南通电大
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2023年2月13日发(作者：)解决电大尺寸电磁场问题的改进矩量法研究
国海广;范丽思;潘晓东
【摘要】首先介绍基于积分方程的矩量法原理及其特点.基于传统矩量法在解决电
大尺寸电磁场问题上的局限性,分析几种典型的改进矩量法,包括快速多极子方法、
小波矩量法、混合算法和自适应积分法.几种方法通过不同的途径减小了计算量,所
以将几种方法结合起来使用,可以有效地解决电大尺寸电磁场问题.运用改进的矩量
法,突破了传统矩量法解决电大尺寸电磁场问题的局限性.
【期刊名称】《现代电子技术》
【年(卷),期】2009(032)006
【总页数】4页(P130-133)
【关键词】矩量法;快速多极子算法;小波矩量法;自适应积分法
【作者】国海广;范丽思;潘晓东
【作者单位】军械工程学院,静电与电磁防护研究所,河北,石家庄,050003;军械工程
学院,静电与电磁防护研究所,河北,石家庄,050003;军械工程学院,静电与电磁防护研
究所,河北,石家庄,050003
【正文语种】中文
【中图分类】O441
在高频电磁场领域，除了计算常规电小尺寸的问题外，在雷达目标识别、天线辐射、
多天线及耦合等领域，还需要能对电大尺寸物体的电磁场进行分析计算。传统算法
中基于有限元方法(FEM)以及其他基于差分法的算法，在处理这类开放域的问题是
需要对传播空间划分网格，因此对于电大尺寸物体的电磁场计算，计算量相当庞大。
而传统上对电大尺寸物体的分析，普遍采用各种高频近似方法，如物理光学法
(PO)、一致性几何绕射理论(UTD)等。这些方法主要基于高频假设，即物体的每一
个部分基本上独立地散射能量，而与其他部分无关，这样虽然可以简化感应场的计
算，但对于形状复杂物体的计算无法得到精确的结果。处理电大尺寸复杂问题的关
键在于减少未知数和运算时间，使用积分方程法具有优越性，这是因为矩量法只需
计算物体表面电流，而无需计算截断空间内每一处的场值，未知数数量可以大大减
少。然而，传统矩量法处理电大尺寸问题仍旧是缓慢且耗费资源的，所以采用何种
方法来精确而有效地解决电大尺寸物体电磁场问题是十分重要的。在此，讨论几种
基于矩量法的快速算法。
1传统矩量法的基本理论
矩量法的基本原理[1,2]是先选定基函数对未知函数进行近似展开，带入算子方程，
再选取适当的权函数，使在权平均意义下的方程余量等于零，由此将连续的算子方
程转换为代数方程。原则上，矩量法可用于求解微分方程和积分方程，但用于微分
方程所得到的代数方程组中系数矩阵往往都是病态的，故在电磁场问题中主要用于
求解积分方程。下面就简单说明矩量法的求解过程。用矩量法求解如下算子方程：
L(f)=g
(1)
式中：L为线性算子；g为已知的产生场的激励源；f为待求函数。
在算子L的定义域内选择一组基函数则未知函数f(x)可展开为:
(2)
这样，求解函数f(x)的问题就转化为求解的问题。一般取式(2)右端的前N项给出
f(x)的近似值为：
(3)
根据算子L的线性性质，将式(3)代入式(1)可得：
(4)
在算子值域内选择一组权函数同时选定合适的内积运算〈,〉。对式(4)两边关于
wm取内积，有：
(5)
这是以为未知数的N维线性方程组。若令：
Zmn=〈L(fn),wm〉，Vm=〈g,wm〉
(6)
则式(5)可以写成矩阵形式即：
ZI=V
(7)
式中：Z=[Zmn]；I=[a1，a2,…,aN]T，V=[V1，V2,…,VN]T。
由式(6)可以解出未知数把代入式(3)，即求出了近似解fN(x)。积分方程矩量法求
解的最大特点是所导出的线性代数方程组的系数矩阵为满阵。高斯消元法求解矩阵
方程所需的计算时间则与O(N3)成正比。对于电大尺寸物体，未知数的数量非常
庞大，解线性方程组也就变得十分困难。因此需要对矩量法的算法进行改进，以提
高计算速度。
2改进的矩量法
2.1快速多极子方法
快速多极子方法[3-6]的基本物理依据是：源对远区的作用可适当减少信息量，对
计算精度不产生明显的影响，却可以使由矩量法所形成的满阵成为稀疏矩阵，从而
