COQ

＝

30

°﹣

15

°＝

15

°,

t

＝

15

÷

3

＝

5

；

②

是，理由如下：

∵∠

COQ

＝

15

°，∠

AOQ

＝

15

°，

∴

OQ

平分∠

AOC

；

（

2

）∵

OC

平分∠

POQ

，

∴∠

COQ

＝

1

2

∠

POQ

＝

45

°．

设∠

AOQ

＝

3t

，∠

AOC

＝

30

°

+6t

，

由∠

AOC

﹣∠

AOQ

＝

45

°，可得

30+6t

﹣

3t

＝

45

，

解得：

t

＝

5

，

当

30+6t

﹣

3t

＝

225

，也符合条件，

解得：

t

＝

65，

∴

5

秒或

65

秒时，

OC

平分∠

POQ

；

（

3

）设经过

t

秒后

OC

平分∠

POB

，

∵

OC

平分∠

POB

，

∴∠

BOC

＝

1

2

∠

BOP

，

∵∠

AOQ+

∠

BOP

＝

90

°，

∴∠

BOP

＝

90

°﹣

3t

，

又∠

BOC

＝

180

°﹣∠

AOC

＝

180

°﹣

30

°﹣

6t

，

∴

180

﹣

30

﹣

6t

＝

1

2

（

90

﹣

3t

），

解得

t

＝

70

3

．

【点睛】

本题主要考查一元一次方程的应用，根据角度的和差倍分关系，列出方程，是解题的关键

.

11．（1）详见解析；（2）

35

；（3）﹣

5

、

15

、

11

2

3

、﹣

7

6

7

．

【解析】

【分析】

（

1

）根据尺规作图的方法按要求做出即可；

（

2

）根据中点的定义及线段长度的计算求出；

（

3

）认真分析甲、乙物体运行的轨迹来判断它们相遇的可能性，分情况建立一元一次方程

来计算相遇的时间，然后计算出位置．

【详解】

解：（

1

）如图所示；

（

2

）根据（

1

）所作图的条件，如果以点

A

为原点，若点

B

对应的数恰好为

10

，则有

点

C

对应的数为

30

，点

D

对应的数为﹣

30

，

MN

＝

|20

﹣（﹣

15

）

|

＝

35

（

3

）设乙从

M

点第一次回到点

N

时所用时间为

t

，则

t

＝

2235

22

MN



＝

35

（秒）

那么甲在总的时间

t

内所运动的长度为

s

＝

5t

＝

5×35

＝

175

可见，在乙运动的时间内，甲在

C

，

D

之间运动的情况为

175÷60

＝

2……55

，也就是说甲在

C

，

D

之间运动一个来回还多出

55

长度单位．

①设甲乙第一次相遇时的时间为

t

1，有

5t1＝

2t1+15

，

t1＝

5

（秒）

而﹣

30+5×5

＝﹣

5

，﹣

15+2×5

＝﹣

5

这时甲和乙所对应的有理数为﹣

5

．

②设甲乙第二次相遇时的时间经过的时间

t

2，有

5t2+2t2＝

25+30+5+10

，

t2＝

10

（秒）

此时甲的位置：﹣

15×5+60+30

＝

15

，乙的位置

15×2

﹣

15

＝

15

这时甲和乙所对应的有理数为

15

．

③设甲乙第三次相遇时的时间经过的时间

t

3，有

5t3﹣

2t3＝

20

，

t3＝

20

3

（秒）

此时甲的位置：

30

﹣（

5×

20

3

﹣

15

）＝

11

2

3

，乙的位置：

20

﹣（

2×

20

3

﹣

5

）＝

11

2

3

这时甲和乙所对应的有理数为

11

2

3

④从时间和甲运行的轨迹来看，他们可能第四次相遇．设第四次相遇时经过的时间为

t

4，

有

5t4﹣

11

2

3

﹣

30

﹣

15+2t

4＝

11

2

3

，

t

4＝

9

16

21

（秒）

此时甲的位置：

5×9

16

21

﹣

45

﹣

11

2

3

＝﹣

7

6

7

，乙的位置：

11

2

3

﹣

2×9

16

21

＝﹣

7

6

7

这时甲和乙所对应的有理数为﹣

7

6

7

．

四次相遇所用时间为：

5+10+

20

3

+9

16

21

＝

31

3

7

（秒），剩余运行时间为：

35

﹣

31

3

7

＝

3

4

7

（秒）

当时间为

35

秒时，乙回到

N

点停止，甲在剩余的时间运行距离为

5×3

4

7

＝

525

7



＝

17

6

7

．

位置在﹣

7

6

7

+17

6

7

＝

10

，无法再和乙相遇，故所有相遇点对应的有理数为﹣

5

、

15

、

11

2

3

、﹣

7

6

7

．

【点睛】

本题考查数轴作图及线段长度计算的基础知识，重要的是两个点在数轴上做复杂运动时的

运动轨迹和相遇的位置，具有比较大的难度．正确分析出可能相遇的情况并建立一元一次

方程是解题的关键．

12．(1)41°;(2)

见解析

.

