琼州大学

琼州大学

-

2023年2月13日发(作者：)

第六章微分中值定理及其应用

习题

§1拉格朗日定理和函数的单调性

1、试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点，使0)(

f：

（1）

















;0,0

,

1

0,

1

sin

)(

x

x

x

x

xf

（2）f（x）=|x|，-1≤x≤1。

2、证明：（1）方程033cxx（这里c为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不同的实根；

（2）方程0qpxxn（n为正整数，p、q为实数）当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时

至多有三个实根。

3、证明定理6、2推论2。

4、证明（1）若函数f在[a，b]上可导，且mxf



)(，则

f（b）≥f（a）+m（b-a）；

（2）若函数f在[a，b]上可导，且Mxf



|)(|，则

|f（b）-f（a）|≤M（b-a）；

（3）对任意实数

1

x，

2

x，都有|||sinsin|

1221

xxxx。

5、应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：

（1）

a

ab

a

b

b

ab





ln，其中0

（2）

hh

h

h





arctan

12

，其中h>0。

6、确定下列函数的单调区间：

（1）f（x）=23xx；（2）f（x）=xxln22；

（3）f（x）=22xx；（4）f（x）=

x

x12

。

7、应用函数的单调性证明下列不等式：

（1）)

3

,0(,

3

tan

3

x

x

xx；

（2）)

2

,0(,sin

2



xxx

x

；

（3）0,

)1(2

)1ln(

2

22





x

x

x

xx

x

x。

8、以s（x）记由（a，f（a）），（b，f（b）），（x，f（x））三点组成的三角形面积，试对s（x）应用罗

尔中值定理证明拉格朗日中值定理。

9、设f为[a，b]上二阶可导函数，f（a）=f（b）=0，并存在一点),(bac使得f（c）>0。证明至少存

在一点),(ba，使得0)(

f。

10、设函数f在（a，b）内可导，且f



单调。证明f



在（a，b）内连续。

11、设p（x）为多项式，为p（x）=0的r重实根。证明必定是)(xp



的r–1重实根。

12、证明：设f为n阶可导函数，若方程f（x）=0有n+1个相异的实根，则方程0)()(xfn至少有一

个实根。

13、设a，b>0。证明方程baxx3=0不存在正根。

14、证明：)

2

,0(,

sin

tan

x

x

x

x

x

。

15、证明：若函数f，g在区间[a，b]上可导，且)()(),()(agafxgxf







，则在（a，b]内有f（x）>g

（x）。

§2柯西中值定理和不定式极限

1、试问函数32)(,)(xxgxxf在区间[-1，1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？

2、设函数f在[a，b]上可导。证明：存在),(ba，使得

)()()]()([222fabafbf



。

3、设函数f在点a处具有连续的二阶导数。证明：

)(

)(2)()(

lim

2

0

af

h

afhafhaf

h









。

4、设

2

0



。证明存在),(，使得







cot

coscos

sinsin







。

5、求下列不定式极限

（1）

0

lim

xx

ex

sin

1

；（2）

x

x

x

3cos

sin21

lim

6







；

（3）

0

lim

x1cos

)1ln(





x

xx

；（4）

0

lim

xxx

xx

sin

tan





；

（5）

5sec

6tan

lim

2







x

x

x



；（6）

0

lim

x

)

1

11

(





xe

x

；

（7）

0

lim

x

xxsin)(tan；（8）x

x

x



1

1

1

lim；

（9）

0

lim

x

xx

1

2)1(；（10）

xx

x

lnsinlim

0

；

（11）

0

lim

x

)

sin

11

(

22xx

；（12）

0

lim

x

2

1

)

tan

(x

x

x

。

6、设函数f在点a的某个邻域具有二阶导数。证明：对充分小的h，存在10,，使得

2

)()()(2)()(

2

hafhaf

h

afhafhaf











。

7、求下列不定式极限：

（1）

2

sin1

)1cos(ln

lim

1x

x

x







；（2）

xx

x

ln)arctan2(lim



；

（3）x

x

xsin

0

lim



；（4）x

x

x2tan

4

)(tanlim





；

（5）

0

lim

x





















x

x

xx1)1ln(

2

)1(

；（6）

0

lim

x

)

