非初等函数

非初等函数

-消防强切

2023年2月16日发(作者：俄罗斯城市地图)

第一讲实数与实函数

1.1实数与实函数的基本概念

一．实数

实数包括有理数和无理数．有理数，就是能够表示成

q

p

形式的数，其中p是整数，q

是不为零的整数．如果用小数表示，有理数都可以表示成有限小数，或无限循环小数．无理

数，就是不能表示成

q

p

形式的数，也就是无限不循环的小数．如果将有限小数也表示成无

限小数，例如：数1可表示为1=1.000…；也可以表示为l=0.999…（注：这是实无限的

观点），为唯一性起见，数学上作了一个约定，就是不以零为循环节．数1约定的表示为

l=0.999…，因此，实数就是一个可以用无限小数表示的数．

二、实数的性质

1．实数集合R是一个阿基米德有序域

(1）在实数集合R上定义加法“+”和乘法“×”两种运算，对两种运算分别满足交

换律、结合律，以及乘法关于加法的分配律；对加法，有“零元”和“负元”；对乘法有“单

位元”和“逆元”;R成为一个“域”.

(2）在集合R上定义了一种序关系“<"，且满足传递性：即对Rcba,,，若a<

b,b

居其一R是一个全序集．

(3)R中的元素满足阿基米德性：对R中的任意两个正数a,b，必存在自然数n，使得

na＞b.

2．实数集合R是一个完备集

定义1.1（距离空间）设X是一个集合，定义映射RXX:，满足

(1）非负性：对;0,,,yxyxXyx

(2）对称性：xyyx,,；

(3）三角不等式：yzzxyx,,,;

则称是点集X上的一个距离．如果X是一个线性空间，称,X是一个距离空间。

在实数集R上定义距离yxyx,（可以验证满足定义中的三条），则,R是一个

距离空间．

定义1.2设

n

x是距离空间,X中的点列，若对0,0N，当m,n>N时，

恒有

mn

xx,，则称

n

x是X中的柯西列．

定义1.3若距离空间X中的任意柯西列都在X中收敛，则称X是完备的距离空间．

由柯西收敛准则很容易知道，作为距离空间的实数集R是完备的．有6个刻划实数集R

完备性的且彼此等价的定理，它们分别是

(1）确界原理：设S是非空数集．若5有上界．则S必有上确界；若S有下界，则S

必有下确界．

(2）单调有界原理：单调有界点列（函数）必存在极限．

(3）区间套定理：若

nn

ba,是一个区间套，则存在唯一的实数，使得

,2,1,,nba

nn

…，即,2,1,nba

nn

…。

(4）有限覆盖定理：设H是对闭区间巨，习的一个任意开覆盖，则从H中可选出有限个

开区间来覆盖ba,

(5）聚点定理：实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点．

推论（致密性定理）：有界点列必有收敛子列．

(6）柯西收敛准则：数列

n

a收敛的充要条件是数列

n

a是柯西列．

关于上述六个定理的等价性证明可参考文献1．

三、关于实数点集的一些重要概念

1．有界点集

S是一实数点集，若0M使对Sx恒有Mx，则称S是有界点集．

2．无界点集

S是一实数点集．若对0M，Sx使得Mx，则称S是无界点集．

3．有界函数

f(x）是定义在点集I上的函数，若0M使对Ix恒有Mxf，则称f(x）

在I上有界．

4．无界函数

f(x）是定义在点集I上的函数，若对0M，Ix使得Mxf．则称f(x）

在I上无界、

例1.1证明函数

x

xf

1

在1,0上无界

证明：对0M，1,0

1

1

0







M

x使得MMxf1故

x

xf

1

在（0,1）

上无界。

5．上确界

设E为一个实数点集，a为一是实常数，若满足：①对Ex，恒有x（即



为

E的上界）；②对0，存在Ex

0

，使得

0

x。（即是E的最小的上界），

则称



为E的上确界，记作Esup

6．下确界

设E为一个实数点集，为一是实常数，若满足：①对Ex，恒有x(即为E

的下界）；②对0，存在两Ex

0

，使得

0

x（即是E的最大的下界），

则称为E的下确界，记作Einf．

注：点集E的上确界或下确界可以属于E，也可以不属于E

命题（1)Esup，则EEmax．

(2）Einf，则EEmin.

