常数概念
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2023年2月16日发(作者：铍药师软膏)数学中的三大常数
姓名:高伟
学号:
班级:数教1201
摘要
文章考查了三个特殊的数,找到了美在数学中的具体表现,并以
此出发阐述了数学美对学生学习数学兴趣的培养的重要性。
关键词:数学美无理数
Threeconstantsinmathematics:
Name:Gaowei
Number:
Abstract
he
concreteembodimentofmathematicalbeautyandexpoundedtheimportanceofthe
cultivationofstudents’interestinlearningmathematics.
Keywords:mathematicalbeautirrational
如果有人告诉你,数学是很奇妙的,你可能会感到惊奇。但你应该知道,有
些人毕生研究数学、创造数学,就像作曲家创作音乐一样。这是为什么呢?也史
上的许多学者、数学家的描述可以说明这一切。彭家勒说:“数学家把义的方法
和他们结果的美联系起来。这不是纯粹的浅薄猎奇。事实上,在解题、证明中,给
我们以美感的是什么呢?是各部分的和谐,是他们的对称、他们的巧妙平衡。总
而言之,就是引人次序,给出统一,容许我们同时清楚地观察和理解整体和细
节的东西。”维纳认为:“数学实质上是艺术的一种。”徐利为:“容结构上
和方法上也具有其自身的美。”可见,正是数学的美引导一代一代的学家攀登
一座一座数学高峰。为此,为吸引年青的数学工作者从事数学研究,从小就应让
他们感到数学美。解决费尔马猜想的安德鲁·怀尔斯就是在10岁到图书馆发现
了别刃多年悬而未决的费尔马猜想在表面上的简单易懂,这种简美让他对数学
着了迷,从而让他终生从事数学研究【1】。
一、说不完道不尽的
大家或许会好奇，究竟哪点吸引人了，能够让数学家们对它痴迷
到如此地步？其实，本身的存在就是一个奇迹：不管一个圆有多大，
它的周长和直径之比总是一个固定的数，它就是3.1416926
5358979323846264338327950···，是一个无限不循环小数。我们把
这个数就叫做圆周率，用希腊字母来表示。在几何问题中，圆周率
扮演着非常重要的角色；然而更神奇的是，它也驰骋于几何以外的其它
数学领域。
1、1布丰投针实验
图1.1
在地板上画一系列间距为2厘米的平行线，然后把一根长度为1
厘米的针扔在地板上。那么，这根针与地板上的线条相交的概率是多少
呢？1733年，法国博物学家布丰（ComtedeBuffon）第一次提出了这
个问题。1777年，布丰自己解决了这个问题——这个概率值是1/。
这个问题可以用微积分直接求解，也能利用期望值的性质得到一个
异常精妙的解答。即使我们现在已经能轻易求出它的答案，结论依然相
当令人吃惊——在这个概率问题上，竟然也有的踪影。有人甚至利
用投针法，求出过π的近似值来。
1、2斯特林近似公式
我们把从1开始一直连乘到n的结果称作“n的阶乘”，在数学
中用n!来表示。也就是说：
1733年，数学家亚伯拉罕·棣莫弗（AbrahamdeMoivre）发现，当n
很大的时候，有：
其中c是某个固定常数。不过棣莫弗本人并没有求出这个常数的准确
值。几年后，数学家詹姆斯·斯特林（JamesStirling）指出，这个常
数c等于2的平方根。也就是说：
这个公式就被称作斯特林近似公式。
1、3平方数的倒数和的极限
1的平方分之一，加上2的平方分之一，加上3的平方分之一，
这样一直加下去，结果会怎样呢？这是一个非常吸引人的问题。
？
从上表中可以看到，越往后加，得数变化幅度就越小。可以预料，
如果无穷地加下去，得数将会无限接近于某一个固定的数。这个数是多
少呢？
1735年，大数学家欧拉（Euler）非常漂亮地解决了这一问题。神
奇的是，这个问题的答案里竟然包含有：