【解析】

【分析】

（

1

）根据角平分线的定义可得

1

2

AOCAOB

，

1

2

AOEAOD

，进而可得

∠

COE=

1

2

AOBAOD

，即可得答案；（

2

）分别讨论

OA

在∠

BOD

内部和外部的

情况，根据求得结果进行判断即可

.

【详解】

（

1

）∵射线OC平分AOB、射线OE平分AOD，

∴

1

2

AOCAOB

，

1

2

AOEAOD

，

∴COEAOCAOE

=

11

22

AOBAOD

=

1

2

AOBAOD

=

1

2

BOD

=0

1

82

2



=41°

（

2

）



与



之间的数量关系发生变化，

如图，当OA在BOD内部，

∵射线OC平分AOB、射线OE平分AOD，

∴

11

O,

22

AOCABAOEAOD

，

∴

COEAOCAOE

=

11

22

AOBAOD

=

1

2

AOBAOD

=

1

2



如图，当OA在BOD外部，

∵射线OC平分AOB、射线OE平分AOD，

∴

11

,

22

AOCAOBAOEAOD

，

∴

COEAOCAOE

=

11

22

AOBAOD

=

1

2

AOBAOD

=0

1

360

2

BOD

=0

1

360

2



=0

1

180

2



∴



与



之间的数量关系发生变化

.

