高一补习
-夏天的好词好句
2023年2月16日发(作者：ic行业)第1页，共14页
高一数学寒假补习题精选14
一、选择题（本大题共
12
小题，共
60.0
分）
1.设集合
U={1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6}
，
M={1
，
2
，
3}
，
N={3
，
4
，
5}
，则
∩=
（）
A.{1
，
2
，
3
，
4
，
5}B.{1
，
2
，
4
，
5
，
6}
C.{1
，
2
，
6}D.{6}
2.已知扇形面积为，半径是
1
，则扇形的圆心角是（）
A.B.C.D.
3.已知
α
是第二象限角，其终边与单位圆的交点为，则
cosα=
（）
A.B.C.D.
4.函数的零点所在的区间是（）
A.（
-1
，
0
）B.C.D.
5.已知函数
f
（
x
）是定义在
R
上的偶函数，且在区间
[0
，
+∞
）上是增函数，令
a=f
（
1
），
b=f
（
2-0.3），
c=f
（
-20.3），则（）
A.b
＜
a
＜
cB.c
＜
b
＜
aC.b
＜
c
＜
aD.a
＜
b
＜
c
6.已知为奇函数，则
g
（
x
）
=
（）
A.-2x3-x2B.-2x3+x2C.2x3-x2D.2x3+x2
7.平行四边形
ABCD
中，若点
M
，
N
满足，，设，则
λ-μ=
（）
.
A.B.C.D.
8.函数
f
（
x
）
=sinxln|x|
的部分图象为（）
A.B.
C.D.
9.已知函数，则下列结论错误的是（）
A.f
（
x
）的一个周期为
π
B.f
（
x
）的图象关于点对称
C.f
（
x
）的图象关于直线对称
D.f
（
x
）在区间的值域为
第2页，共14页
10.已知是
R
上的单调递增函数，那么
a
的取值范
围是（）
.
A.（
1
，
2
）B.C.D.（
1
，
+∞
）
11.将函数图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不
变），再将所得图象向左平移
φ
（
φ
＞
0
）个单位长度，所得图象关于
y
轴对称，则
ϕ
的一个值是（）
A.B.C.D.
12.函数
f
（
x
）满足：
f
（
x
）
+f
（
-x
）
=4
，已知函数与
f
（
x
）的图象共有
4
个交点，交点坐标分别为（
x
1
，
y
1
），（
x
2
，
y
2
），（
x
3
，
y
3
），（
x
4
，
y
4
），则：
y
1
+y
2
+y
3
+y
4
=
（）
A.0B.4C.8D.16
二、填空题（本大题共
4
小题，共
20.0
分）
13.函数
y=ax
-2+7
（
a
＞
0
且
a≠1
）的图象恒过定点
P
，点
P
在幂函数
f
（
x
）的图象上，
则
f
（
3
）
=______
．
14.已知
A
（
1
，
3
），
B
（
2
，
0
），
C
（
x
，
-5
），且
A
，
B
，
C
三点共线，则
x=______
．
15.如果
sinα+3cosα=0
，那么
sin2α-2sinαcosα
的值为
______
．
16.在等腰直角△
ABC
中，
AB=AC=
，
D
、
E
是线段
BC
上的点，且
DE=BC
，则•
的取值范围是
______
．
三、解答题（本大题共
6
小题，共
70.0
分）
17.已知全集
U=R
，集合
A={x|x2-2x-3≥0}
，集合
B={x|2≤x≤4}
．
（
1
）求
A
∪
B
，
B∩
（∁
U
A
）；
（
2
）已知集合
C={x|2a-1
＜
x
＜
1}
，若
C∩
（∁
U
A
）
=C
，求实数
a
的取值范围．
18.已知，，且与的夹角为
120°
．
（
1
）求；
（
2
）若，求实数
k
的值．
第3页，共14页
19.已知函数
y=10x的反函数为
f
（
x
），
F
（
x
）
=f
（
1+x
）
+f
（
1-x
）．
（
1
）求
F
（
x
）的解析式，并指出
F
（
x
）的定义域；
（
2
）设
a
∈
R
，求函数
y=F
（
x
）
-a
的零点．
20.已知．
（
1
）将
f
（
α
）化为最简形式；
（
2
）若，且
α
∈（
0
，
π
），求
tanα
的值．
21.已知函数的部分图象如图所示，其中
ω
＞
0
，
0
＜
φ
＜
2π
．
（
1
）求
k
，
ω
，
φ
的值；
（
2
）求函数
f
（
x
）的单调递增区间；
（
3
）解不等式
f
（
x
）
≤1
．
22.已知函数（
a
＞
0
且
a≠1
）是奇函数．
（
1
）求实数
t
的值；
第4页，共14页
（
2
）若
f
（
1
）＜
0
，对任意
x
∈
R
都有
f
（
x2）
+f
（
1-kx
）＜
0
恒成立，求实数
k
的取
值范围；
（
