函数连续的三个条件
-想北平教案
2023年2月16日发(作者：原来这么简单作文600字)第２０卷第４期
２００７年１２月
张家口职业技术学院学报
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｚｈａｎｇｊｉａｋｏｕ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
Ｖ０１．２０ Ｎｏ．４
Ｄｅｃｅｍｂｅｒ，２００７
函数一致连续的几个充要条件
赵向会
（河北科技大学理学院，河北石家庄０５００１８）
摘要：本文给出函数一致连续的定义，讨论了定义在区间和有界实数集上函数一致连续的充要条件。
关键词：函数；一致连续；充要条件
中图分类号：０１７４．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８—８１５６（２００７）０４—００７５—０３
一
、
函数一致连续的定义
定义１ 对于任意的８＞０，可找到６（８）＞０，使得对于区间，中任意两点 。和 ，当Ｉ 。一 Ｉ＜６（８）时有
Ｉ，（ １）一，（ ２）Ｉ＜８
成立，则称函数，（ ）在区间，上一致连续。
对于函数的一致连续的否定定义可叙述为：
定义１ 若存在某正数８＞０，对于任意的６＞０，总存在 ｌ， ２ Ｅ，，当Ｉ ｌ— ２ Ｉ＜６时，有
Ｉ，（ １）一，（ ２）Ｉ≥８
则称函数，（ ）在区间，上非一致连续。
例１ ）＝ｓｉｎ÷在（ｃ，１）（ｃ＞０）上是一致连续的，在（０，１）上连续而非一致连续。
证明：当ｃ＜ ｌ， ２＜１时
，ｆ（Ｘｌ ）Ｊ＝ｌｓｉｎ １ ｓｉｎ ｌ
－＜２ ｎ Ｉｌｃ。ｓ ｌ－－＜１ ｌ－－＜１ ，－＜Ｍ Ｉ Ｘｌ－－Ｘ２ １
．
・
・对Ｖ８＞０，取６＜寺 ）＝８ｉｎ÷在（ｃ，１）（ｃ＞０）上是一致连续的。
，（ ）＝ｓｉｎ ｝在（０，１）上连续是显然的，下面证明，（ ）＝ｓｉｎ ｝在（０，１）上非一致连续。
对。＜８＜２且，取 － １
，
１
， 为正整数，
贝０ Ｊ，（ １）一，（ ２）ｌ＝Ｊ １一（一１）Ｉ＝２＞８
而Ｊ Ｉ一 ２ Ｉ ０，
所以，（ ）＝ｓｉｎ 在（０，１）上连续而非一致连续。
命题：在区间一致连续的函数 ）必连续，反之则不然。（证明略）
从而可以看到连续是函数的局部性质，而一致连续是函数的整体性质。
二、函数一致连续的充要条件
定理１ （Ｃａｎｔｏｒ定理）函数，（ ）在区间［口，ｂ］一致连续当且仅当，（ ）在区间［口，ｂ］连续。
证明：必要性由上面的命题可得。
收稿日期：２００７—１１—１８
作者简介：赵向会（１９７２一），女，河北唐县人，硕士，河北科技大学讲师。研究方向：代数组合论。
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２００７年１２月 张家口职业技术学院学报 第４期
充分性可参考文献［１］。
定理２ 在有界实数集Ｅ上定义的函数 ）在Ｅ上一致连续的充要条件是Ｅ内任意的收敛数列｛ ｝其对应的函数
值数列｛ ）｝也是收敛的。
证明：必要性：设 ）在Ｅ上一致连续，则对任给的 ＞０，存在６＞０，使 ”∈Ｅ且
ｌ 一 ”ｌ＜６时有Ｉ／ ，一／ ）ｌ＜６
对于上述的６，由于数列｛ ｝收敛，故存在Ⅳ，使ｍ，Ｉｔ＞Ｎ时，有ｌ 一 Ｉ＜６，从而ｌ ）一 ）ｌ＜ ，即数列
｛ ）｝是收敛的。
充分性：假设函数 ）在Ｅ上不一致连续，则存在某正数 ，对于任给的正数６，总可以找到与此６相应的两点 ， ∈
Ｅ，使ｌ 一 ｌ＜６，但ｌ ）一 ）ｌ≥ ，现取６ ＝÷（ｎ＝１，２…），则总可以找到数列｛ ：”｝与｛ ： ｝Ｃ Ｅ，使得
ｌ ：“一 ： ｌ＜÷，ｌ ）一 ： ’）ｌ≥ ，从｛ ： ｝Ｃ Ｅ总可以选出收敛的子列｛ ｝，从｛ ： ｝Ｃ Ｅ总可以选出收
敛的子列｛ ｝，由于０≤ｌ 一 ｌ＜÷一０（ 一 ），所以有ｌｉ，ｍ ＝ｌｉ ｍ ，从而 ，
・＾一∞●一∞
１ｉ ｍ［ ０ ）一 ）］＝０
故当 充分大时，有ｌ ’）一 ）ｌ＜ 。而由上述条件对一切 有ｌ ）一 ’）Ｉ≥ ，这一矛盾说明假设
不成立，则 ）在Ｅ上一致连续。
（注）在定理２中，若有界集换成无界集，则结论是必要而非充分的。
例２ ）＝ｓｉｎｘ ，在（一。。，＋。。）上连续，由连续的定义 ）把（一 ，＋ ）中的收敛数列变成收敛的函数列，但
是不一致连续，只需令 ＝ ， ”＝√ｎ仃＋詈即可证。
由例ｌ中可以看到开区间上的一致连续与区间端点的极限有关，这就是定理２的推论。
推论 连续函数 ）在（ａ，６）上为一致连续的充要条件是 ａ＋０） ６—０）存在且有限。
证明：必要性：设 ）在（ａ，６）上一致连续，即对任给的正数 ＞０，存在６＞０，当ｘ．ｘ”∈（ａ，６）且ｌ 一 ”ｌ＜６时
有ｌ ，一 ”）ｌ＜ ，特别当 ， ”∈（８，ａ＋６）时有ｌ 一 ”ｌ＜６，从而有ｌ ’－ｆ（ ”）ｌ＜ ，由函数极限的柯西准
则知 ａ＋０）存在且为有限值，同理可证 ６—０）存在且为有限值。
充分性：设 ）在（ａ，６）上连续，且 ａ＋０） ６—０）存在且有限，补充定义 ａ）＝ ａ＋０） ６）＝ ６—０）使得