【点睛】

本题考查角平分线的定义，正确作图，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关

键．

13．（1）

1

，

-3

，

-5

（

2

）

i

）存在常数

m

，

m=6

这个不变化的值为

26

，

ii

）

11.5s

【解析】

【分析】

（

1

）根据非负数的性质求得

a

、

b

、

c

的值即可；

（

2

）

i

）根据

3BC-k•AB

求得

k

的值即可；

ii

）当

AC=

1

3

AB

时，满足条件．

【详解】

（

1

）∵

a

、

b

满足（

a-1

）2+|ab+3|=0

，

∴

a-1=0

且

ab+3=0

．

解得

a=1

，

b=-3

．

∴

c=-2a+b=-5

．

故

a

，

b

，

c

的值分别为

1

，

-3

，

-5

．

（

2

）

i

）假设存在常数

k

，使得

3BC-k•AB

不随运动时间

t

的改变而改变．

则依题意得：

AB=5+t

，

2BC=4+6t

．

所以

m•AB-2BC=m

（

5+t

）

-

（

4+6t

）

=5m+mt-4-6t

与

t

的值无关，即

m-6=0

，

解得

m=6

，

所以存在常数

m

，

m=6

这个不变化的值为

26

．

ii

）

AC=

1

3

AB

，

AB=5+t

，

AC=-5+3t-

（

1+2t

）

=t-6

，

t-6=

1

3

（

5+t

），解得

t=11.5s

．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

14．（

1

）

6

，

-1

；（

2

）

2019

或

2014

；（

3

）

234

【解析】

【分析】

（

1

）根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出

a

、

x

的值，再根据第

9

个数是

-2

可得

b=-2

，然后找出格子中的数每

3

个为一个循环组依次循环，在用

2021

除以

3

，根据余数的

情况确定与第几个数相同即可得解．

（

2

）可先计算出这三个数的和，再照规律计算．

（

3

）由于是三个数重复出现，因此可用前三个数的重复多次计算出结果．

【详解】

（

1

）∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴

6+a+b=a+b+x

，解得

x=6

，

a+b+x=b+x-

1

，∴

a=-1

，所以数据从左到右依次为

6

、

-1

、

b

、

6

、

-1

、

b

，第

9

个数与第三个数相同，即

b=-2

，所以每

3

个数“

6

、

-1

、

-2

”为一个循环组依次循环．

∵

2021

÷

3=673

…

2

，∴第

2021

个格子中的整数与第

2

个格子中的数相同，为

-1

．

故答案为：

6

，

-1

．

（

2

）∵

6+

（

-1

）

+

（

-2

）

=3

，∴

2019

÷

3=673

．

∵前

k

个格子中所填数之和可能为

2019

，

2019=673

×

3

或

2019=671

×

3+6

，∴

k

的值为：

673

×

3=2019

或

671

×

3+1=2014

．

故答案为：

2019

或

2014

．

（

3

）由于是三个数重复出现，那么前

8

个格子中，这三个数中，

6

和

-1

都出现了

3

次，

-2

出现了

2

次．

故代入式子可得：（

|6+2|

×

2+|6+1|

×

3

）×

3+

（

|-1-6|

×

3+|-1+2|

×

2

）×

3+

（

|-2-6|

×

3+|-

2+1|

×

3

）×

2=234

．

【点睛】

本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，规律推导的运用，此类题的关键是找出是

按什么规律变化的，然后再按规律找出字母所代表的数，再进行进一步的计算．

15．（1）75°，150°；（2）15°；（3）15°.

【解析】

【分析】

（

1

）根据三角板的特殊性角的度数，求出∠

AOC

即可

,

把∠

AOC

、∠

BOC

、∠

AOB

相加即可

求出射线

OA

，

OB

，

OC

组成的所有小于平角的和；

（

2

）依题意设∠

2

＝

x

，列等式，解方程求出即可；

（

3

）依据题意求出∠

BOM,

∠

COM,

再根据角平分线的性质得出∠

MOE

，∠

MOF

，即可求出

∠

EOF.

【详解】

解：（

1

）∵∠

BOC

＝

30°

，∠

AOB

＝

45°

，

∴∠

AOC

＝

75°

，

∴∠

AOC+

∠

BOC+

∠

AOB

＝

150°

；

答：由射线

OA

，

OB

，

OC

组成的所有小于平角的和是

150°

；

故答案为：

75

；

（

2

）设∠

2

＝

x

，则∠

1

＝

3x+30°

，

∵∠

1+

∠

2

＝

90°

，

∴

x+3x+30°

＝

90°

，

∴

x

＝

15°

，

∴∠

2

＝

15°

，

答：∠

2

的度数是

15°

；

（

3

）如图所示，∵∠

BOM

＝

180°

﹣

45°

＝

135°

，∠

COM

＝

180°

﹣

15°

＝

165°

，

∵

OE

为∠

BOM

的平分线，

OF

为∠

COM

的平分线，

∴∠

MOF

＝

1

2

∠

COM

＝

82.5°

，∠

MOE

＝

1

2

∠

MOB

＝

67.5°

，

∴∠

EOF

＝∠

MOF

﹣∠

MOE

＝

15°

．

【点睛】

本题主要考查了三角板各角的度数、角平分线的性质及列方程解方程在几何中的应用，熟

记概念是解题的关键

.

