西安铁一中学
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2023年2月13日发(作者：)第1页（共28页）
2021年陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学五模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）
1．（3分）﹣2021的倒数是（）
A．2021B．C．﹣2021D．
2．（3分）据新浪财经2021年4月2日报到，第一龙头股贵州茅台一路走高，截至收盘涨
近6%至2162元，收涨5.75%，市值激增至272000000元．数据272000000用科学记数
法表示为（）
A．272×106B．2.72×108C．0.272×109D．272×109
3．（3分）如图，把一个含有45°角的直角三角板放在两条平行线m，n上，若∠α＝118°，
则∠β的度数是（）
A．63°B．73°C．75°D．83°
4．（3分）若正比例函数y＝kx的图象经过A（3，﹣m），B（m，﹣3）两个不同的点，则k
的值为（）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
5．（3分）下列运算正确的是（）
A．B．3a2
•2a
3
＝6a
6
C．（a﹣b）2
＝a
2
﹣b
2D．（﹣2a2b）3
＝﹣8a
6b3
6．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针
方向旋转一定的角度得到△DEC，使得A点恰好落在DE上，则线段BD的长为（）
A．2B．5C．2D．3
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7．（3分）若直线l
1
：y＝2x+3与直线l
2
：y＝kx﹣2k（k≠0）的交点在第二象限，则k的取
值范围是（）
A．0＜k＜B．0＜k＜2C．﹣2＜k＜0D．﹣＜k＜0
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，∠DAB的平分线交BD于点F，CD于点E，∠EAC＝
15°，AB＝2，则的EF的长为（）
A．2﹣2B．C．D．
9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝40°，AC＝BC，E为BC的中点，连接OE
并延长交⊙O于点D，连接AD，则∠ADO的大小为（）
A．35°B．25°C．20°D．15°
10．（3分）把抛物线C
1
：y＝x2+2x+3先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度
得到抛物线C
2
.若点A（m，y
1
），B（n，y
2
）都在抛物线C
2
上，且m＜n＜2，则y
1
，y
2
的大小（）
A．y
1
＞y
2
B．y
1
＜y
2
C．y
1
＝y
2
D．无法确定
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）计算：＝．
12．（3分）如图，若正六边形ABCDEF边长为2，G为DE中点，连接对角线BG，则线段
BG的长为．
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13．（3分）如图，已知一个反比例函数y＝（k＞0）的图象经过Rt△ABO的直角边AB的
中点C，交斜边OB于点D，连接CD，若△ODC的面积为1，则k的值
为．
14．（3分）如图，BD和AC为四边形ABCD的对角线，AB⊥BD，∠CBD＝60°，BD＝2BC，
AD＝8，则AC的最大值为．
三、解答题（共11小题，计78分.解答题应写出过程）
15．（5分）解不等式组：．
16．（5分）化简：．
17．（5分）如图，在△ABC中，D为BC边上的中点，连接AD．请用尺规作图法，在AD
上找一点E，使得AE＝2DE．（保留作图痕迹，不写作法）
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18．（5分）如图，已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE，CE，在BC边
上取一点F，使得EF＝EC，求证：AE＝EF且AE⊥EF．
19．（7分）马大爷承包了一个鱼塘，近期为估计鱼塘里鱼的总质量．马大爷随机捕捞了若
干条鱼，分别称得其质量后将其放回鱼塘，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统
计图．
所捕捞鱼的质量频数分布表
组别质量（kg）频数（条
数）
甲1.79
乙1.8a
丙1.930
丁2.06
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）频数分布表中a＝，所捕捞鱼的质量的众数是，中位数是；