证明显然，请读者自证．

例1.2设A、B皆为非空有界集，定义数集

ByAxyxzzBA,,|

证明：(1)sup(A+B)=supA+SupB;

(2)inf(A+B）=InfA+infB.

证明：(1）由已知，A、B非空有界，可知A+B也是非空有界集．根据确

界原理，它们的上、下确界都存在．对BAz，由定义,存在Ax及By使得

BAyxzsupsup

即实数supA十supB是数集A+B的上界；又对BAz，

ByAx'',，使得

,

2

sup'



Ax，



BAyxBysupsup

2

sup'''

记

BAyxz'''则BAzsupsup'：．由定义可得

sup(A+B）=SupA+supB

(2）证明与（1）类似，从略．

例1.3设f在区间I上有界．记

,supxfM

Ix

,infxfm

Ix



证明：mMxfxf

Ix





'''sup

证明：对

Ixx''',，有

,'Mxfm,''Mxfm

则mMxfxf'''

又对0，Ixx

21

,使得



2

,

221



mxfMxf

可得

mMxfxf

21

由式，式可知

mMxfxf

Ixx





'''

'''

sup

7.聚点

定义1.4（点集的聚点）：设E是一个点集，是一个点，若在的任意邻域内都含有E

的无穷多个点，则称为点集E的聚点．

命题设E是一个点集，是一个点，下列说法等价：

(1）为点集E的聚点．

(2）在的任意邻域内都含有E的异于的一个点．

(3）在E中存在互异的点列

n

x使得



n

n

xlim

证明：(1）（2)．显然．

(2)(3)．取1

1

，在

1

;）内，

1

Ex，取

0,

2

1

min

12















x，在

1

;内，,...,

2

Ex一般地，取

0,

1

min

1





















nn

x

n

在

n

;内，，,...,2,1,nEx

n

显然Ex

n

E，

且是互异的，同时显然有



n

n

xlim

(3)(1)．对0，0N，当n>N时，,Ux

n

．注意到

,...,2,1,nEx

n

，即为点集E的聚点．

注：(1）从定义可知，有限点集必无聚点．

(2）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如，设A是开区间（0,

1）中的所有有理点所构成的集合，则闭区间1,0中的所有点都是A的聚点

定义1.5（点列的聚点）：设

n

x是一个点列，是一个点，若在的任意邻域内

都含有

n

x的无穷多项，则称为点列

n

x的聚点．

注意：点集的聚点与点列的聚点不同，例如

n

x=n1作为点列，它有两个聚点：

-1和1，但是如果把它们看做点集，则它是一个仅含有两个元素的集合1,1，无聚点．

把点列的最大（小）聚点，叫做点列的上（下）极限，分别记作

n

n

x





lim和

n

n

x

lim



．

8.覆盖

设aH

a

|是一个开区间集，其中是一个指标集，

a

是开区间．设I是

一个点集，如果对Ix，总存在

H

a

，使得

a

x，称H覆盖了I，或称H是

I的一个开覆盖．如果H是有限集而覆盖了I，则称H是I的一个有限开覆盖；如果H

是一个无限集合而覆盖了I，则称H是I的一个无限开覆盖．

前面提到的有限覆盖定理，是一个十分重要的定理．它可以推广到一般的距离空间

上去，这里就不多说了．

例1.4

n

x是单调数列，证明：若

n

x存在聚点，则必是唯一的，且是

n

x的确界．

证明：不妨设

n

x是单调递增数列．假设A,B都是它的一个聚点，且不等．不妨设BA，

由聚点的定义，取0

2







BA

，在;AU，含有

n

x的无穷多项，假设

,

0

Axx

nn



，则

20

BA

AAx

n



，又根据

n

x是单调递增的，当

0

nn

时

2

BA

x

n



，，即在U;B内至多含有

n

x的有限项，与B是聚点矛盾．

再证

n

xAsup：首先证明对

Axn

n

,

事实上，假设有某一项

0

n

x

＞A，插人

0

，

使

Ax

n



0

0

．由

n

x的单增性，当

0

nn时，

Axx

nn



0

00

．此与A为聚点

矛盾．与唯一性的证明类似，可以证明A必是最小的上界，即

n

xAsup.