1

(cot

x

x；

（7）

0

lim

xx

exx

1

)1(

；（8）















x

x

arctan

2

lim



。

8、设f（0）=0，f



在原点的某邻域内连续，且0)0(



f。证明：

1lim)(

0





xf

x

x。

9、证明定理6、6中

0)(lim,0)(lim



xgxf

xx

情形时的洛必达法则。

10、证明：23)(xexxf为有界函数。

§3泰勒公式

1、求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式：

（1）f（x）=

x1

1

；

（2）f（x）=arctanx到含5x的项；

（3）f（x）=tanx到含5x的项。

2、按例4的方法求下列极限：

（1）

0

lim

x

3

)1(sin

x

xxxex

；（2）



























x

xx

x

1

1lnlim2；

（3）

0

lim

x













x

xx

cot

11

。

3、求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式：

（1）f（x）=5423xx，在x=1处；

（2）f（x）=

x1

1

，在x=0处。

4、估计下列近似公式的绝对误差：

（1）

6

sin

3x

xx，当|x|≤

2

1

；

（2）]1,0[,

82

11

2

x

xx

x。

5、计算：（1）数e准确到910；

（2）lg11准确到510。

§4函数的极值与最大（小）值

1、求下列函数的极值：

（1）f（x）=432xx；（2）f（x）=

21

2

x

x



；

（3）f（x）=

x

x2)(ln

；（4）f（x）=

)1ln(

2

1

arctan2xx。

2、设

f（x）=















.0,0

,0,

1

sin24

x

x

x

x

（1）证明：x=0是极小值点；

（2）说明f的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。

3、证明：若函数f在点

0

x处有)0(0)(),0(0)(

00











xfxf，则

0

x为f的极大（小）值点。

4、求下列函数在给定区间上的最大最小值：

（1）y=]2,1[,155345xxx；

（2）y=













2

,0,tantan22



xx；

（3）y=),0(,lnxx。

5、设f（x）在区间I上连续，并且在I上仅有唯一的极值点

0

x。证明：若

0

x是f的极大（小）值点，

则

0

x必是f（x）在I上的最大（小）值点。

6、把长为l的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大？

7、有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与容器高的

比例应该怎样？

8、设用某仪器进行测量时，读得n次实验数据为

n

aaa,,

21

。问以怎样的数值x表达所要测量的真值，

才能使它与这n个数之差的平方和为最小。

9、求一正数a，使它与其倒数之和最小。

10、求下列函数的极值：

（1）f（x）=|)1(|2xx；

（2）f（x）=

1

)1(

24

2





xx

xx

；

（3）f（x）=32)1()1(xx。

11、设f（x）=xbxxa2ln在2,1

21

xx处都取得极值，试求a与b；并问这时f在

1

x与

2

x是

取得极大值还是极小值？

12、在抛物线pxy22哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短。

13、要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC=akm的B城，轮船运费的单价是元/km，火车