（2）扇形统计图中m＝，丁组对应的扇形的圆心角是度．
（3）求所捕捞的鱼的质量的平均数（结果保留小数点后一位）．
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20．（7分）为了测量大树MN的高度，小华在地面上B点处测得大树顶端M的仰角为35°，
小华继续向大树方向走8m到达点D时，又测得遮挡物E点的仰角为60°，已知A、E、
M三点共线，小华的眼睛距地面的高度不变且距离为1.6m，即AB＝CD＝1.6m，遮挡物
EF与大树MN的距离FN＝6m，EF⊥BN，MN⊥BN，（B，D，F，N在同一水平线上）．求
大树的高MN（结果精确到1m）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，
≈1.7）
21．（7分）某水果经销商从种植专业户李大爷处购进甲，乙两种水果进行销售．李大爷为
了答谢经销商，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/kg的
价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共200千克，付款总金额为5200元；
请问经销商购进甲种水果多少千克？
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22．（7分）在一个不透明的盒子中装有4个小球，4个小球上分别标有数字1，2，3，4，
这些小球除数字外其余都相同，现将小球搅拌均匀．
（1）从盒子中任意抽取一个小球，恰好摸到标有奇数数字小球的概率是多少？
（2）先从盒子中任意摸一个小球，再从余下的3个小球中任意摸一个小球，求摸到的2
个小球标有的数字之和大于4的概率（请用树状图或列表的方法求解）．
23．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABC＝45°，AD为⊙O的直径，过C点
作⊙O的切线，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥CE；
（2）若⊙O的半径R＝5，BD＝6，求CE的长．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，
0），B（3，0）两点，与轴交于C（0，﹣1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接AC，BC，过O点的直线l∥BC，点E，D分别为直线l和抛物线上的点，试
探究第一象限是否存在这样的点E，D，使△BDE为等腰直角三角形，若存在，请求出
所有的E点的坐标；若不存在，请说明理由．
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25．（12分）问题发现（1）如图1，已知⊙O的半径为3，OA＝1．P为⊙O上一动点，则
AP的最大值为；
问题探究（2）如图2，在△ABC中，设AC＝b，AB＝c，BC＝a，D为BC的中点，连接
AD．求证：AD2
＝（2b
2+2c2
﹣a
2
）；
小明同学思考时，先过A点作AH⊥BC于H，请你试着帮助小明完成剩下的过程．
问题解决（3）如图3，O为平面内一定点，且满足OA＝3，OB＝OC＝5，现在要建一个
面积尽可能大的矩形景区ABDC，使得∠CAB＝∠ABD＝∠D＝90°，请问是否存在这样
一个满足要求的矩形ABDC？若存在，请求出这个矩形ABDC的最大面积；若不存在，
请说明理由．（结果保留根号）
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2021年陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学五模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）
1．（3分）﹣2021的倒数是（）
A．2021B．C．﹣2021D．
【解答】解：﹣2021的倒数是：﹣．
故选：D．
2．（3分）据新浪财经2021年4月2日报到，第一龙头股贵州茅台一路走高，截至收盘涨
近6%至2162元，收涨5.75%，市值激增至272000000元．数据272000000用科学记数
法表示为（）
A．272×106B．2.72×108C．0.272×109D．272×109
【解答】解：272000000＝2.72×10
8
，
故选：B．
3．（3分）如图，把一个含有45°角的直角三角板放在两条平行线m，n上，若∠α＝118°，
则∠β的度数是（）
A．63°B．73°C．75°D．83°
【解答】解：如图，
∵m∥n，
∴∠1＝∠2，
∵∠α＝∠2+∠A，
而∠A＝45°，∠α＝118°，
∴∠2＝118°﹣45°＝73°，
∴∠1＝73°，
∴∠β＝73°．
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故选：B．