1、4两个整数互质的概率
如果两个整数的最大公约数为1，我们就说这两个数是互质的。例
如，9和14就是互质的，除了1以外它们没有其它的公共约数；9和
15就不互质，因为它们有公共的约数3。可以证明这样一个令人吃惊
的结论：任取两个整数，它们互质的概率是6/，恰好是上面一
个问题的答案的倒数。在一个纯数论领域的问题中出现了圆周率，无疑
给小小的希腊字母更添加了几分神秘。
二、不可思议的e
自然对数的底e是一个令人不可思议的常数，一个由定义出
的常数，居然在数学和物理中频频出现，简直可以说是无处不在。这实在是让我
们不得不敬畏这神奇的数学世界。
2、1欧拉恒等式
但凡说起e，一个必定要提到的公式就是欧拉恒等式——被誉为世界上最美
丽的公式。
数学中最基本的5个常数——0、1、圆周率π、自然对数的底e和虚数单位i，
以及数学中最基本的两个符号,等号和加号，就这样通过一个简单的恒等式联系
在了一起，实在是让人叹服。这个等式有个一几何的直观解释。一个实数在实数
轴上可以用一个向量表示，旋转这个向量，就相当于乘以一个虚数i。据此建立
一个以实数为横轴，虚数为纵轴的坐标系。实单位向量，每次逆时针旋转π/2,可
以分别得到结果1,i,-1,-i,1.即转4次以后就回到了原位。而当实单位向量保
持长度不变旋转角度，得到的向量就是:。根据欧拉公
式:可以看出就代表实单位向量1旋转角后而得到的
向量。所以意味着单位向量逆时针旋转了，结果显然是-1【2】。
图2.1
2、2增长规律
这个世界上有许许多多的事物满足这样的变化规律：增长率正比于变量自身
的大小。例如放射性元素衰变的时候，衰变率就和现存的放射性物质多少成正比；
资源无穷多的社会，人口出生率将（近似的）和现存人口数成正比等等。而此类
变化规律所确定的解，则是由以e为底的指数增长所描述的：如果x的变化率等
于变量x自身的λ倍，那么该变量随时间t的函数则为
其中C是任意常数。而e的直观含义正是增长的极限，这个问题在《不可思议
的e》中有过详细的介绍。
2、3正态分布
图2.2
正态分布是自然科学与行为科学中的定量现象的一个统计模型。各种各样的
心理学测试分数和物理现象比如光子计数都被发现近似地服从正态分布，尽管这
些现象的根本原因经常是未知的。而理论上则可以证明如果把许多小作用加起来
看做一个变量，那么这个变量服从正态分布。
正态分布在生活中也可谓是无处不在。多次反复测量一个物理量，测出来的
值一般来说总是呈正态分布；瓶装可乐的实际体积，也是正态分布；一大群人的
寿命分布、智商分布等，也都是正态分布。而正态分布的表达式中，也神奇的出
现了e。
2、4伽马函数与斯特林公
图2.3
阶乘运算n！本来是定义在正整数上的。数学家最爱做的事情就是推广，因
此阶乘函数自然不能幸免。当把阶乘函数推广到定义域为复数的时候，我们要寻
找的函数就是一条通过了所有（n+1,n!）点的函数。所谓的伽马函数Γ(x)满足
了这个性质，而伽马函数的表达式中又出现了e:
阶乘n!与e还有另一层神秘的联系。
当n趋于无穷大的时候，n!满足下面的近似关系式——斯特林公式：
（其中“~”符号表示同阶，可以大致认为是n趋于无穷大时的约等于）
要计算很大的阶乘值，位数受限而不能直接用计算机求出时，就可以用斯特林公
式近似求出了【3】。
2、5调和级数
所谓调和级数，即1+1/2+1/3+1/4+…+1/n+...。它是一个发散级数，当n
趋于无穷大的时候，这个和也将趋于无穷大。但是同样是发散的级数，发散也有
快慢之分。调和级数发散速度是怎样的呢？伟大的欧拉发现的一个著名极限给出
了答案：
因此调和级数的发散速度正是和以e为底的对数——ln函数的发散速度一致。
2、6素数与e
素数（或称质数）是指除了1和它本身之外，无法被其他自然数整除的数。
素数看似和e毫无联系，可是，素数分布的理论指出，素数的分布与e息息相关。
如果用π(x)表示不大于x的素数个数（注意这里的π不是圆周率！），那么素
数分布中心定理指出