运费的单价是元/km（>），试求运河边上的一点M，修建铁路MB，使总运费最省。

§5函数的凸性与拐点

1、确定下列函数的凸性区间与拐点：

（1）y=25363223xxx；（2）y=

x

x

1

；

（3）y=

x

x

1

2；（4）y=)1ln(2x；

（5）y=

21

1

x

。

2、问a和b为何值时，点（1，3）为曲线y=23bxax的拐点？

3、证明：

（1）若f为凸函数，



为非负实数，则



f为凸函数；

（2）若f，g均为凸函数，则f+g为凸函数；

（3）若f为区间I上凸函数，g为Jf（I）上凸增函数，则g·f为I上凸函数。

4、设f为区间I上严格凸函数。证明：若

0

xI

为f的极小值点，则

0

x为f在I上唯一的极小值点。

5、应用凸函数概念证明如下不等式：

（1）对任意实数a，b，有)(

2

1

2

ba

ba

eee



；

（2）对任何非负实数a，b，有ba

ba

arctanarctan

2

arctan2















。

6、证明：若f，g均为区间I上凸函数，则F（x）=max{f（x），g（x）}也是I上凸函数。

7、证明：（1）f为区间I上凸函数的充要条件是对I上任意三点

321

xxx，恒有

0

)(1

)(1

)(1

33

22

11



xfx

xfx

xfx

；

（2）f为严格凸函数的充要条件是Δ>0。

8、应用詹森不等式证明：

（1）设),,2,1(0nia

i

，有

n

aaa

aaa

aaa

n

n

n

n

n













21

21

21

111

；

（2）设),,2,1(0,niba

ii

，有

q

n

i

q

i

p

n

i

p

i

n

i

ii

baba

1

1

1

11





























，

其中1

11

,0,0

qp

qp。

§6函数图象的讨论

按函数作图步骤，作下列函数图象：

（1）y=2015623xxx；（2）y=

2

2

)1(2x

x



；

（3）y=x–2arctanx；（4）y=xxe；

（5）y=3553xx；（6）y=2xe；

（7）y=3

2

)1(xx；（8）y=2

3

2

)2(||xx。

总练习题

1、证明：若f（x）在有限开区间（a，b）内可导，且

)(lim)(limxfxf

bxax



，则至少存在一点),(ba，

使0)(

f。

2、证明：若x>0，则

（1）

)(2

1

1

xx

xx



，其中

2

1

)(

4

1

x；

（2）

2

1

)(lim,

4

1

)(lim

0





xx

xx

。

3、设函数f在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且a·b>0。证明存在),(ba，使得

)()(

)()(

1

ff

bfaf

ba

ba







。

4、设f在[a，b]上三阶可导，证明存在),(ba，使得

)()(

12

1

)]()()[(

2

1

)()(3fabbfafabafbf











。

5、对f（x）=ln（1+x）应用拉格朗日中值定理，试证：对x≥0有

1

1

)1ln(

1

0





xx

。

6、设

n

aaa,,,

21

为n个正数，且

f（x）=

x

x

n

xx

n

aaa

1

21



















。

证明：（1）n

n

x

aaaxf

21

0

)(lim



；

（2）

},,,max{)(lim

21n

x

aaaxf



。

7、求下列极限：

（1）)1ln(/12

1

)1(limx

x

x







；（2）

2

0

)1ln(

lim

x

xxex

x





；

（3）

x

x

x

xsin

1

sin

lim

2

0

。

8、设h>0，函数f在);(haU内具有n+2阶连续导数，且0)()2(afn，f在);(haU内的泰勒公式为

10,

)!1(

)(

!

)(

)()()(1

)1()(



















n

n

n

n

h

n

haf

h

n

af

hafafhaf。

证明：

2

1

lim

0



nh

。

9、设k>0，试问k为何值时，方程arctanx–kx=0存在正实根。

10、证明：对任一多项式p（x），一定存在

1

x与

2

x，使p（x）在（-∞，

1

x）与（

2

x，+∞）分别严格

单调。

11、讨论函数

















,0,0

,0,

1

sin

2

)(

2

x

x

x

x

x

xf

（1）在x=0点是否可导？

（2）是否存在x=0的一个邻域，使f在该邻域内单调？

12、设函数f在[a，b]上二阶可导，0)()(







bfaf。证明存在一点),(ba，使得

|)()(|

)(

4

|)(|

2

afbf

ab

f





。

13、设函数f在[0，a]上具有二阶导数，且Mxf



)(|，f在（0，a）内取得最大值。试证

Maaff







|)(||)0(|。

14、设f在[0，+∞）上可微，且0)0(),()(0



fxfxf。证明：在[0，+∞）上f（x）≡0。

15、设f（x）满足0)()()()(







xfxgxfxf，其中g（x）为任一函数。证明：若

)(0)()(

1010

xxxfxf，则f在[

0

x，

1

x]上恒等于0。

16、证明：定圆内接正n边形面积将随n的增加而增加。

17、证明：f为I上凸函数的充要条件是对任何

1

x，Ix

2

，函数

))1(()(

21

xxf

为[0，1]上的凸函数。

18、证明：（1）设f在（a，+∞）上可导，若

)(lim),(limxfxf

xx





都存在，则

0)(lim





xf

x

。

（2）设f在（a，+∞）上n阶可导，若)(limxf

x

和)(lim)(xfn

x

都存在，则

),,2,1(0)(lim)(nkxfk

x





。

19、设f为),(上的二阶可导函数。若f在),(上有界，则存在),(，使0)(

f。

习题答案

§2柯西中值定理和不定式极限

5、（1）1；（2）

3

3

；（3）1；（4）2；（5）1；（6）

2

1

；（7）1；（8）

e

1

；

（9）1；（10）0；（11）

3

1

；（12）3

1

e；

7、（1）

2

4



；（2）0；（3）1；（4）1e；（5）

2

1

；（6）0；（7）

2

e

；（8）1e。

§3泰勒公式

1、（1）f（x）=)(

2!