注：此题可有一个推论：若

n

x是单调数列，且有聚点，则必收敛．若

n

x是单调增，

则

nn

n

xxsuplim



；若

n

x是单调减的，则

nn

n

xxinflim



.

四、实函数

(1）要理解函数的定义，一定要搞清楚映射的定义，而一元实函数实际上就是一个

从实数集到实数集的映射，这里不去赘述．确定一个函数的基本要素是定义域和对应法则，

当然函数的值域也是函数的要素之一，但它是随定义域与对应法则而定的．

(2）函数的运算包括：①四则运算；②复合运算；③极限运算；④微分运

算；⑤积分运算；⑥取大（小）运算xgxfxgxf,min,,max等．这里需要

特别强调的是，要注意它们的定义域，使得上述运算有意义．

(3）几种具有特性的函数：①有界函数（上节已给出定义）；②单调函数；③奇、

偶函数；④周期函数．这些函数的基本概念不再赘述．

(4）初等函数与非初等函数．

①六类基本初等函数：常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函

数．

②初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为

初等函数．

③非初等函数：不是初等函数的函数，称为非初等函数．

一般的分段函数，都是非初等函数，例如符号函数



















0,1

0,0

0,1

sgn

x

x

x

x就是非初等函

数，但是分段函数



















0,1

0,0

0,1

x

x

x

x可以看做初等函数，因为2xx是两个幂函数的

复合

下面几个非初等函数都很重要：

狄利克雷（Dirichlet）函数









为无理数，

为有理数

x

x

xD

0

,1

。

黎曼（Riemann）函数

































内的无理数，和，，

为既约真分数

10100

,,,

1

x

q

p

Nqp

q

p

x

q

xR

取整函数[x]：不超过x的最大整数．

勒让德（Legendre）多项式



n

n

n

nndx

xd

CxX

12



它们的一些性质，将在后面详细讨论．

有些函数乍一看好像不是初等函数，例如了xx（x>0)，把它叫做幂指函数，利用

对数恒等式，xxxexln是由一些基本初等函数复合而成的，所以它也是初等函数．

1.2实数与实函数的典型问题讨论

例1.5设函数xf在ba,月有定义，且在每一点处的极限存在，证明了xf在[a,b]

上有界．

证法1：对bax,'，因xf

xx'

lim



存在，由局部有界性，0'm及0'，使得

当'';xUx时，恒有''mxf．当x跑遍ba,，在每一点x处都具备上述性质．令

H=baxxU

x

,|;，则H是ba,的一个开覆盖，据有限覆盖定理，必存在有限的子

覆盖．即存在ba,上的有限个点，不妨设为

k

xxx,...,,

21

这k个点就有昌baxUU

ii

k

i

,;

1







注意到对每个

ii

xU;都存在相应的0

i

M，使当

ii

xUx;时，恒有

kiMxf

i

,...,2,1．记

K

MMMM,...,,max

21

，则对bax,恒有

Mxf，即函数xf在ba,上有界．

证法2:（反证法）假设xf在[a,b]上无界，则对0M，bax,



，使得

Mxf













让M=1,2,…，N，…，则相应地baxxx

n

,,...,...,,

21

，使得nxf

n

．因

bax

n

,为有界数列，据聚点定理，必有收敛子列，即存在子列

k

n

x，使

baxx

k

n

k

,lim

0





·由已知，xf在

0

x点的极限存在，记Axf

x





lim，由归结原则，

应有Axf

k

n

x





lim，但是由

n

x的取法可知knxf

kn

k

,，矛盾，即

xf在ba,上有界．

例1.6试用有限覆盖定理证明聚点定理．

证明：设S是一个有界无穷点集．下面用有限覆盖定理证它必有聚点．因S有界，

必有一个闭区间Sba,对0，



SbaxU

bax





,;