或者可以写成
注意到ln正是以e为底的对数。看，e就这样出现在了看似毫无关系的领域！
三、世界上最孤独的
看到哪个数，你会觉得最孤独？
有人会说是1，因为它孤身一人。有人会说是0，因为它没有任何存在
感。有人会说是214，有人会说是419。这些都是字面上的直接联想，因人而异，
很难说哪个比哪个更加孤独。然而对一个学过数学的人来说，确实存在一个最“孤
独”的数。这个数就是所谓的黄金分割率。许多人
图3.1
说它是最美的数，美不美这种事情是一个主观概念——但我们能从
数学上证明，它是最“无理”的数，最难以接近的数，因而在这个意义
上，是最孤独的数。
3、1越走越近，却永远不能在一起
一个无理数有很多种表现方式。我们最熟悉的是无限不循环小数的形式，每
多写下一位数，就是用一个更加精确的有理数去逼近它。当然，这个过程永远到
不了尽头。但是无理数也可以用分数的形式表现，只不过这个分数也是无穷无尽
的——这就需要“连分数”。不要怕，这里的全部数学只是加减乘除和通分，不
超过小学五年级。先用一个有理数作为例子：1024/137，约等于7.47445255。
第一级近似：7，于是它变成了7+65/137。
第二级近似：把第一级留下的分数倒过来，137/65近似是2，于是它变成
了2+7/65，于是开始的那个数字就变成了7+1/(2+7/65)。
第三级近似：对7/65进行类似处理，以此类推。
最后得到的结果是
或者，省去那些多余的1，可以表达为[7;2,9,3,2]。能够证明，每一个有
限的连分数都代表一个有理数，而每一个有理数能且只能表示成两种形式的连分
数（要求第一个系数是整数，剩下的全是正整数）。比如上面那个数也可以表示
为[7;2,9,3,1,1]。除这两种之外再没有别的写法了。同样的步
骤完全适用于无理数，但这时得到的连分式就会一直延续下去。比如，的连分
式可以表示为
或者用简化的表达式：[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,
2,2,2,...]。这个数列在“整数数列线上大全”（OEIS）中的编号是A001203.
3、2一步一米，或者一步十年
使用连分数来逼近，就会遇到一个“逼近速度”的问题：每前进一步，近似
值向精确值靠近了多少呢？回到的例子。我们先看第一位近似——7。忽略后面
剩下的：
≈3+1/7=22/7≈3.142...
熟悉吗？这就是当年祖冲之发现的“约率”。
如果接下来看到第三位近似:
≈3+1/(7+1/（15+1）)=3+1/(113/16)=
355/113≈3.1415929...
也即祖冲之的“密率”。二者都是对的极好的近似。
这就是连分数的一个神奇属性：当你得到一个连分数后，你就自动获得了“最
快”的逼近精确值的方式。这有点违反直觉——当你用7作为分母的时候，最小
的单位就是1/7，那么误差范围应该是1/14以内吧？实际上，使用连分数获得
的误差范围不是1/14以内，而是1/49以内！
22/7-≈0.0126<(1/7)^2。
更一般地，假如一个无理数，它的某一步连分式展开后变成了p/q的形式，
那么一定有
|-p/q|<1/q^2
而且，这一定是当前最好的精确值，任何比它更精确的分式都一定需要更大的
分母。的前三级展开，分别是22/7、333/106、355/113；你在1-6的范围内一
定找不到比7更好的，1-112的范围内一定找不到比113更好的。但是，7却比
8、9、10……都要好。因此可以说，连分数在某种意义上揭示了一个无理数的深
层结构。
那么回到我们开始的问题。最快的逼近速度有多快？从上面的公式可以看出
来，这完全取决于连分式里具体的每个数——数字越大逼近越快，数字越小逼近
越慢。祖冲之能发现约率和密率，部分原因是因为他运气好，开头的这俩数正
好都不小，所以能给出很漂亮的逼近【4】。
3、3黄金分割率，最漫长的旅程
如果有这样一个数：[1;1,1,1,1,1,1,1,...]