!)!12(

)1(

!2

2

3

2

1

2

1

13nn

n

nxx

n

n

xx







；

（2）f（x）=

)(

5

1

3

1

553xxxx；

（3）f（x）=

)(

15

2

3

1

553xxxx。

2、（1）

3

1

；（2）

2

1

；（3）

3

1

。

3、（1）f（x）=32)1()1(7)1(1110xxx；

（2）f（x）=

1

1

132

)1(

)1(

)1(1













n

nn

nn

x

x

xxx



，

10。

4、（1）

!52

1

|)(|

5

4

xR；（2）

16

1

|)(|

2

xR。

5、（1）取718281828.2,12en；（2）04139.1。

§4函数的极值与最大（小）值

1、（1）极大值

16

27

2

3















f；（2）极小值f（-1）=-1，极大值f（1）=1；

（3）极小值f（1）=0，极大值

2

2

4

)(

e

ef；

（4）极大值f（1）=2ln

2

1

4





。

5、（1）最小值f（-1）=-10，最大值f（1）=2；

（2）最小值1

4

















f，无最大值；

（3）最小值

e

ef

2

2。

6、边长为

2

l

。

7、半径与高之比为1：1。

8、取

n

aaa

xn



21。

9、取a=1。

10、（1）极小值0)1()0(ff，极大值

33

2

3

1



















f；

（2）极小值f（-1）=-2，极大值f（1）=2；

（3）极小值f（1）=0，极大值

3125

3456

5

1















f。

11、

1

,

6

1

,

3

2

xba极小值点，

2

x极大值点。

12、)2,(pp。

13、

22





a

。

§5函数的凸性与拐点

1、（1）凹区间)

2

1

,(，凸区间











,

2

1

，拐点











2

13

,

2

1

；

（2）凹区间)0,(，凸区间,0；

（3）凹区间)0,1(，凸区间),0(),1,(，拐点)0,1(；

（4）凹区间),1(),1,(，凸区间)1,1(，拐点2ln,1；

（5）凹区间



















3

1

,

3

1

，凸区间



































,

3

1

,

3

1

,，拐点



















4

3

,

3

1

。

2、

2

9

,

2

3

ba。

§6函数图象的讨论

（1）

x

)5,(

-5

)2,5(

-2

)1,2(

1

),1(

y



+0

———

0+

y



———

0+++

y

增凹

↗

极大值

80)5(f

减凹

↘

拐点

)26,2(

减凸

↘

极小值

28)1(f

增凸

↗

（2）

x

)3,(

-3

)1,3()0,1(

0

),0(

y



+0

—

+0+

y



————

0+

y

增凹

↗

极大值

8

27



减凹

↘

增凹

↗

拐点

)0,0(

增凸

↗

渐近线1

2

1

,1xyx；

（3）

x

)1,(

-1

)0,1(

0

)1,0(

1

),1(

y



+0

———

0+

y



———

0+++

y

增凹

↗

极大值

2

1)5(



f

减凹

↘

拐点

)0,0(

减凸

↘

极小值

2

1)1(



f

增凸

↗

渐近线y=x–π，y=x+π；

（4）

x

)1,(

1

)2,1(

2

),2(

y



+0

———

y



———

0+

y

增凹

↗

极大值

e

f

1

)1(

减凹

↘

拐点













e

2

,2

减凸

↘

渐近线y=0；

（5）奇函数

x0











2

1

,0

2

1













1,

2

1

1

),1(

y



0

———

0+

y



0

—

0+++

y

拐点

)0,0(

减凹

↘

拐点















24

7

,

2

1

减凸

↘

极大值

2)1(f

增凸

↗

（6）偶函数

x0

)

2

1

,0(

2

1













,

2

1

y



0

———

y



——

0+

y

极大值

f（0）=1

减凹

↘

拐点













2

1

,

2

1

e

减凸

↘

渐近线y=0；

（7）

x















5

1

,

5

1



)0,

5

1

(

0













5

2

,0

5

2













,

5

2

y



+++

不

存

在

—

0+

y



—

0+

不

存

在

+++

y

增凹

↗

拐点

































3

2

5

1

5

6

,

5

1增凸

↗

极

大

值

0

减凸

↘

极小值

































3

2

5

2

5

3

,

5

2增凸

↗

（8）设

5

10

3

2

1

,5

10

3

2

1

21

xx，

x

1

,x

1

x)0,(

1

x0











2

1

,0

2

1

y



———不存在

+0

y



+0

—不存在——

y

减凸

↘

拐点

)(,

11

xfx

减凹

↘

极小值

0

增凹

↗

极大值

3

2

2

1

4

9

2

1



























f

x

),

2

1

(

2

x

2

x2,

2

x2

),2(

y



———

0+

y



—

0+++

y

减凹

↘

拐点

)(,

22

xfx

减凸

↘

极小值

0)2(f

增凸

↗

总练习题

7、（1）e；（2）

2

3

；（3）0。

典型习题解答

1、（§1的第2（1）题）方程033cxx（这里c为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不同的实

