两平面垂直

两平面垂直

-恶搞代码

2023年2月16日发(作者：一点资讯网页版)

1/12

典型例题一

例1．根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明．

（１）如图1，已知lAl,．在



内作lPA于A，在内作lQA于A．

（２）如图２，已知lAAl,,．作AP于P，在



内作lAQ于

Q，连结PQ．

（３）已知AAl,,．作AP于P，AQ于Q，l平面

HPAQ，连结PH、QH．

作图与证明在此省略．

说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理与逆定理的方

法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形．

典型例题二

例2.如图，在立体图形ABCD中，若ECDADCBAB,,是AC的中点，则下

列命题中正确的是（）.

（A）平面ABC⊥平面ABD

（B）平面ABD⊥平面BDC

（C）平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

（D）平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直

线与第一个平面垂直.

解：因为,CBAB且E是AC的中点，所以,ACBE同理有ACDE，于是

AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又由于AC

平面ACD,所以平面ACD平面BDE.所以选C.

说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某

一个平面内,得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线,由线线垂直得到线面

垂直,由线面垂直可得到面面垂直.

典型例题三

例３．如图，P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面

PBC．求证ACBC．

分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条

纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．

证明：在平面PAC内作PCAD，交PC于D．因为平面PAC平面PBC于PC，

AD平面PAC，且PCAD，所以PBCAD平面．又因为BC平面PBC，于

是有BCAD①．另外PA平面ABC，BC平面ABC，所以BCPA．由①②与

APAAD，可知BC平面PAC．因为AC平面PAC，所以ACBC．

说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看

2/12

到，面面垂直线面垂直线线垂直．

典型例题四

例４．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B

的任意一点，求证：平面PAC平面PBC．

分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平

面垂直的判定定理．由于C点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直．

证明：因为AB是⊙O的直径，C是圆周上的点，所以有ACBC①．

因为PA平面ABC，BC平面ABC，则BCPA②．

由①②与APAAC，得BC平面PAC．

因为BC平面PBC，有平面PAC平面PBC．

说明：低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直线

面垂直面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关

系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．

典型例题五

例５．如图，点A在锐二面角MN的棱MN上，在面



内引射线AP，使AP

与MN所成的角PAM为45，与面所成的角大小为30，求二面角MN的大

小．

分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最

好是直角三角形），通过解三角形使问题得解．

解：在射线AP上取一点B，作BH于H，

连结AH，则BAH为射线AP与平面所成的角，

30BAH．再作MNBQ，交MN于Q，

连结HQ，则HQ为BQ在平面内的射影．由三垂线定理的逆定理，MNHQ，

BQH为二面角MN的平面角．

设aBQ，在BAQRt中，

aABBAMBQA2,45,90,在Rt△

BHQ中，

,

2

2

,,90aBHaBQBHQ

2

2

2

2

sin

a

a

BQ

BH

BQH,

BQH是锐角，45BQH,即二面角MN等于45．

说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，

3/12

二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个