4．（3分）若正比例函数y＝kx的图象经过A（3，﹣m），B（m，﹣3）两个不同的点，则k
的值为（）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过A（3，﹣m），B（m，﹣3）两个不同的点，
∴，
解得：k＝±1，
当k＝1时，m＝﹣3，则A（3，3），B（﹣3，﹣3），符合题意，
当k＝﹣1时，m＝3，则A（3，﹣3），B（3，﹣3），不合题意，
∴k＝1，
故选：A．
5．（3分）下列运算正确的是（）
A．B．3a2
•2a
3
＝6a
6
C．（a﹣b）2
＝a
2
﹣b
2D．（﹣2a2b）3
＝﹣8a
6b3
【解答】解：A、5+＝5+3，被开方数不同，无法进行加减运算，故此选项
错误；
B、3a2
•2a
3
＝6a
5
，故此选项错误；
C、（a﹣b）2
＝a
2
﹣2ab+b
2
，故此选项错误；
D、（﹣2a2b）3
＝﹣8a
6b3
，故此选项正确．
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针
方向旋转一定的角度得到△DEC，使得A点恰好落在DE上，则线段BD的长为（）
第10页（共28页）
A．2B．5C．2D．3
【解答】解：如图，连接BE，
∵∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，
∴BC＝＝＝2，
sin∠ABC＝＝，
∴∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度得到△DEC，
∴AC＝CD，CE＝CB＝2，∠CAB＝∠CDE＝60°，∠BCE＝∠ACD，∠CED＝∠ABC
＝30°，AB＝DE＝4，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE＝BC＝2，∠CEB＝60°，
∴∠DEB＝90°，
∴DB＝＝＝2，
故选：C．
7．（3分）若直线l
1
：y＝2x+3与直线l
2
：y＝kx﹣2k（k≠0）的交点在第二象限，则k的取
值范围是（）
第11页（共28页）
A．0＜k＜B．0＜k＜2C．﹣2＜k＜0D．﹣＜k＜0
【解答】解：由直线l
1
：y＝2x+3可知，直线l
1
：y＝2x+3与x轴的交点为（﹣，0），
与y轴的交点为（0，3），
∵直线l
2
：y＝kx﹣2k＝k（x﹣2），
∴直线l
2
：y＝kx﹣2k过定点（2，0），
∵直线l
1
：y＝2x+3与直线l
2
：y＝kx﹣2k（k≠0）的交点在第二象限，
∴k＜0且﹣2k＜3，
∴﹣＜k＜0，
故选：D．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，∠DAB的平分线交BD于点F，CD于点E，∠EAC＝
15°，AB＝2，则的EF的长为（）
A．2﹣2B．C．D．
【解答】解：如图，过点F作FG⊥AD于点G，
在矩形ABCD中，EA是∠DAB的平分线，
∴∠DAD＝∠EAB＝∠AED＝45°，
∴AD＝DE，AG＝GF，
∵∠EAC＝15°，
∴∠DAC＝60°，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∵AB＝2，
第12页（共28页）
∴AD＝2，BD＝4，
∴AD＝AE＝2，
∴AE＝2，
∵∠GDF＝60°，DG＝AD﹣AG＝2﹣GF，
∴GF＝DGtan60°，
∴GF＝（2﹣GF）×，
解得GF＝3﹣，
∴AF＝GF＝3﹣，
∴EF＝AE﹣AF＝2﹣（3﹣）＝﹣．
故选：B．
9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝40°，AC＝BC，E为BC的中点，连接OE
并延长交⊙O于点D，连接AD，则∠ADO的大小为（）
A．35°B．25°C．20°D．15°
【解答】解：连接BD，CD，
∵∠ACB＝40，
∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠ACB＝140°，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝70°，
∴∠BDC＝180°﹣∠CAB＝110°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠BDE＝∠CDE＝∠BDC＝55°，
∵∠BDA＝∠ACB＝40°，
第13页（共28页）
∴∠ADO＝∠BDE﹣∠BDA＝15°，
故选：D．
10．（3分）把抛物线C
1
：y＝x2+2x+3先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度
得到抛物线C
2
.若点A（m，y
1
），B（n，y
2
）都在抛物线C
2
上，且m＜n＜2，则y
1
，y
2
的大小（）
A．y
1
＞y
2
B．y
1
＜y
2
C．y
1
＝y
2