根。

证明：记cxxxf3)(3，设f（x）=0在[0，1]内有两个不同的实根

21

,xx，且

21

xx，则

0)()(

21

xfxf。

又由于f在],[

21

xx上连续，在),(

21

xx内可导，所以0)(..),,(

21





ftsxx。即0)1(32。

故]1,0[),(1

210

xx（矛盾）。

因此方程033cxx（这里c为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不同的实根。

2、（§1的第5（1）题）应用拉格朗日中值定理证明不等式

a

ab

a

b

b

ab





ln，其中0

证明：由于

a

ab

a

b

b

ab





ln

aab

ab

ba

ab

ab

b

ab1lnln1

lnln













（因为0

故可令f（x）=lnx，),0(],[bax，然后利用拉格朗日中值定理便得证。

3、（§1的第7（1）题）应用函数的单调性证明不等式)

3

,0(,

3

tan

3

x

x

xx。

证明：设

3

tan)(

3x

xxxf，则)

3

,0(,0tan)(22







xxxxf，所以f在)

3

,0(



内严格递增。

又f（x）在x=0处连续且f（0）=0，故当)

3

,0(



x时，f（x）>0，即)

3

,0(,

3

tan

3

x

x

xx。

4、（§2的第2题）设函数f在[a，b]上可导。证明：存在),(ba，使得

)()()]()([222fabafbf



。

证明：由于



















x

x

xfabafbfxfabafbf)(|)]()([)()()]()([222222

0)()()]()([222



xxfabafbfx。

故构造函数)()()]()([)(222xfabafbfxxF，由于f、2x在[a，b]上连续，（a，b）内可导，

所以F（x）在[a，b]上连续，（a，b）内可导，且)()()()(22afbbfabFaF，故由罗尔定理知，

0)(..),,(



Ftsba。

即0)()()]()([222



xxfabafbfx。

5、（§2的第5（1）题）求不定式极限

0

lim

xx

ex

sin

1

。

解：

0

lim

xx

ex

sin

1

=

0

lim

x)(sin

)1(







x

ex

=

0

lim

xx

ex

cos

=1。

6、（§3的第2（1）题）求极限

0

lim

x

3

)1(sin

x

xxxex

。

解：因为

)(

3

)(

!3

)(

!2

1sin3

3

23

3

2

2

x

x

xxx

x

xx

x

xxex



























,

所以

0

lim

x

3

)1(sin

x

xxxex

=

0

lim

x3

1)(

3

1

3

3

















x

x

。

7、（§4的第1（1）题）求函数f（x）=432xx的极值。

解：令0)23(246)(232



xxxxxf，解得

2

3

,0

21

xx。

又09

2

3

















f，所以在

2

3

x处f（x）有极大值

16

27

。由于当)1,0(0Ux时，0)(



xf，故在

x=0的邻域内f严格递增，所以在x=0处f（x）不能取得极值。

8、（§5的第1（1）题）确定函数y=25363223xxx的凸性区间与拐点。

解：令0612



xy，得

2

1

x。

当

2

1

x时，0



y，故函数y在













2

1

,内为凹函数；

当

2

1

x时，0



y，故函数y在











,

2

1

内为凸函数。

由于在











2

1

0U与











2

1

0U内y



的符号相反，故











2

13

,

2

1

为曲线的拐点。

9、（§5的第5（1）题）应用凸函数概念证明不等式)(

2

1

2

ba

ba

eee



，其中Rba,。

证明：设,)(xexf则),(,0)(



xexfx。故f（x）为),(上凸函数。从而对

2

1

,,

21

bxax，有

)(

2

1

1)(

2

1

2

1

1

2

1

2121

xfxfxxf





















































即)(

2

1

2

ba

ba

eee



，其中Rba,。