16．（

1

）

4

；（

2

）－

3.5

或－

0.5

；（

3

）

t

的值为

11

16

、

13

16

、

13

8

或

11

8

．

【解析】

【分析】

（

1

）先求出

AB

的长，由长方形

ABCD

的面积为

12

，即可求出

AD

的长；

（

2

）由三角形

ADP

面积为

3

，求出

AP

的长，然后分两种情况讨论：①点

P

在点

A

的左

边；②点

P

在点

A

的右边．

（

3

）分两种情况讨论：①若

Q

在

B

的左边，则

BQ=3-3t

．由

|S

△BDQ

－

S

△BPC

|=

1

2

，解方程

即可；②若

Q

在

B

的右边，则

BQ=3t

－

3

．由

|S

△BDQ

－

S

△BPC

|=

1

2

，解方程即可．

【详解】

（

1

）

AB=1

－（－

2

）

=3

．

∵长方形

ABCD

的面积为

12

，∴

AB

×

AD=12

，∴

AD=12

÷

3=4

．

故答案为：

4

．

（

2

）三角形

ADP

面积为：

1

2

AP

•

AD=

1

2

AP

×

4=3

，

解得：

AP=1.5

，

点

P

在点

A

的左边：

-2-1.5=-3.5

，

P

点在数轴上表示

-3.5

；

点

P

在点

A

的右边：

-2+1.5=-0.5

，

P

点在数轴上表示

-0.5

．

综上所述：

P

点在数轴上表示

-3.5

或

-0.5

．

（

3

）分两种情况讨论：①若

Q

在

B

的左边，则

BQ=AB

－

AQ=3-3t

．

S△BDQ

=

1

2

BQ

•

AD=

1

(33)4

2

t

=66t

，

S△BPC

=

1

2

BP

•

AD=

1

4

2

t

=2t，

1

(66)2

2

tt

，

680.5t

，解得：

t=

13

16

或

11

16

；

②若

Q

在

B

的右边，则

BQ=AQ

－

AB=3t

－

3

．

S△BDQ

=

1

2

BQ

•

AD=

1

(33)4

2

t

=66t

，

S△BPC

=

1

2

BP

•

AD=

1

4

2

t

=2t，

1

(66)2

2

tt

，

460.5t

，解得：

t=

13

8

或

11

8

．

综上所述：

t

的值为

11

16

、

13

16

、

13

8

或

11

8

．

【点睛】

本题考查了数轴、一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离公式．

17．（

1

）

40º

；（

2

）

84º

；（

3

）

7.5

或

15

或

45

【解析】

【分析】

（

1

）利用角的和差进行计算便可；

（

2

）设AOEx，则3EODx，

BOFy

，通过角的和差列出方程解答便

可；

（

3

）分情况讨论，确定∠

MON

在不同情况下的定值，再根据角的和差确定

t

的不同方程

进行解答便可．

【详解】

解：（

1

））∵∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOD+∠COD=∠AOB+∠COD

又∵∠AOD+∠BOC=160°且∠AOB=120°

∴CODAODBOCAOB

160120

40

（

2

）3DOEAOE，3COFBOF



设AOEx，则3EODx，

BOFy

则

3COFy

，

44120CODAQDBOCAOBxy

EOFEODFOCCOD

3344120120xyxyxy

7

2

EOFCOD

7

120()(44120)

2

xyxy

36xy

120()84EOFxy

（

3

）当

OI

在直线

OA

的上方时，

有∠

MON=

∠

MOI+

∠

NOI=

1

2

（∠

AOI+

∠

BOI

））

=

1

2

∠

AOB=

1

2

×

120

°

=60

°，

∠

PON=

1

2

×

60

°

=30

°，

∵∠

MOI=3

∠

POI

，

∴

3t=3

（

30-3t

）或

3t=3

（

3t-30

），

解得

t=

15

2

或

15

；

当

OI

在直线

AO

的下方时，

∠

MON

═

1

2

（

360

°

-

∠

AOB

）═

1

2

×

240

°

=120

°，

∵∠

MOI=3

∠

POI

，

∴

180

°

-3t=3

（

60

°

-

6120

2

t

）或

180

°

-3t=3

（

6120

2

t

-60

°），

解得

t=30

或

45

，

综上所述，满足条件的

t

的值为

15

2

s

或

15s

或

30s

或

45s

．

【点睛】

此是角的和差的综合题，考查了角平分线的性质，角的和差计算，一元一次方程（组）的

应用，旋转的性质，有一定的难度，体现了用方程思想解决几何问题，分情况讨论是本题

的难点，要充分考虑全面，不要漏掉解．

18．（

1

）

80

°；（

2

）

140

°

【解析】

【分析】

（

1

）根据角平分线的定义得∠

BOM=

1

2

∠

AOB

，∠

BON=

1

2

∠

BOD

，再根据角的和差得

∠

AOD=

∠

AOB+

∠

BOD

，∠

MON=

∠

BOM+

∠

BON

，结合三式求解；（

2

）根据角平分线的定

义∠

MOC=

1

2

∠

AOC

，∠

BON=

1

2

∠

BOD

，再根据角的和差得∠

AOD=

∠

AOC+

∠

BOD-

∠

BOC

，

∠

MON=

∠

MOC+

∠

BON-

∠

BOC

结合三式求解

.

【详解】

解：（

1

）∵

OM

平分∠

AOB

，

ON

平分∠

BOD

，

∴∠

BOM=

1

2

∠

AOB

，∠

BON=

1

2

∠

BOD

，

∴∠

MON=

∠

BOM+

∠

BON=

1

2

∠

AOB+

1

2

∠

BOD=

1

2

(

∠

AOB+

∠

BOD).

∵∠

AOD=

∠

AOB+

∠

BOD=

α

=160

°，

∴∠

MON=

1

2

×

160

°

=80

°；

（

2

）∵

OM

平分∠

AOC

，

ON

平分∠

BOD

，

∴∠

MOC=

1

2

∠

AOC

，∠

BON=

1

2

∠

BOD

，

∵∠

MON=

∠

MOC+

∠

BON-

∠

BOC

，

∴∠

MON=

1

2

∠

AOC+

1

2

∠

BOD-

∠

BOC=

1

2

(

∠

AOC+

∠

BOD)-

∠

BOC.