平面角的定义添加适当的辅助线．

典型例题六

例６．如图，将边长为

a

的正三角形ABC以它的高AD为折痕折成一个二面角

CADC



．

（１）指出这个二面角的面、棱、平面角；

（２）若二面角CADC



是直二面角，求CC



的长；

（３）求CA



与平面CDC



所成的角；

（４）若二面角CADC



的平面角为120，求二面角DCCA



的平面角的正

切值．

分析：根据问题与图形依次解决．

解：（１）



,,,CDADDCADBCAD二面角CADC



的面为ADC

和面CAD



，棱为AD，二面角的平面角为CCD



．

（２）若90



CCD，aCCaCDDCaAC

2

2

,

2

1

,







．

（３）



ADDCADCDAD,,平面CCD



，DCA



为CA



与平面

CDC



所成的角．在直角三角形CAD



中，30,

2

1









CDAACCDDC，于是

60



DCA．

（４）取CC



的中点E，连结AE、DE，

CCDECCAEACCADCCD















,,,，

AED为二面角DCCA



的平面角．

在直角三角形AED中，

,

2

3

aAD

DE

AD

AEDtan

32

4

1

2

3



a

a

．

说明：这是一个折叠问题，要不断地将折叠前后的图形加以比较，抓住折叠前后的变与

不变量．

典型例题七

例7正方体

1111

DCBAABCD的棱长为1，P是AD的中点．求二面角PBDA

1

的大小．

分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平

面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不

容易的，所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考

虑到AB垂直于平面

1

AD，

1

BD在平面

1

AD上的射影就是

1

AD．再过P作

1

AD的垂线PF，

则PF面

1

ABD，过F作BD

1

的垂线FE，PEF即为所求二面角的平面角了．

4/12

解：过P作

1

BD与

1

AD的垂线，垂足分别是E、F，连结EF．

∵AB面

1

AD，PF面

1

AD，

∴PFAB，

又

1

ADPF，∴PF面

1

ABD．

又∵

1

BDPE，∴

1

BDEF，

∴PEF为所求二面角的平面角．

∵DADRt

1

∽PFA，∴

11

AD

AP

DD

PF

．

而

2

1

AP，1

1

DD，2

1

AD，∴

4

2

PF．

在

1

PBD中，

2

5

1

PBPD．

∵

1

BDPE，∴

2

3

2

1

BDBE．

在PEBRt中，

2

2

22BEPBPE，

在PEFRt中，

2

1

sin

PE

PF

PEF，

∴30PEF．

典型例题八

例8在ABC所在平面外有一点S，已知ABSC，SC与底面ABC所成角为，

二面角CABS的大小为，且90．求二面角ASBC的大小．

分析：由题设易证SDSC，由已知得SC平面SAB，显然所求的二面角是直二面

角，此时只需证明二面有的两个面垂直即可．在解这种类型题时，如果去作二面角

ASBC的平面角，那么可能会走弯路．

解：如图所示，作SO平面ABC于O，连结CO并延长交AB于D，连结SD．

∵SO平面ABC，

∴SCO是SC与平面ABC所成角，SCO．

∵SO平面ABC，ABSC，

∴CDAB，SDAB．

∴SDO是二面角CABS的平面角，SDO．

∵90，∴SDSC．

5/12

又∵ABSC，∴SC平面SAB，

∴平面SBC平面SAB，

∴二面角ASBC的大小为90．

说明：二面角的平面角满足三个条件：(1)顶点在棱上，(2)两边在面内，(3)两边与棱垂

直．应注意CSB不满足第(3)条，不是二面角ASBC的平面角．

在求二面角大小时，若其平面角不易作出时，则可考虑判定两平面是否垂直，如果两平

面垂直，则其二面角为90，反之亦然．

典型例题九

例9如果，，a，那么a．

分析：(1)本题是一道高考题，考查线面垂直和面面垂直的性质和逻辑推理能力．要证

a，只要证明直线

a

与平面内的两条相交直线垂直就可以了，从而借助平面与平面垂

直的性质达到证明a的目的；(2)要证a，只要证明

a

平行于平面



的一条垂线就

可以了，这也可以借助面面垂直的性质加以考虑；(3)可以用“同一法”来证明．

证法一：如图所示，设b，c，

过平面



内一点P作bPA于A，作cPB于B．

∵，∴PA．

又a，∴aPA，同理可证aPB．

∵PPBPA且PBPA、，∴a．

证法二：如图所示，

设b，在平面内作直线bl

1

．

∵，∴

1

l．

设c，在平面内作直线cl

2

．同理可证al

2

，因此

21

//ll．

由于

1

l，

2

l，∴//

2

l．

而

2

l，a，∴al//

2

．