D．无法确定
【解答】解：∵y＝x
2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴把抛物线C
1
：y＝x2+2x+3先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛
物线C
2
：y＝（x+1﹣3）2+2﹣4，即y＝（x﹣2）2
﹣2，
∴抛物线C
2
的函数关系式为：y＝（x﹣2）2
﹣2，
∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝2，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小，
∵点A（m，y
1
），B（n，y
2
）都在抛物线C
2
上，且m＜n＜2，
∴y
1
＞y
2
，
故选：A．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）计算：＝2﹣2．
【解答】解：原式＝﹣2
＝2﹣2．
故答案为2﹣2．
12．（3分）如图，若正六边形ABCDEF边长为2，G为DE中点，连接对角线BG，则线段
BG的长为．
第14页（共28页）
【解答】解：连接BE，过A作AM⊥BE于M，过F作FN⊥BE于N，过G作GH⊥BE
于H，
则AF∥BE，
∴四边形AMNF是矩形，
∴MN＝AF＝2，∠FAM＝90°，
∵∠BAF＝＝120°，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝1，
同理：EN＝1，
∴BE＝4，EH＝，GH＝，
∴BH＝BE﹣EH＝4﹣＝，
∴BG＝＝＝，
方法二：连接BD，
∵正六边形ABCDEF边长为2，G为DE中点，
∴BC＝CD＝2，DG＝DE＝1，∠C＝∠CDG＝120°，
∴∠CDB＝30°，
∴∠BDG＝90°，
过C作CH⊥BD于H，
∴∠CHD＝90°，
∴DH＝CD＝，
∴BD＝2，
∴BG＝＝，
第15页（共28页）
故答案为：．
13．（3分）如图，已知一个反比例函数y＝（k＞0）的图象经过Rt△ABO的直角边AB的
中点C，交斜边OB于点D，连接CD，若△ODC的面积为1，则k的值为．
【解答】解：过点C作CN⊥y轴于点N，交OD于点E，作MD⊥y轴于点M，则：MD
∥NC∥OA，
设点C（a，），
∵点C是AB的中点，CN∥OA，
∴CE＝EN＝＝，
∴S
△NEO
＝S
△CEO
＝，
∵△CDO的面积为1，
∴S
△CED
＝1﹣，
∴，
第16页（共28页）
∴MN＝，
∴y
D
＝MN+NO＝，
∴x
D
＝，即：MD＝，
∵点D在反比例函数图象上，
∴S
△MOD
＝，
∴S
梯形MNED
＝S
△MOD
﹣S
△NEO
＝，
∴，
解得：k
1
＝，k
2
＝（舍），
故答案为：．
14．（3分）如图，BD和AC为四边形ABCD的对角线，AB⊥BD，∠CBD＝60°，BD＝2BC，
AD＝8，则AC的最大值为2．
【解答】解：取AD的中点为O，连接BO，作Rt△ODG，使∠DGO＝90°，∠ODG＝
30°，连接CG，
过点D作DC\'⊥BC于C\'，
∵∠CBD＝60°，
第17页（共28页）
∴BD＝2BC\'，
∵BD＝2BC，
∴点C与C\'重合，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝∠ODG＝30°，
∴∠GDC＝∠BDO，，
∴△CDG∽△BDO，
∴，
∴BO＝，
∴，
连接AG，过点G作GH⊥OD于H，
∵OG＝，
在Rt△HOG中，∠HOG＝60°，
∴OH＝1，GH＝，
∴AH＝5，
在Rt△AHG中，由勾股定理得：
∴AG＝，
∴AC≤AG+CG，
∴AC≤2+2，
∴AC的最大值为：2+2，
故答案为：2+2．
三、解答题（共11小题，计78分.解答题应写出过程）
第18页（共28页）
15．（5分）解不等式组：．
【解答】解：，
由①得x＜3，
由②得x≥﹣2，
不等式组的解集为﹣2≤x＜3．
16．（5分）化简：．
【解答】解：原式＝[+]•
＝•
＝•
＝．
17．（5分）如图，在△ABC中，D为BC边上的中点，连接AD．请用尺规作图法，在AD
上找一点E，使得AE＝2DE．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：如图，点E即为所求作．
18．（5分）如图，已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE，CE，在BC边
上取一点F，使得EF＝EC，求证：AE＝EF且AE⊥EF．
第19页（共28页）
【解答】证明∵四边形ABCD是正方形，E点在对角线BD上，
∴∠ABE＝∠CBE＝45°，AB＝CB，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝EC，
∵EF＝EC，
∴AE＝EF；
∵EF＝EC，
∴∠EFC＝∠ECF＝∠ECB，