）在［ａ，６］上连续，从而一致连续，结论得证。
定理３ 函数 ）在区间ｊ上为一致连续的充要条件是对任给的正数 ，及 ， ”∈，，总存在正整数Ⅳ，使得当
ｌ Ｉ＞Ⅳ时，有Ｉ ｆ（ｘ０一Ａｘ＂）Ｉ＜Ｅｏ
证明：必要性，由于函数 ）在区间，上为一致连续，则对于任意的 ＞０，存在６＞０，并且ｌ 一 ”Ｉ＜６时有Ｉ ，
一 ）ｌ＜ ，也就是说若ｌ 。一Ａｘ＂）ｌ≥ ，则必有ｌ Ｘ＇－Ｘ＂ｌ≥６，现取Ⅳ＝警，设ｌ 羔 ｌ＞Ⅳ成立，则有
ｌ，（ ，一，（ ”）ｌ≥ 时，与已知矛盾。
事实上，令 ＝ｌ ，一 ”）ｌ，则存在正整数 ＞１，使（ 一１） ≤ ≤如，同时令卢 ，则 ＜卢＜２ ，不妨
设，（ ，＜，（ ”） （ ＜ ”）时，因为
，＜ ，＋ ＜ ，＋ ＝ ”）
由介值定理可知，至少存在 ｅ（ ”）使得 ）＝ ，＋
同理，至少存在 ∈（ ， ”），使得，（ ）＝，（ ）＋
如此继续下去，则 ＜ ＜…＜ ． ＜ ，其中规定靠＝ ＝ “，这是对于每个下标 ，因为ｌ，（基）一，（基． ）ｌ＝
卢≥ ，由一致连续的定义有靠一 ≥６；ｆ＝１，２，…ｊｃ
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２００７年ｌ２月 赵向会 函数一致连续的几个充要条件 第４期
从而Ｉ Ｉ≤ ≤詈≤警＝Ⅳ，与假设矛盾，命题得证。对于 ＞ ”的情况，可以类似讨论。
充分性：由于对任给的正数 ＞Ｏ，及 ”Ｅ，，由题设总存在正整数Ｎ，使得当
Ｉ Ｉ＞Ⅳ时，Ｉ，（ 々一，（ ，，）Ｉ＜ 成立。
现取６＝寺，若Ｉ ，一 ”）Ｉ≥ ，则必有Ｉ Ｉ≤Ⅳ，或‘ Ｉ≥ １，此时有Ｉ Ｘ￣－Ｘ＂Ｉ＝
ｌｌ存 １．Ｉ，（ ，一，（ ）Ｉ≥ ＝６。
这就是说对 ， ”∈Ｉ时，只要Ｉ 一 ”Ｉ＜６，必有Ｉ，（ ，一，（ ”）Ｉ＜ 。
由一致连续的定义可知充分性得证。
定理４ 函数，（ ）在区间，上一致连续的充要条件是区间，上满足ｌｉ ｍ（ 一Ｙ ）＝０的任意两数列｛ ｝，｛Ｙ ｝总有
ｌｉ ｍ（，（ ）一 Ｙ ））：０
证明：必要性，由一致连续的定义，对任给的 ＞０，存在６＞０，当Ｉ 一Ｙ Ｉ＜６时，有Ｉ ）一 Ｙ ）Ｉ＜ ，这就是说
对任意的两数列｛ ｝，｛Ｙ ｝，当ｎ一 ，Ｉ 一Ｙ Ｉ一０，必有ｌｉ ｍ（，（ ）一 Ｙ ））＝０。
充分性：假设，（ ）在区间，上不是一致连续，则存在 ＞０，对任意的６ ＞０，存在 ，Ｙ ，当Ｉ 一Ｙ Ｉ＜６，有Ｉ，（ ）
一，（Ｙ ）Ｉ≥ ０。
现取 一０（ｎ一 ），得 一Ｙ 一０且Ｉ，（ ）一，（Ｙ ）Ｉ≥ ０与题设矛盾。结论得证。
参考文献：
［１］裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［Ｍ］．高等教育出版社．
［２］华东师范大学．数学分析［Ｍ］．高等教育出版社．
［３］杨熙鹏等．数学分析习题解析［Ｍ］．陕西师范大学出版社．
［４］吉米多维奇．数学分析习题集题解［Ｍ］．山东科学技术出版社．
Ｔｈｅ Ｓｅｖｅｒａｌ Ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ａｎｄ Ｎｅｃｅｓｓａｒｙ
Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｕｎｉｆｏｒｍ Ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ
ＺＨＡＯ Ｘｉａｎｇ——ｈｕｉ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｅｂｅｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ Ｈｅｂｅｉ ０５００１ ８）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｍａｉｎｌｙ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｔｈｅ ｓｅｖｅｒａｌ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ａｎｄ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｕｎｉｆｏｒｍ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｕｎｉｆｏｒｍ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ；ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ；ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ
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