3
）设（
m
＞
0
且
m≠1
），若，是否存在
实数
m
使函数
g
（
x
）在
[1
，
log
2
3]
上的最大值为
0
？若存在，求出
m
的值；若不存
在，说明理由．
第5页，共14页
答案和解析
1.【答案】
D
【解析】【分析】
本题主要考查列举法以及补集、交集的运算，属于基础题．
直接进行补集、交集的运算即可．
【解答】
解：
={4
，
5
，
6}
，
={1
，
2
，
6},
∴
∩={6}
．
故选：
D
．
2.【答案】
C
【解析】【分析】
本题考查扇形的面积公式的应用，圆心角的求法，考查计算能力，是常考题型，属于基
础题．
直接利用扇形面积公式，求出扇形的弧长，然后求出扇形的圆心角．
【解答】
解：因为扇形面积为，半径是
1
，
，
所以扇形的弧长，
所以扇形的圆心角为．
故选：
C
．
3.【答案】
A
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得
cosα
的值．
【解答】
解：∵
α
是第二象限角，其终边与单位圆的交点为，
∴
m
＜
0
，且
=1
，
解得
m=-
，
则
cosα==-
，
故选：
A
．
4.【答案】
C
【解析】【分析】
本题考查了函数的零点的判断，属于基础题．
第6页，共14页
由题意易知函数的在定义域上是减函数，再由函数零点的判定定理求解．
【解答】
解：易知函数在定义域上是连续函数，
且，都是单调递减函数，由函数性质可知单调递减，
f
（）
=-0=1>0
，
f
（）
=-=>0
，
f
（）
==<0,
f
（
1
）
=-1=<0,
f
（）
f
（）＜
0,
故函数的零点所在的区间为；
故选
C
．
5.【答案】
A
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意结合函数的奇偶性与单调性分析．
根据题意，由函数的奇偶性可得
c=f
（
-20.3）
=f
（
20.3），结合函数的单调性分析可得
f
（
2-0.3）＜
f
（
1
）＜
f
（
20.3）
=f
（
-20.3），即可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数
f
（
x
）是定义在
R
上的偶函数，则
c=f
（
-20.3）
=f
（
20.3），
又由
f
（
x
）在区间
[0
，
+∞
）上是增函数，
2-0.3=
＜
1
＜
20.3，
则有
f
（
2-0.3）＜
f
（
1
）＜
f
（
20.3）
=f
（
-20.3），
即
b
＜
a
＜
c
；
故选：
A
．
6.【答案】
D
【解析】【分析】
本题主要考查函数解析式的求解，结合函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．
根据函数奇偶性的性质，利用转化法即可求出
g
（
x
）的表达式．
【解答】
解：∵
f
（
x
）是奇函数，
∴当
x
＞
0
，则
-x
＜
0
，
则
f
（
-x
）
=-2x3-x2=-f
（
x
），
则
f
（
x
）
=2x3+x2，
x
＞
0
，
即
g
（
x
）
=2x3+x2，
x
＞
0
，
故选：
D
．
7.【答案】
B
第7页，共14页
【解析】【分析】
本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基
础题．
如图所示，根据向量三角形法则可得
=+
，
==
，
==-
．利用平面
向量基本定理与比较即可得出．
【解答】
解：如图所示，
=+
，又
==
，
==-
．
∴
=-
．
∵，
∴
λ=
，
μ=
，
则
λ-μ=-
．
故选：
B
．
8.【答案】
A
【解析】【分析】
本题考查的知识点是函数的图象，其中分析出函数图象的形状和位置是解答的关键．
由已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性和
x
∈（
0
，
1
）时，函数
f
（
x
）的图象的位
置，利用排除法可得答案．
【解答】
解：∵
f
（
-x
）
=sin
（
-x
）
ln|-x|=-sinxln|x|=-f
（
x
），
故函数
f
（
x
）为奇函数，即函数
f
（
x
）的图象关于原点对称，
故排除
C
、
D
选项，
当
x
∈（
0
，
1
）时，
sinx
＞
0
，
ln|x|
＜
0
，此时函数
f
（
x
）的图象位于第四象限，故排除
B
选项，
故选
A
．
9.【答案】
D
【解析】【分析】
由，结合周期公式可求周期
T
，即可判断
A
；
由正弦函数的性质可知，对称中心处函数值为
0
可判断
B
；
由正弦函数在对称轴处取得最值可判断
C
；
由，可求＜
2x
，结合正弦函数的图象可求函数值域，可判断
D.