故由al//

2

知，a．

证法三：如图所示

过直线

a

上一点P作直线'a．

∵a，aP，

∴P，根据课本第37页例2（如果两个平面互相垂直，

那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内），

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∴'a．同理可证'a，故'a．

椐公理2可知，直线'a与直线a重合．

∴a

说明：(1)本例实际上可作为两个平面垂直的性质定理，主要用于判断直线和平面的垂

直，在很多习题中都可以用到本例的结论．

(2)本例的三种证明方法其思维角度不同，但都是围绕“面面垂直”、“线面面垂直”的

判定与性质定理来进行思考的，希望同学们今后在解题中多进行这方面的训练，这对提高数

学思维能力是大有裨益的．

典型例题十

例10设由一点S发出三条射线SA、SB、SC，ASB，BSC，

ASC，、、均为锐角，且coscoscos．求证：平面ASB平面BSC．

分析：欲证两平面垂直，只需证明其中一平面内有一直线垂直于另一平面即可，此题设

法通过线段关系过渡．

证明：如图，任取点A，作SBAB于B，过B作SCBC于C，连结AC．

∵cosASSB，cosSBSC，

故coscosASSC．

又由coscoscos，

则cosASSC，从而可得90ACS，

即SCAC，已作SCBC，故SC平面ACB，

即有SCAB，已作SBAB，从而AB平面BSC，

故平面ASB平面BSC．

说明：本题易犯错误是：作SBAB于B，作SCBC于C，连结AC，由三垂线

定理得ACSC，∴SC平面ACB，∴SCAB，∴AB平面SBC．其错误原因

是作SBAB后，将AB误认为是平面SBC的垂线．

此题的证明也可以作SBAB于B，SCAC于C，连结BC．在SBC中，由余

弦定理与条件coscoscos，证明222SCBCSB，从而BCSC，∴SC面

ABC，∴SCAB．由此进一步证明，平面ASB平面BSC．

典型例题十一

例11如果二面角l的平面角是锐角，点P到、和棱l的距离分别为22、

4、24，求二面角的大小．

分析：如果二面角l内部，也可能在外部，应区别处理．

7/12

解：如图甲是点P在二面角l的内部时，

乙是点P在二面角l的外部时．

∵PA，∴lPA．

∵lAC，∴面lPAC．

同理，面lPBC，

而面PAC面PBCPC

∴面PAC与面PBC应重合，

即A、C、B、P在同一平面内，

ACB是二面角的平面角．

在APCRt中，

2

1

24

22

sin

PB

PA

ACP，

∴30ACP．

在BPCRt中，

2

2

24

4

sin

PC

PB

BCP，

∴45BCP，

故754530ACB（图甲）或153045ACB（图乙）．

说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面

角．这是本题得到二面平面角的方法，即所谓垂面法．

典型例题十二

例12P为120的二面角a内一点，P到和的距离均为10，求点P到棱a

的距离．

分析：本题已知二面角的大小而求点到直线的距离，须做出二面角的平面角，然后将条

件揉和在一起，便可解决问题．

解：如图，

过点P作PA于A，PB于B，

设相交直线PA、PB确定的平面为，Oa，则OA，OB

连结PO，则10BPAP

∵PA，PB，

∴a，而PO平面，

∴POa，

∴PO的长即为点P到直线a的距离．

又∵a，OA，OB

∴AOB是二面角a的平面角，即120AOB．

8/12

而四边形AOBP为一圆内接四边形，且PO为该四边形的外接圆直径．

∵四边形AOBP的外接圆半径等于由A、B、O、P中任意三点确定的三角形的外接

圆半径，因此求PO的长可利用APB．

在APB中，10BPAP，60APB，∴10AB．

由正弦定理：

3

320

60sin

2





AB

RPO．

说明：(1)该题寻找120的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若

题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法．

(2)充分借助于四边形PAOB为一圆内接四边形，∵OAPA，OBPB，∵PO即为其

外接圆直径，然后借助于四边有的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，

由正弦定理帮助解决了问题．

典型例题十三

例13如图，正方体的棱长为1，OBCCB

11

，求：

(1)AO与

11

CA所成的角；

(2)AO与平面AC所成角的正切值；

(3)平面AOB与平面AOC所成的角．

解：(1)∵ACCA//

11

，

∴AO与

11

CA所成的角就是OAC．

∵OBOC，AB平面

1

BC，

∴OAOC（三垂线定理）．

在AOCRt中，

2

2

OC，2AC，

∴30OAC．

(2)作BCOE，平面

1

BC

平面AC．

∴OE

平面AC，OAE为OA与平面AC所成的角．

在OAERt中，

2

1

OE，

2

5

)