,

，由有限覆盖定理，必

有有限的子覆盖，即存在有限个点baxxx

k

,,...,,

21

，使SbaxUU

i

k

i





,;

1

．又因S

是无穷点集，在这k个点中，至少有一个点



一邻域内含有S的无穷多个点，若记该点为



k

xxxx,...,,

21





，则



x就是S的聚点．

例1.7讨论狄利克雷函数的周期性．

解：狄利克雷函数以任意有理数为周期的周期函数，因为没有最小的正有理数，所以它

没有基本周期．事实上，任取一个有理r，，当x是有理数时，r+x还是有理数；当x是

无理数时，r+x是无理数，因此

xD

x

x

rxD









为无理数，

为有理数，

0

1

例1.8证明定义在对称区间ll,上的任何函数xf都可以唯一地表示成一个偶函

数与一个奇函数之和．

证明：令

xfxfxGxfxfxH

2

1

,

2

1

则xGxHxf，且容易验证xHxH,xH是偶函数；

xGxG,xG是奇函数．

下面证明唯一性．假设还存在偶函数xH

1

和奇函数xG

1

，使得

xGxHxf

11

，则有

xGxGxHxH

11



用

x

代

x

得xGxGxHxH

11

，即

xGxGxHxH

11



将式、式相加，得xHxH

1

，再由式可得，xGxG

1

，唯一性得证．

例1.9设xff

x

xx

xf求,

0,1

0,1











.

解：

















0,1

0,1

xf

xfxf

xff，而1x时，0xf;1x时，0xf）

故有















1,1

1,2

x

xx

xff

例1.10设f和g为区间（a,b）上的增函数，证明：

xgxfx,max；xgxfx,min都是ba,上的增函数．

证明：任取baxx,,

21

且

21

xx，由于f,g在ba,上单调递增，所以有



2121

,xgxgxfxf

即有



222111

,max,maxxxgxfxgxfx

即x在（a,b）上单调递增．x的单调性证法类似，从略．

例1.11函数f在ba,月上无界，求证存在一点bac,，使对任意的0，f在

bacc,,上无界．

证法l（反证法）：假设结论不成立，即对bac,，0，使f在

bacc,,上有界，即存在常数0

c

M，使当baccx,,时，有



c

Mxf。让c跑遍ba,，这样每一点的相应的邻域就构成ba,的一个开覆盖，由

有限覆盖定理，存在有限个点：记为baxxx

k

,,...,,

21

，它们的ki

i

,...,2,1邻域之并

就覆盖了ba,．因为在每一个bax

ii

,;上都存在相应的0

i

M，使得

baxx

ii

,;时，kiMxf

i

,...,2,1，令

k

MMMM,...,,max

21

，则对

bax,，恒有Mxf，即xf在ba,上有界．与已知矛盾．

证法2(直接证法)：由已知f在ba,上无界，将ba,二等分，得两个子区间















2

,

ba

a，















2

,

ba

a则f至少在其中一个子区间上无界，把它记为

11

,ba再将

11

,ba

二等分，选其中一个使得f无界的那个子区间记为

22

,ba．将上述步骤一直进行下去，就

得到一闭区间列

nn

ba,,,...,2,1n满足：(1）它是一个区间套，实因：①

nn

ba,



11

,

nn

ba，,...,2,1n②



n

ab

ab

n

nn

0

2

．(2)f在每个

nn

ba,上都是

无界的．由区间套定理：,,,babac

nn

,...,2,1n，且对0，0N，当Nn

时，恒有ccba

nn

,,由（2）知f在其上无界．

例1.12举出一个函数的例子，它在1,0上每一点都有定义，且取有限值，但是函数

在1,0上每一点的任意邻域内都是无界的．

解：令，

为无理数，或，

为互质的正整数

















1,00

,,,

xxx

qp

q

p

xq

xf则显然f为定义在1,0且每一点都取

有限值的函数．下面证明它在1,0上的每一点的任意邻域内都是无界的．事实上，对

1,0

0

x，0，由有理数的稠密性，在邻域;