∵∠

AOD=

∠

AOB+

∠

BOD

，∠

AOC=

∠

AOB+

∠

BOC,

∴∠

MON=

1

2

(

∠

AOB+

∠

BOC+

∠

BOD)-

∠

BOC=

1

2

(

∠

AOD+

∠

BOC)-

∠

BOC

，

∵∠

AOD=

α，∠

MON=60

°

,

∠

BOC=20

°

,

∴

60

°

=

1

2

(

α

+20

°

)-20

°

,

∴α

=140

°

.

【点睛】

本题考查了角的和差计算，角平分线的定义，明确角之间的关系是解答此题的关键

.

19．（

1

）④；（

2

）①

15

；②当105，125时，存在2BOCAOD.

【解析】

【分析】

（

1

）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是

15°

的倍数的角都可以

画出来；

（

2

）①根据已知条件得到∠

EOD=180°-

∠

COD=180°-60°=120°

，根据角平分线的定义得到

∠

EOB=

1

2

∠

EOD=

1

2

×120°=60°

，于是得到结论；

②当

OA

在

OD

的左侧时，当

OA

在

OD

的右侧时，根据角的和差列方程即可得到结论．

【详解】

解：（

1

）∵

135°=90°+45°

，

120°=90°+30°

，

75°=30°+45°

，

∴只有

25°

不能写成

90°

、

60°

、

45°

、

30°

的和或差，故画不出；

故选④；

（

2

）①因为COD60，

所以EOD180COD18060120

.

因为OB平分EOD，

所以

11

EOBEOD12060

22



.

因为AOB45，

所以αEOBAOB604515

.

②当OA在OD左侧时，则AOD120α，BOC135α

.

因为BOC2AOD，

所以135α2120α

.

解得α105

.

当OA在OD右侧时，则AODα120，BOC135α

.

因为BOC2AOD，

所以135α2α120

.

解得α125

.

综合知，当α105，α125时，存在BOC2AOD.

【点睛】

本题考查角的计算，角平分线的定义，正确的理解题意并分类讨论是解题关键．

20．（1）-12,8-5t；（2）

9

4

或

11

4

；（3）10；（4）MN的长度不变，值为10.

【解析】

【分析】

(1)

根据已知可得

B

点表示的数为

8﹣20

；点

P

表示的数为

8﹣5t；

(2)

运动时间为

t

秒，分点

P、Q

相遇前相距

2，

相遇后相距

2

两种情况列方程进行求解即

可；

(3)

设点

P

运动

x

秒时追上

Q

，根据

P、Q

之间相距

20

，列方程求解即可；

(4)

分①当点

P

在点

A、B

两点之间运动时，②当点

P

运动到点

B

的左侧时，利用中点的定

义和线段的和差求出

MN

的长即可．

【详解】

(1)

∵点

A

表示的数为

8，B

在

A

点左边，

AB=20，

∴点

B

表示的数是

8﹣20=﹣12，

∵动点

P

从点

A

出发，以每秒

5

个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为

t(t＞0)

秒，

∴点

P

表示的数是

8﹣5t，

故答案为﹣

12，8﹣5t；

(2)

若点

P、Q

同时出发，设

t

秒时

P、Q

之间的距离恰好等于

2；

分两种情况：

①点

P、Q

相遇之前，

由题意得

3t+2+5t=20

，解得

t=

9

4

；

②点

P、Q

相遇之后，

由题意得

3t﹣2+5t=20

，解得

t=

11

4

，

答：若点

P、Q

同时出发，

9

4

或

11

4

秒时

P、Q

之间的距离恰好等于

2；

(3)

如图，设点

P

运动

x

秒时，在点

C

处追上点

Q，

则

AC=5x，BC=3x，

∵AC﹣BC=AB，

∴5x﹣3x=20，

解得：

x=10，

∴点

P

运动

10

秒时追上点

Q；

(4)

线段

MN

的长度不发生变化，都等于

10

；理由如下：

①当点

P

在点

A、B

两点之间运动时：

MN=MP+NP=

1

2

AP+

1

2

BP=

1

2

(AP+BP)=

1

2

AB=10，

②当点

P

运动到点

B

的左侧时：

MN=MP﹣NP=

1

2

AP﹣

1

2

BP=

1

2

(AP﹣BP)=

1

2

AB=10，

∴线段

MN

的长度不发生变化，其值为

10．

【点睛】

本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的

距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．