本题主要考查了正弦函数的周期公式，对称中心与对称轴及函数最值及值域的求解，属
于知识的简单综合．
【解答】
解：∵，
f
（
x
）的一个周期
T=π
，故
A
正确；
当
x=-
时，
f
（
-
）
=sin
（
2×+
）
=0
，由对称性质可知
B
正确；
第8页，共14页
当
x=
时，
f
（
-
）
=sin
（
-
）
=1
，正弦函数只在对称轴处取得最值，故
C
正确；
∵，∴，∴，故
D
错误
.
故选：
D
．
10.【答案】
C
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数单调性的性质，结合每一个分段函数的单调性以及端点处函数值
的大小关系是解决本题的关键．
根据分段函数单调性的性质进行转化求解即可．
【解答】
解：若函数
f
（
x
）是
R
上的单调递增函数，
则满足，即，得
≤a
＜
2
，
即实数
a
的取值范围是
[
，
2
），
故选：
C
．
11.【答案】
D
【解析】解：将函数图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍（纵
坐标不变），
可得
y=cos
（
2x-
）的图象；
再将所得图象向左平移
φ
个单位长度，可得
y=cos
（
2x+2φ-
）的图象；
根据所得图象关于
y
轴对称，则可能有
2ϕ-=π
，∴
φ=
，
故选：
D
．
利用函数
y=Asin
（
ωx+φ
）的图象变换规律，求得所得函数的解析式，再根据三角函数
的奇偶性，求得
φ
的值．
本题主要考查函数
y=Asin
（
ωx+φ
）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．
12.【答案】
C
【解析】【分析】
根据条件判断函数
f
（
x
）和
g
（
x
）都是关于（
0
，
2
）对称的，利用对称性进行求解即可．
本题主要考查函数零点应用，根条件判断的对称性是解决本题的关键．
【解答】
解：函数
f
（
x
）满足：
f
（
x
）
+f
（
-x
）
=4
，
则函数
f
（
x
）关于（
0
，
2
）对称，
=2+
，则
g
（
x
）关于（
0
，
2
）对称，
即
f
（
x
）与
g
（
x
）的图象交点关于（
0
，
2
）对称，
不妨设（
x
1
，
y
1
）与（
x
2
，
y
2
），（
x
3
，
y
3
）与（
x
4
，
y
4
）关于（
0
，
2
）对称，
第9页，共14页
则，即，
则
y
1
+y
2
+y
3
+y
4
=4+4=8
，
故选：
C
．
13.【答案】
27
【解析】【分析】
本题考查了指数函数与幂函数的定义和应用问题，是基础题．
利用指数函数的定义与性质求得定点
P
的坐标，代入幂函数
f
（
x
）的解析式，求出函数
f
（
x
），再计算
f
（
3
）的值．
【解答】
解：令
x-2=0
，解得
x=2
，
∴函数
y=ax
-2+7
的图象恒过定点
P
（
2
，
8
），
又点
P
在幂函数
f
（
x
）
=xα的图象上，
∴
2α=8
，解得
α=3
，
∴函数
f
（
x
）
=x3，
∴
f
（
3
）
=33=27
．
故答案为：
27
．
14.【答案】
【解析】【分析】
根据平面向量的坐标表示与共线定理，列方程求出
x
的值．
本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题．
【解答】
解：
A
（
1
，
3
），
B
（
2
，
0
），
C
（
x
，
-5
），
∴
=
（
1
，
-3
），
=
（
x-2
，
-5
）；
∵
A
，
B
，
C
三点共线，
∴
-3
（
x-2
）
-1×
（
-5
）
=0
，
解得
x=
．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数的诱导公式的应用，是基础题．
由已知求得
tanα
，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
【解答】
第10页，共14页
解：由
sinα+3cosα=0
，得
tanα=-3
，
∴
sin2α-2sinαcosα===
．
故答案为：．
16.【答案】
[]
【解析】【分析】