或者，
你肯定猜到了，这就是传说中的黄金分割数，1.61803398...如果去掉前
面的1就会得到另一个常见形式：0.618...而这两个数正好互为倒数。从连
分式这个形式就能看出来为什么。
我们试着逼近一下，得到的是
2/1=2
3/2=1.5
5/3=1.66666...
8/5=1.6
13/8=1.625
21/13=1.61538...
进行了6次近似，结果才到小数点后2位！刚才我们用π仅仅进行了2次近似，
就精确到了小数点后6位。
（你可能注意到了，这个连分数的每一级逼近，就是传说中的斐波那契数列。为
什么？你猜。）
1是最小的正整数。因此，，这个全部由1组成的连分数，是所有数中最难以
接近的数。没有之一。
3、4孤独的数，高冷的数，独一无二的数，不可捉摸的数
许多人说是最美的数，贯穿整个西方艺术史，所有优秀的设计都要用到它。
这其实是夸大其词了。很多所谓的显示了黄金分割率的图，其实只是强行把一个
对数螺线罩上去而已，二者并没有什么相似之处。黄金分割率是19世纪才开始
流行的观念，达芬奇本人从未提过；现实中大部分比例（3:2，4:3，16:9）固然
和黄金率离得不“太”远，但几乎见不到精确符合它的；人体并不严格符合黄金
律；如果你让艺术系的学生挑选他们眼中最美的的长方形，挑出来的长宽比并不
是围绕黄金律的。一项实验表明只要是1.4-1.7范围内的长方形，人们都会觉得
好看。黄金率在审美上没有什么特殊之处，我们看到的只是人们企图攀附它来寻
找所谓的理论依据而已。
图3.2
请问这张图里前面那个对数螺线和后面那个建筑除了一样宽之外还有什
么的关系？
然而，自然界“懂得”它的真正含义。想象你是一朵向日葵。你的果实和种
子是在中心生长出来的，然后逐渐被“推”到外面去，过程中逐渐变大——因此
传统的密堆方式（比如蜂巢那样的六边形）就不能用了。但是每长出一粒新的籽，
你可以选择旋转一定的角度然后再长下一颗。
如果你旋转90度，也就是1/4个圆，结果就是这样：
图3.3
因为外圈的空间比内圈大，所以有些地方你永远用不到。这很浪费空间。选择任
何分数——1/3、1/4、2/5、3/7……结果都是这样，形成周期的图样，而两个周
期中间的地方，总触及不到。
要想避开周期，只能用无理数。结果就是这样：
图3.4
大有改善，但是还有很多缝隙没用上。毕竟，无理数是可以用连分数近似的。近
似得太好的话，就和分数没有太多差别。
因此，我们必须找一个距离分数最远的、最难近似的、最无理的数，这样才不
会产生周期性，才能补上中间的那些空隙。
这就是。它所对应的角度，大约是137.5度【5】。
图3.5
这个数字必须极其精确，不然就会毁掉整个图样。往上数第二张图——那是
137.6度，多了0.1而已。但自然界很明显抓住了这个数。向日葵当然不
懂这背后的数学原理，但在自然选择的压力下它猜中了答案。
参考文献
[1]朱学志,数学史数学方法论选讲,黑龙江林业教育学院,1984年
[2]李文林，任辛喜．数学的力量———漫画数学的价值［M］．北京:
科学出版社，2007:103．
[3]徐方瞿,圆周率二是怎样计算的(初等数学论丛.第二辑),上海
教育出版社,1981年
[4]二夏道行,和.上海教育出版社,1964年
[5]浅说四大重要数学常数()郑达华方匡雕