三角函数诱导公式
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2023年2月16日发(作者：点坐标)优质文档
公式一：设α为随意角，终边一样的角的同一三角函数的值相等：
sin〔2kπ＋α〕＝sinα〔k∈Z〕cos〔2kπ＋α〕＝cosα〔k∈Z〕
tan〔2kπ＋α〕＝tanα〔k∈Z〕cot〔2kπ＋α〕＝cotα〔k∈Z〕
公式二：设α为随意角，π+α的三角函数值和α的三角函数值之间的关系：
sin〔π＋α〕＝－sinαcos〔π＋α〕＝－cosαtan〔π＋α〕＝tanαcot〔π＋α〕＝cotα
公式三：随意角α和-α的三角函数值之间的关系：
sin〔－α〕＝－sinαcos〔－α〕＝cosαtan〔－α〕＝－tanαcot〔－α〕＝－cotα
公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α和α的三角函数值之间的关系：
sin〔π－α〕＝sinαcos〔π－α〕＝－cosαtan〔π－α〕＝－tanαcot〔π－α〕＝－cotα
公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α和α的三角函数值之间的关系：
sin〔2π－α〕＝－sinαcos〔2π－α〕＝cosα
tan〔2π－α〕＝－tanαcot〔2π－α〕＝－cotα
公式六：π/2±α及3π/2±α和α的三角函数值之间的关系：
sin〔π/2＋α〕＝cosαcos〔π/2＋α〕＝－sinα
tan〔π/2＋α〕＝－cotαcot〔π/2＋α〕＝－tanα
sin〔π/2－α〕＝cosαcos〔π/2－α〕＝sinα
tan〔π/2－α〕＝cotαcot〔π/2－α〕＝tanα
sin〔3π/2＋α〕＝－cosαcos〔3π/2＋α〕＝sinα
tan〔3π/2＋α〕＝－cotαcot〔3π/2＋α〕＝－tanα
sin〔3π/2－α〕＝－cosαcos〔3π/2－α〕＝－sinα
tan〔3π/2－α〕＝cotαcot〔3π/2－α〕＝tanα
〔以上k∈Z〕
留意：在做题时，将a看成锐角来做会比拟好做。
诱导公式记忆口诀
※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k±α〔k∈Z〕的三角函数值，
①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不变更；
②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→→tan.
〔奇变偶不变〕
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然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
〔符号看象限〕
例如：sin〔2π－α〕＝sin〔4·π/2－α〕，k＝4为偶数，所以取sinα。
当α是锐角时，2π－α∈〔270°，360°〕，sin〔2π－α〕＜0，符号为“－”。
所以sin〔2π－α〕＝－sinα
上述的记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限。
公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α〔k∈Z〕，-α、180°±α，360°-α
所在象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判定，也可以记住口诀“一全正；二正弦〔余割〕；三两切；四
余弦〔正割〕”．
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；其次象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；
第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．
上述记忆口诀，一全正，二正弦，三内切，四余弦
同角三角函数根本关系
同角三角函数的根本关系式
倒数关系：tanα·cotα＝1sinα·cscα＝1cosα·secα＝1
商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
平方关系：sin^2〔α〕＋cos^2〔α〕＝1
1＋tan^2〔α〕＝sec^2〔α〕1＋cot^2〔α〕＝csc^2〔α〕
同角三角函数关系六角形记忆法
六角形记忆法：〔参看图片或参考资料链接〕
构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间1”的正六边形为模型。
〔1〕倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；
〔2〕商数关系：六边形随意一顶点上的函数值等于和它相邻的两个顶点上函数值的乘积。
〔主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积〕。由此，可得商数关系式。
〔3〕平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上
的三角函数值的平方。
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两角和差公式
两角和和差的三角函数公式
sin〔α＋β〕＝sinαcosβ＋cosαsinβsin〔α－β〕＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos〔α＋β〕＝cosαcosβ－sinαsinβcos〔α－β〕＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tan〔α＋β〕＝〔tanα+tanβ〕／〔1-tanαtanβ〕
tan〔α－β〕＝〔tanα－tanβ〕／〔1＋tanα·tanβ〕
二倍角公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式〔升幂缩角公式〕