适用于迭代求解。目前，发展的一些专门技巧已将所需的存储空间和每次迭代的计
算时间大大减少，从而大大降低了计算的复杂度。传统的矩量法不加区别地处理各
离散单元间的相互作用，而快速多极子方法将所有离散单元分为若干组，组内单元
之间都是近区作用，再将所有组分为近区组集合和远区组集合，对近区组集合中单
元之间的相互作用仍采用传统的矩量法进行计算，而对远区组集合内单元之间的相
互作用则采用特殊的算法。矩量法和快速多极子方法对单元间相互作用的处理分别
如图1和图2所示。
图2说明快速多极子方法对远区组集合的处理分为3个过程：首先统一求出各源
点单元到所在组中心的作用；然后求出源点所在组中心到观察点单元所在组中心的
作用，这一过程称为转移；最后统一求出观察点单元所在组的中心到各观察点单元
的作用，这一过程称为解聚。借助这种特殊的技术，可使计算量由原来的O(N3)
减少到O(N1.5)，甚至可以到O(NlogN)。
图1矩量法对单元间相互作用的处理
图2快速多极子方法对单元间相互作用的处理
快速多极方法也是不断发展的，其中最突出的就是多层快速多极算法。该算法对划
分的单元在多个层级上进行分组，按照层间嵌套、逐层递推的原则实现快速多极子
方法。具体实施步骤是：先用一个足够大的立方体包围整个散射体，再将该立方体
分为若干个子立方体，构成第一层级，每个子立方体再分为更小的立方体，构成第
二层级，以此类推，可以形成多个层级。最后一个层级的边长不大于入射波的半个
波长，以保证计算精度。在此基础上，先找出最细层级上经过事先编好的每个函数
所在的子立方体，并选出其中的非空子立方体，再在各层级上将非空子立方体用树
形结构标记。类似于传统的快速多极子方法，在最细层级上，邻近组单元间的相互
作用仍然用矩量法计算，只对非邻近组单元采用多快速多极子方法，从最细层级开
始逐层向上聚合，直到第二层(因为一般分法中第二层是区分邻近组和非邻近组的
最粗层级)，然后逐层向下配置，并在此过程中计算转移因子。显然，这种多层算
法适用于电大目标。目标尺寸越大，未知量的数目越多，越容易显现计算的高效率。
提高快速多极子方法计算效率的途径之一是减少每次迭代的计算量。其中一种方法
称为最陡下降快速多极子方法(SDFMM)，用这种方法对三维格林函数的谱域积分
做渐近近似，并表示成若干个二维格林函数的叠加。另一种方法称为射线传播快速
多极子方法(RPFMM)，用这种方法对快速多极子算法进行近似。第三种称为远场
近似快速多极方法(FFAFMM)，其主要特点是当远场区组之间的距离足够大时，可
以用相应的大宗量近似表示转换因子中的特殊函数。
2.2小波矩量法
所谓连续小波矩量法，就是在矩量法中，利用小波函数和尺度函数所具有的特点，
直接用小波函数和尺度函数作为基函数和权函数。离散小波矩量法就是利用小波变
换直接对矩量矩阵进行变换，使之稀疏化，然后求解变换后的矩阵方程[7,8]。两
种方法各有优缺点，对比如表1所示。
已知的大部分连续小波都无解析解，主要靠数值方法求解，通常分为频域方法、迭
代法和离散化法。这些方法都只是给出连续小波的采样值，而且要花费一定的时间，
这使得在计算含有连续小波函数的积分时，很不方便。这是连续小波矩量法的主要
不足之处。由于简便性，离散小波矩量法的应用越来越广泛。
表1两种小波矩量法优缺点对比离散小波变换连续小波变换属于离散有限维
空间中的问题,可以直接利用信号处理、矩阵理论中的方法。公式推倒简单,应用方
便。直接用小波、尺度函数作为展开集合权函数,物理意义直观明确矩量矩阵可以
用脉冲基、点选配生成,积分的奇异点容易处理,矩量法的公式推倒简单可以根据积
分核预测零元素,利用消失矩减少填充矩量矩阵式的直接积分的次数只需要对矩量
矩阵变换,与原来连续算子方程关系不大,易于形成通用程序
2.3混合算法
混合算法就是将矩量法和高频近似方法结合起来使用，主要有MoM(矩量法)-
PO(物理光学法)[9-11]和MoM(矩量法)-UTD(一致性几何绕射法)[12]两种。下面
以MoM-PO为例，简述其原理。
在应用MoM-PO混合算法之前，将待求解的电大尺寸散射体根据实际情况划分为
若干个MoM区域和PO区域。要特别注意的是所有的线段单元必须分配为MoM