∵∠EFC＝∠EBF+∠BEF＝45°+∠BEF＝∠ECB，
∴∠BEF＝∠ECB﹣45°，
∵∠AEB＝180°﹣∠ABD﹣∠BAE＝180°﹣45°﹣∠ECB，
∴∠AEF＝180°﹣45°﹣∠ECB+∠EDB﹣45°＝90°，
∴AE⊥EF，
∴AE＝EF且AE⊥EF．
19．（7分）马大爷承包了一个鱼塘，近期为估计鱼塘里鱼的总质量．马大爷随机捕捞了若
干条鱼，分别称得其质量后将其放回鱼塘，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统
计图．
所捕捞鱼的质量频数分布表
组别质量（kg）频数（条
数）
甲1.79
乙1.8a
丙1.930
丁2.06
第20页（共28页）
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）频数分布表中a＝15，所捕捞鱼的质量的众数是1.9kg，中位数是1.9kg；
（2）扇形统计图中m＝15，丁组对应的扇形的圆心角是36度．
（3）求所捕捞的鱼的质量的平均数（结果保留小数点后一位）．
【解答】解：（1）30÷50%＝60（条），a＝60×25%＝15；
1.9出现了30次，次数最多，所以众数是1.9kg；
60个数据按从小到大的顺序排列，其中第30、31个数据都是1.9，所以中位数是（1.9+1.9）
÷2＝1.9（kg）．
故答案为：15，1.9kg，1.9kg；
（2）m%＝×100%＝15%，m＝15；
360°×＝36°．
故答案为：15，36；
（3）所捕捞的鱼的质量的平均数为：＝1.855≈1.9
（kg）．
答：所捕捞的鱼的质量的平均数为1.9kg．
20．（7分）为了测量大树MN的高度，小华在地面上B点处测得大树顶端M的仰角为35°，
小华继续向大树方向走8m到达点D时，又测得遮挡物E点的仰角为60°，已知A、E、
M三点共线，小华的眼睛距地面的高度不变且距离为1.6m，即AB＝CD＝1.6m，遮挡物
EF与大树MN的距离FN＝6m，EF⊥BN，MN⊥BN，（B，D，F，N在同一水平线上）．求
大树的高MN（结果精确到1m）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，
≈1.7）
第21页（共28页）
【解答】解：延长AC交EF于P，交MN于Q，如图所示：
则QN＝AB＝1.6m，PQ＝FN＝6m，
在Rt△ECP中，∠ECP＝60°，tan∠ECP＝＝tan60°＝，
∴EP＝CP，
设CP＝xm，则EP＝xm，
∴AP＝AC+CP＝（8+x）m，AQ＝AC+CP+PQ＝8m+xm+6m＝（14+x）m，
∵tan∠EAP＝＝tan35°≈0.7，
∴≈0.7，
解得：x＝5.6，
∴AQ＝19.6（m），
∵tan∠MAQ＝＝tan35°≈0.7，
∴MQ≈0.7AQ＝0.7×19.6＝13.72（m），
∴MN＝MQ+QN＝13.72+1.6≈15（m），
答：大树的高MN约为15m．
第22页（共28页）
21．（7分）某水果经销商从种植专业户李大爷处购进甲，乙两种水果进行销售．李大爷为
了答谢经销商，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/kg的
价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共200千克，付款总金额为5200元；
请问经销商购进甲种水果多少千克？
【解答】（1）解：当0≤x≤50时，
设函数为y＝kx（k≠0），
∵图象经过点（50，1500），
∴50k＝1500，
解得k＝30，
∴y＝30x；
当x＞50时，
设函数为y＝kx+b（k≠0），
∵图象经过点（50，1500），（70，1980），
∴，
解得k＝24，b＝300，
∴y＝24x+300．
故答案为：y＝．
（2）设购进甲x千克，则购进乙（200﹣x）千克，
当0≤x≤50时，
第23页（共28页）
由（1）可列方程：30x+25（200﹣x）＝5200，
30x+5000﹣25x＝5200，
x＝40，
∴经销商购进甲种水果40千克，乙种水果160千克；
当x＞50时，
由（1）可列方程得：24x+300+25（200﹣x）＝5200，
24x+300+5000﹣25x＝5200，
x＝100，
∴经销商购进甲种水果100千克，乙种水果100千克．
综上所述：经销商购进甲种水果40千克或100千克．
22．（7分）在一个不透明的盒子中装有4个小球，4个小球上分别标有数字1，2，3，4，
这些小球除数字外其余都相同，现将小球搅拌均匀．
（1）从盒子中任意抽取一个小球，恰好摸到标有奇数数字小球的概率是多少？
（2）先从盒子中任意摸一个小球，再从余下的3个小球中任意摸一个小球，求摸到的2
个小球标有的数字之和大于4的概率（请用树状图或列表的方法求解）．
【解答】解：（1）从盒子中任意抽取一个小球，恰好摸到标有奇数数字小球的概率＝＝