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2〔α〕－sin^2〔α〕＝2cos^2〔α〕－1＝1－2sin^2〔α〕
tan2α＝2tanα/[1－tan^2〔α〕]
半角公式
半角的正弦、余弦和正切公式〔降幂扩角公式〕
sin^2〔α/2〕＝〔1－cosα〕／2cos^2〔α/2〕＝〔1＋cosα〕／2
tan^2〔α/2〕＝〔1－cosα〕／〔1＋cosα〕
另也有tan〔α/2〕=〔1－cosα〕/sinα=sinα/〔1+cosα〕
万能公式
sinα=2tan〔α/2〕/[1+tan^2〔α/2〕]cosα=[1-tan^2〔α/2〕]/[1+tan^2〔α/2〕]
tanα=2tan〔α/2〕/[1-tan^2〔α/2〕]
万能公式推导
附推导：
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/〔cos^2〔α〕+sin^2〔α〕〕……*，
〔因为cos^2〔α〕+sin^2〔α〕=1〕
再把*分式上下同除cos^2〔α〕，可得sin2α＝2tanα/〔1＋tan^2〔α〕〕
然后用α/2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α＝3sinα－4sin^3〔α〕cos3α＝4cos^3〔α〕－3cosα
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tan3α＝[3tanα－tan^3〔α〕]／[1－3tan^2〔α〕]
三倍角公式推导
附推导：
tan3α＝sin3α/cos3α
＝〔sin2αcosα＋cos2αsinα〕/〔cos2αcosα-sin2αsinα〕
＝〔2sinαcos^2〔α〕＋cos^2〔α〕sinα－sin^3〔α〕〕/〔cos^3〔α〕－cosαsin^2〔α〕－2sin^2
〔α〕cosα〕
上下同除以cos^3〔α〕，得：
tan3α＝〔3tanα－tan^3〔α〕〕/〔1-3tan^2〔α〕〕
sin3α＝sin〔2α＋α〕＝sin2αcosα＋cos2αsinα
＝2sinαcos^2〔α〕＋〔1－2sin^2〔α〕〕sinα
＝2sinα－2sin^3〔α〕＋sinα－2sin^3
〔α〕
＝3sinα－4sin^3〔α〕
cos3α＝cos〔2α＋α〕＝cos2αcosα－sin2αsinα
＝〔2cos^2〔α〕－1〕cosα－2cosαsin^2〔α〕
＝2cos^3〔α〕－cosα＋〔2cosα－2cos^3〔α〕〕
＝4cos^3〔α〕－3cosα
即
sin3α＝3sinα－4sin^3〔α〕cos3α＝4cos^3〔α〕－3cosα
三倍角公式联想记忆
★记忆方法：谐音、联想
正弦三倍角：3元减4元3角〔欠债了〔被减成负数〕，所以要“挣钱”〔音似“正弦”〕〕
余弦三倍角：4元3角减3元〔减完之后还有“余”〕
☆☆留意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。
★另外的记忆方法：
正弦三倍角：山无司令〔谐音为三无四立〕三指的是“3倍”sinα，无指的是减号，四指的是
“4倍”，立指的是sinα立方
余弦三倍角：司令无山和上同理
和差化积公式
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三角函数的和差化积公式
sinα＋sinβ＝2sin[〔α＋β〕/2]·cos[〔α－β〕/2]
sinα－sinβ＝2cos[〔α＋β〕/2]·sin[〔α－β〕/2]
cosα＋cosβ＝2cos[〔α＋β〕/2]·cos[〔α－β〕/2]
cosα－cosβ＝－2sin[〔α＋β〕/2]·sin[〔α－β〕/2]
积化和差公式
三角函数的积化和差公式
sinα·cosβ＝0.5[sin〔α＋β〕＋sin〔α－β〕]
cosα·sinβ＝0.5[sin〔α＋β〕－sin〔α－β〕]
cosα·cosβ＝0.5[cos〔α＋β〕＋cos〔α－β〕]
sinα·sinβ＝－0.5[cos〔α＋β〕－cos〔α－β〕]
和差化积公式推导
附推导：
首先，我们知道sin〔a+b〕=sina*cosb+cosa*sinb，sin〔a-b〕=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin〔a+b〕+sin〔a-b〕=2sina*cosb
所以，sina*cosb=〔sin〔a+b〕+sin〔a-b〕〕/2
同理，假设把两式相减，就得到cosa*sinb=〔sin〔a+b〕-sin〔a-b〕〕/2
同样的，我们还知道cos〔a+b〕=cosa*cosb-sina*sinb，cos〔a-b〕=cosa*cosb+sina*sinb
所以，把两式相加，我们就可以得到cos〔a+b〕+cos〔a-b〕=2cosa*cosb
所以我们就得到，cosa*cosb=〔cos〔a+b〕+cos〔a-b〕〕/2
同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-〔cos〔a+b〕-cos〔a-b〕〕/2
这样，我们就得到了积化和差的四个公式：
sina*cosb=〔sin〔a+b〕+sin〔a-b〕〕/2cosa*sinb=〔sin〔a+b〕-sin〔a-b〕〕/2
cosa*cosb=〔cos〔a+b〕+cos〔a-b〕〕/2sina*sinb=-〔cos〔a+b〕-cos〔a-b〕〕/2
有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式。
我们把上述四个公式中的a+b设为x，a-b设为y，那么a=〔x+y〕/2，b=〔x-y〕/2
把a，b分别用x，y表示就可以得到和差化积的四个公式：
sinx+siny=2sin〔〔x+y〕/2〕*cos〔〔x-y〕/2〕sinx-siny=2cos〔〔x+y〕/2〕*sin〔〔x-y〕/2〕
cosx+cosy=2cos〔〔x+y〕/2〕*cos〔〔x-y〕/2〕cosx-cosy=-2sin〔〔x+y〕/2〕*sin〔〔x-y〕/2〕