区域。与传统的矩量法一样，在MoM区域的面电流和线电流IMoM可表示成基
函数的线性叠加，分别为：
(8)
(9)
使用RWG基函数{fn}来展开MoM区域的面电流和PO区域的面电流此时：
(10)
式(8)和式(9)中，未知系数αn和βn的求解与传统的矩量法完全一样，可通过求
解具有NMoM个变量的线性方程组得到。
由于所有的线单元必须分配为MoM区域，则PO区域的面电流可表示为：
(11)
与传统的矩量法不同，PO区域的面电流表达式中的个未知数γn不是通过解线性
方程组得到的，而是应用PO近似算法得到的。
根据物理光学法可知，在PO区域的面电流可由式(12)给出：
(12)
式中：代表导体的外方向单位矢量；代表入射磁场；δi,δJ,n,δI,n分别为散射体的
遮挡系数因子，如果场点处于照明区则为1，处于阴影区则为和分别表示将相应的
电流源转变为磁场的算子。
由于散射点上观察点处的可表示成处磁场强度的线性函数：
(13)
根据RWG基函数的性质和具体的边界限定条件，式(8)和式(9)最终得到下面的电
积分方程：
(14)
电场积分方程(13)可转化成含有NMoM个变量的线性方程组。运用传统的矩量法
类似方法可以求解出未知系数αn和βn。线性方程组的求解可以得到MoM区域
的面电流和线电流而PO区域的面电流也可以很容易地由式(13)求得。在确定所有
区域的电流分布后，即可根据麦克斯韦方程计算电磁散射问题的近场和远场分布情
况。
该方法可保证MoM区和PO区交界处的电流连续性。在运用该方法分析复杂载
体上天线辐射问题时，通常将天线及其附近一定范围的区域划分为MoM区，作
精确分析；其他区域划入PO区，作近似分析。这样，可在满足一定精度的条件下，
大大节省计算中的内存和CPU需求。
2.4自适应积分方法(AIM)
AIM[13]的引入可以分析不规则物体的特性，AIM方法首先使用三角形面单元或
四面体划分待求物体，再将定义在三角形面元或四面体上的基函数及其散度或旋度
映射到其附近均匀划分的矩形网格节点上，然后使用CGFFT方法求解阻抗矩阵方
程，得到电流分布。AIM在源区使用多个源点代替基函数的作用，这样在源区就
不再需要存储阻抗矩阵元素，可以降低计算机的存储量。
当物体的电尺寸很大时，用矩量法分析，直接对阻抗矩阵求逆需要的运算量是
O(N3)，在使用迭代法求解矩阵，每次矩阵式量相乘的运算量是O(N2)。因此在
对于大型矩阵一般采用迭代法求解矩阵方程。在AIM方法中采用快速傅里叶变换
加快矩阵矢量相乘的速度，每次矩阵矢量相乘的运算量是O(NlogN)，因此AIM
方法中每次迭代的速度要比矩量法中每次迭代的速度快，解决了传统矩量法分析电
大尺寸物体需要庞大的存储量和计算时间漫长的问题，拓展了传统矩量法的适用范
围。
3结果分析
每种改进方法通过不同的方式大大减少了解积分方程时的计算量，表2给出了几
种方法的快速原理和计算量。
表2传统矩量法和几种快速算法的快速原理和计算量算法快速原理计算量传统矩
量法O(N3)多层快速多极子算法减少源对远区作用的信息量O(NlogN)小波矩量
法小波变换产生稀疏矩阵,减少计算量O(NlogN)MoM-PO混合算法将求解区域
划分为MoM区和PO区,在PO区作近似分析减少了PO区精确分析的计算量自
适应积分法在源区使用多个源点代替基函数的作用,从而在源区不需要存储阻抗矩
阵元素面结构O(N1.5logN)体结构O(NlogN)
4结语
对于复杂的电大尺寸对象，靠单一快速算法，其计算量还是比较大的，所以对于解
决具体的电大尺寸问题，还需要把多种快速算法结合起来应用，以达到最佳的效果，
例如专业的电磁场分析软件FEKO，它基于矩量法，拥有高效的多层快速多极子方
法，并将矩量法与高频分析方法(物理光学法PO，一致性绕射理论UTD)完美结合，
对于电小结构问题，FEKO可以采用完全的矩量法进行分析：对于电小和电大尺寸
混合结构的问题，FEKO既可以采用多层快速多极子方法，又可以采用混合方法，
即用矩量法分析电小结构部分，而用高频方法分析电大结构部分。
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