本题考查了平面向量数量积，向量的坐标运算，二次函数的性质，是中档题．
可作出图形，分别以
AC
，
AB
为
x
轴，
y
轴，建立平面直角坐标系，根据条件即可设
，并且可求得，从而进行数量积的坐标运算
便可求出，配方，根据
x
的范围即可求出的最大值和最小
值，即得出的取值范围．
【解答】
解：如图，
分别以
AC
，
AB
为
x
，
y
轴，建立平面直角坐标系；
∵，设，，则；
∴
=
=
=
；
∴时，取最小值，
x=0
或时，取最大值；
∴的取值范围是．
故答案为：．
17.【答案】解：（
1
）
A={x|x≤-1
或
x≥3}
；
第11页，共14页
∴
A
∪
B={x|x≤-1
或
x≥2}
，∁
U
A={x|-1
＜
x
＜
3}
，
B∩
（∁
U
A
）
={x|2≤x
＜
3}
；
（
2
）∵
C∩
（∁
U
A
）
=C
；
∴
C
⊆∁
U
A
；
∴①
C=
∅时，
2a-1≥1
；
∴
a≥1
；
②
C≠
∅时，；
解得
0≤a
＜
1
；
综上所述，实数
a
的取值范围是
[0
，
+∞
）．
【解析】考查一元二次不等式的解法，以及交集、并集和补集的运算．
（
1
）可解出
A={x|x≤-1
或
x≥3}
，然后进行并集、交集和补集的运算即可；
（
2
）根据（
1
）求得∁
U
A={x|-1
＜
x
＜
3}
，根据
C∩
（∁
U
A
）
=C
即可得出
C
⊆∁
U
A
，从而可
讨论
C
是否为空集：
C=
∅时，
2a-1≥1
；
C≠
∅时，，解出
a
的范围即可．
18.【答案】解：（
1
）
,
∴；
（
2
）∵
,
∴
,
即：
,
∴
k2-3k-1=0,
解得：．
【解析】考查向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法：，向
量垂直的充要条件．
（
1
）根据条件即可求出，从而根据即可求出的值；
（
2
）根据即可得出，进行数量积的运算即可求出
k
的值．
19.【答案】解：（
1
）
f
（
x
）
=lgx
，
F
（
x
）
=lg
（
1+x
）
+lg
（
1-x
），
解不等式组可得
F
（
x
）的定义域为（
-1
，
1
），
（
2
）函数
y=F
（
x
）
-a
的零点是方程
F
（
x
）
=a
的解
.
F
（
x
）
=lg
（
1-x2），
x
∈（
-1
，
1
）
因为
x
∈（
-1
，
1
），
所以
1-x2∈（
0
，
1]
，
所以
F
（
x
）∈（
-∞
，
0]
，即
F
（
x
）的值域为（
-∞
，
0].
若
a
＞
0
，则方程无解；
若
a=0
，则
lg
（
1-x2）
=0
，
所以
1-x2=1
，方程有且只有一个解
x=0
；
第12页，共14页
若
a
＜
0
，则
lg
（
1-x2）
=a
，
所以
x2=1-10a，方程有两个解
.
综上所述：若
a
＞
0
，则
y=F
（
x
）
-a
无零点；
若
a=0
，则
y=F
（
x
）
-a
有且只有一个零点
x=0
；
若
a
＜
0
，则
y=F
（
x
）
-a
有两个零点
.
【解析】本题考查了反函数，对数函数的性质，函数的零点与方程的根的关系，分类讨
论方法，属中挡题．
（
1
）先求出
f
（
x
）
=lgx
，再求出
F
（
x
）及定义域；
（
2
）即求
F
（
x
）
=a
的实根，对
a
分类讨论可求得．
20.【答案】解：（
1
）由题意可得，
．
（
2
）①，
平方可得，
∴，
因为
α
∈（
0
，
π
），
所以，
∴
sinα-cosα
＞
0
，
，
所以②，
由①②可得：，
所以．
【解析】本题主要考查利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，
属于中档题．
（
1
）由题意利用诱导公式，化简所给的式子，可得结果．
（
2
）由题意可得
sinα+cosα
的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得
sinα-cosα
的
值，可得
sinα
和
cosα
的值，从而求得
tanα
的值．
21.【答案】解：（
1
）由题知
f
（
-2
）
=-2k+1=0
，
,
由
x
＞
0
的图象知，，得
,
由可得，，
k
∈
Z
．
因为
0
＜
φ
＜
2π
，所以
.