0

x内总有有理点，不妨取

;

0

0

0

0

x

q

p

r

，其中

00

,qp都是互质的正整数．对1M，总有某一个自然数k，

使得有理数









;

10

00

0

0

x

qMkq

Mkp

r

Mk

Mk

r







（因为

0

limrr

k





）且注意到r的分

子和分母是互质的，这时MqMkqrf

00

，即xf在;

0

x内无界．

例1.13若数集A有上界，但无最大数，证明在A中必能找到严格单调增加的数列



n

x使得Ax

n

n

suplim



·

证明：根据确界原理，Asup存在，记Aasup。由己知Aa，由上确界的定义，

对Ax

11

,01，使得1

1

axa，对0

2

1

2

，必存在Ax

2

，使得















12

,

2

1

maxxaxa一般地，对,,...2,10

1

n

nn

存在Ax

n

，使得















1

,

1

max

nn

x

n

axa，易知这样选取的数列

n

x即满足要求·

例1.14证明函数33xexxf在,上有界．

证明:因0lim33



x

x

ex所以1，存在0G，当Gx时，恒有1xf，又xf

在GG,上连续，从而有界，即存在0M，使当GGX,时，有Mxf，取

MK,1max，则对,x，恒有Kxf，即f在,上有界．

例1.15设函数xf在ba,上单调递增（未必连续），若bbfaaf,,则必存在



0

xba,，使得

00

xxf．

证明：若了bbfaaf或，则问题已经得证，不妨设bbfaaf,．作直

线xyL:，则点afa,在L的上方，而点bfb,在L的下方．取

2

ba

c



考查

cfc,点，若在L上，则问题得证；否则若cfc,在L的上方，就记

11

,,babc

若cfc,在L的下方，记

11

,baca，使得点

11

,afa与

11

,bfb位于L的两

侧．这个过程一直进行下去，若有某一步得到

nn

afa（即（

nn

afa）在L上），

则问题得证，否则就得到一闭区间套

nn

ba,，满足：①

11

,

nn

ba

nn

ba,,...2,1n

②nab

n

nn

0

2

1

③

nn

afa,在L的上方，而

nn

bfb,在L的下

方．由闭区间套定理，存在唯一的

nn

ba:，一方面，由f单增

nn

bffaf，

且由于



n

n

n

n

balimlim，单调函数在每一点的单侧极限存在，从而



n

n

n

n

bffffaf



lim00lim

另一方面，由③0;0fbbffaaf

nnnn

，故必有

f了.

习题1.1

1.设Rba,，证明：

(1)bababa

2

1

,max；

(2)bababa

2

1

,min；

2．设21

1

xx

x

f













，求xf·

3．设f,g为D上的有界函数，证明：

(1）xgxfxgxf

Dx

DxDx





supinfinf,

(2）xgxfxgxf

Dx

DxDx







supinfinf

(3）xfxf

Dx

Dx





infsup

(4）xfxf

Dx

Dx





supinf·

4．证明函数xxfln在区间1,0上无界．

5．证明关于取整函数xy有如下不等式：

(1）当0x时，1

1

1















x

xx

(2）当0x时，x

x

x













1

1

1

6．设函数f在,上是奇函数，af1，且对任何x均有22fxfxf

(1）试用a表示f(2）与f(5);

(2)a为何值时f是以2为周期的周期函数．

7．试用确界原理证明：在闭区间ba,上连续函数的介值定理和取最大（小）值定理．

8．试用有限覆盖定理或致密性定理证明：在闭区间ba,上连续函数的有界性定理和一致

连续性定理．

9．试用柯西收敛准则证明确界原理．