；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中摸到的2个小球标有的数字之和大于4的结果数为8，
所以摸到的2个小球标有的数字之和大于4的概率＝＝．
23．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABC＝45°，AD为⊙O的直径，过C点
作⊙O的切线，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥CE；
（2）若⊙O的半径R＝5，BD＝6，求CE的长．
第24页（共28页）
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
∵∠AOC＝2∠ABC＝2×45°＝90°，
∴∠AOC＝∠OCE，
∴AD∥CE；
（2）过D点作DH⊥BC于H，如图，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠CBD＝45°，∠ADC＝45°，
∴△ADC和△BDH都是等腰直角三角形，
∴CD＝AD＝×10＝5，BH＝DH＝BD＝×6＝3，
在Rt△CDH中，CH＝＝4，
∴BC＝BH+CH＝3+4＝7，
∵AD∥CE，
∴∠ECD＝∠ADC＝45°，
∴∠ECD＝∠CBE，
∵∠CED＝∠BEC，
∴△ECD∽△EBC，
∴＝＝＝＝，
设DE＝5x，CE＝7x，
第25页（共28页）
∴＝，解得x＝，
经检验x＝为方程的解，
∴CE＝7x＝．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，
0），B（3，0）两点，与轴交于C（0，﹣1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接AC，BC，过O点的直线l∥BC，点E，D分别为直线l和抛物线上的点，试
探究第一象限是否存在这样的点E，D，使△BDE为等腰直角三角形，若存在，请求出
所有的E点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x
2
﹣x﹣1；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝x﹣1，
∵l∥BC，且过点O，
则直线l的表达式为y＝x，故设点E的坐标为（m，m），
第26页（共28页）
而点B的坐标为（3，0），
当∠EBD为直角时，则BE＝BD，
分别过点E、D作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵∠EBM+∠DBN＝90°，∠DBN+∠BDN＝90°，
∴∠EBM＝∠BDN，
∴∠BME＝∠DNB＝90°，BE＝BD，
∴△BME≌△DNB（AAS），
∴BN＝EM＝m，DN＝BM＝3﹣m，
故点D的坐标为（3+m，3﹣m），
将点D的坐标代入抛物线表达式得：3﹣m＝（3+m）
2
﹣（3+m）﹣1，
解得m＝（负值已舍去），
故点E的坐标为（，）；
当∠EDB为直角时，
同理可得，点D的坐标为（m，3﹣m），
将点D的坐标代入抛物线表达式得：3﹣m＝（）
2
﹣（）﹣1，
解得：m＝﹣4.5（舍去）或6；
故点E的坐标为（6，2）．
综上，点E的坐标为为（，）或（6，2）．
25．（12分）问题发现（1）如图1，已知⊙O的半径为3，OA＝1．P为⊙O上一动点，则
AP的最大值为4；
问题探究（2）如图2，在△ABC中，设AC＝b，AB＝c，BC＝a，D为BC的中点，连接
第27页（共28页）
AD．求证：AD2
＝（2b
2+2c2
﹣a
2
）；
小明同学思考时，先过A点作AH⊥BC于H，请你试着帮助小明完成剩下的过程．
问题解决（3）如图3，O为平面内一定点，且满足OA＝3，OB＝OC＝5，现在要建一个
面积尽可能大的矩形景区ABDC，使得∠CAB＝∠ABD＝∠D＝90°，请问是否存在这样
一个满足要求的矩形ABDC？若存在，请求出这个矩形ABDC的最大面积；若不存在，
请说明理由．（结果保留根号）
【解答】解：（1）当P、O、A三点共线时，AP的值最大，
则AP＝3+OA＝3+1＝4，
故答案为：4；
（2）设AD＝x，则BH＝a+x，CH＝a﹣x，
在Rt△ABH中，c
2
﹣（a+x）
2
＝AH
2
①；
在Rt△ACH中，b
2
﹣（a﹣x）
2
＝AH
2
②；
联立①②并解得x＝，
则AD
2
＝x
2+AH2
＝（）
2+b2
﹣（a﹣）
2
＝（2b
2+2c2
﹣a
2
）；
（3）设一个矩形的周长为2a，一边长为x，则其邻边长为a﹣x，
则该矩形的面积为a（a﹣x）＝﹣ax
2+a2
，
∵﹣a＜0，故该矩形面积有最大值，当x＝a时，面积最大，
此时一边为a，另外一边为a﹣x＝a，
即当矩形为正方形时，该矩形的面积最大；
故当题设矩形ABDC的最大面积时，该矩形为正方形，如下图：
第28页（共28页）
过点O作OH⊥AB于点H，则AH＝OH＝AO＝，
则BH＝＝＝，
故AB＝，
则矩形的面积＝AB
2
＝25+3．