第13页，共14页
∴
,,.
（
2
），由图象可知：
f
（
x
）在单调递增．
当时，，
令得，
k
∈
N*
综上所述：函数的增区间为，，
k
∈
N*,
（
3
）由图象知当
x
∈
[-2
，
0]
时，
f
（
x
）
≤1
恒成立；
当
x
＞
0
时，，即：，，
解得，
k
∈
N,
综上所述：不等式的解集是
.
【解析】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合图象求出函数的解析式是解决本题
的关键，注意周期的选择，属中档题．
（
1
）根据图象确定
ω
和
φ
的值即可；
（
2
）根据函数解析式结合函数单调递增的性质进行求解即可；
（
3
）结合三角函数求解不等式即可
.
22.【答案】解：（
1
）因为
f
（
x
）的定义域为
R
，且
f
（
x
）为奇函数，所以，
解得
t=-1
．
检验：当
t=-1
时，，对任意
x
∈
R
，都有
f
（
-x
）
=a-
x-ax=-f
（
x
），
即
f
（
x
）是奇函数，所以
t=-1
．
（
2
）由（
1
）可得
f
（
x
）
=ax-a-
x，由
f
（
1
）＜
0
可得，
因为
a
＞
0
，所以
a2-1
＜
0
，解得
0
＜
a
＜
1
，
从而
y=ax在（
-∞
，
+∞
）单调递减，
y=a-
x在（
-∞
，
+∞
）单调递增，
所以
f
（
x
）
=ax-a-
x在（
-∞
，
+∞
）单调递减．
由
f
（
x2）
+f
（
1-kx
）＜
0
，可得
f
（
x2）＜
-f
（
1-kx
）
=f
（
kx-1
），
所以对任意
x
∈
R
都有
x2＞
kx-1
恒成立，即
x2-kx+1
＞
0
对任意
x
∈
R
恒成立，
所以
=k2-4
＜
0
，解得
-2
＜
k
＜
2
．
故实数
k
的取值范围是（
-2
，
2
）．
（
3
），
由可得，即（
a-2
）（
2a+1
）
=0
，因为
a
＞
0
，所以
a=2
．
所以
f
（
x
）
=2x-2-
x，易知
f
（
x
）在（
-∞
，
+∞
）单调递增．
令
t=f
（
x
）
=2x-2-
x，则，再令
u=t2-mt+2
，则
y=log
m
u
，
因为
x
∈
[1
，
log
2
3]
，，，所以．
第14页，共14页
因为
g
（
x
）在
[1
，
log
2
3]
有意义，所以对任意，都有
u=t2-mt+2
＞
0
恒成立，
所以
mt
＜
t2+2
，即，
所以，∴
m<
，
又
m
为对数函数的底数，所以．
二次函数
u=t2-mt+2
图象开口向上，对称轴为直线，
因为，所以，对称轴始终在区间的左侧．
所以
u=t2-mt+2
在区间单调递增，
当时，，时，
.
假设存在满足条件的实数
m
，则：
若
m
∈（
0
，
1
），则
y=log
m
u
为减函数，
g
（
x
）
max
=0
⇔
u
min
=1
，即，所以
，舍去；
若，则
y=log
m
u
为增函数，
g
（
x
）
max
=0
⇔
u
max
=1
，即，所以
，舍去．
综上所述，不存在满足条件的实数
m
．
【解析】（
1
）由奇函数的性质推导出，求出
t=-1
．再进行检验，能求出
t
．
（
2
）由
f
（
x
）
=ax-a-
x，
f
（
1
）＜
0
可得，从而
0
＜
a
＜
1
，进而
f
（
x
）
=ax-a-
x在（
-∞
，
+∞
）单调递减．由
f
（
x2）
+f
（
1-kx
）＜
0
，可得
f
（
x2）＜
-f
（
1-kx
）
=f
（
kx-1
），即
x2-kx+1
＞
0
对任意
x
∈
R
恒成立，由此能求出实数
k
的取值范围．
（
3
），由可得
a=2
，
从而
f
（
x
）
=2x-2-
x在（
-∞
，
+∞
）单调递增．令
t=f
（
x
）
=2x-2-
x，则，
再令
u=t2-mt+2
，则
y=log
m
u
，利用二次函数性质能推导出不存在满足条件的实数
m
．
本题考查函数的定义域、值域、单调性等基础知识，考查复合函数的理解与应用，考查
分类讨论思想，考查运算求解能力，是难题．