2

1

(122AE．

∴

5

5

tan

AE

OE

OAE．

(3)∵OAOC，OBOC，∴OC平面AOB．

又∵OC平面AOC，∴平面AOB



平面AOC．

说明：本题包含了线线角、线面角和面面角三类问题．求角度问题主要是求两条异面直

9/12

线所成角













2

,0



，直线和平面所成角













2

,0



，二面角,0三种．

典型例题十四

例14如图，矩形ABCD，PD平面ABCD，若2PB，PB与平面PCD所成

的角为45，PB与平面ABD成30角，求：

(1)CD的长；

(2)求PB与CD所在的角；

(3)求二面角DPBC的余弦值．

分析：从图中可以看出，四面体BCDP是一个基础四面体，前面已推导出平面PBC

与平面BCD所成的二面角的余弦值为

3

3

32

21













BDPC

BCPD

，可见，基础四面体作为

一部分，经常出现在某些几何体中．

解：(1)∵PD平面ABCD，∴BCPD．

又BC平面PDC，

∴BPC为PB与平面PCD所在的角，

即45BPC．

同理：PBD即为PB与平面ABD所成的角，

∴30PBD，

在PBCRt中，∵2PB，∴2PCBC．

在PBDRt中，30PBD，∴1PD，

3BD

．

在BCDRt中，2BC，

3BD

，∴1CD．

(2)∵CDAB//，∴PB与CD所成的角，

即为PB与AB所成的角，PBA即为PB与AB所成的角

∵PD平面ABCD，ABAD，∴ABPA（三垂线定理）．

在PABRt中，1CDAB，2PB，∴60PBA．

(3)由点C向BD作垂线，垂足为E，由点E向PB作垂线，垂足为F，连结CF．

∵PD平面ABCD，∴CEPD．

又BDCE，∴CE平面PBD，

CF为平面PBD的斜线，由于PBEF，

∴由三垂线定理：CFPB．

∴CEF为二面角DPBC的平面角

在BCDRt中，2BC，1DC，

3BD

，

∴

3

6







BD

CDBC

CE．

在PCBRt中，2BC，2PC，2PB，

10/12

∴1





PB

CPBC

CF，

∴

3

6

sin

CF

CB

CFE．

∴

3

3

cosCFE，

∴二面角DPBC的余弦值为

3

3

．

说明：解空间几何计算问题，一般要做两件事：一件是根据问题的需要作必要证明，如

本题中的线线所成的角、面面所成的角从理认上都必须说清楚究竟是谁；

另一件事才是计算，这两件事是根据问题解答逻辑上的需要有机的结合在一起的．

典型例题十五

例15过点S引三条不共面的直线SA、SB、SC，如图，90BSC，

60ASBASC，若截取aSCSBSA

(1)求证：平面ABC平面BSC；

(2)求S到平面ABC的距离．

分析：要证明平面ABC平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平

面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线．

(1)证明：∵aSCSBSA，

又60ASBASC，

∴ASB和ASC都是等边三角形，

∴aACAB，

取BC的中点H，连结AH，∴BCAH．

在BSCRt中，aCSBS，

∴BCSH，aBC2，

∴

2

)

2

2

(

2

22222

a

aaCHACAH，∴

2

2

2

a

SH．

在SHA中，∴

2

2

2

a

AH，

2

2

2

a

SH，22aSA，

∴222HASHSA，∴SHAH，

∴AH平面SBC．

∵AH平面ABC，∴平面ABC平面BSC．

或：∵ABACSA，

∴顶点A在平面BSC内的射影H为BSC的外心，

又BSC为Rt，∴H在斜边BC上，

又BSC为等腰直角三角形，∴H为BC的中点，

11/12

∴AH平面BSC．

∵AH平面ABC，∴平面ABC平面BSC．

(2)解：由前所证：AHSH，BCSH，∴SH平面ABC，

∴SH的长即为点S到平面ABC的距离，a

BC

SH

2

2

2

，

∴点S到平面ABC的距离为a

2

2

．

典型例题十六

例16判断下列命题的真假

(1)两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个

平面．

(2)两个平面垂直，分别在两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；

(3)两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直．

分析：(1)若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图，正方体CA

1

中，平面

AC平面

1

AD，平面AC平面

1

ADAD，在AD上取点A，连结

1

AB，则ADAB

1

，

即过棱上一点A的直线

1

AB与棱垂直，但

1

AB与平面ABCD不垂直，其错误的原因是

1

AB

没有保证在平面

11

AADD内．可以看出：线在面内这一条件的重要性；

(2)该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体

CA

1

中，平面

1

AD平面AC，

1

AD平面

11

AADD，AB平面ABCD，且

1

ADAB，

即AB与

1

AD相互垂直，但

1

AD与平面ABCD不垂直；

(3)如上图，正方体CA

1

中，平面

11

AADD平面ABCD，

1

AD平面

11

AADD，AC

平面ABCD，

1

AD与AC所成的角为60，即

1

AD与AC不垂直．

说明：必须注意两个平面垂直的性质定理成立的条件：(1)线在面内，(2)线垂直于交线，

从而可得出线面垂直．

典型例题十七

例17如图，在60二面角a内有一点P，P到



、的距离分别为3和5，

求P到交线

a

的距离．

解：作PA于A，PB于B，

设PA，PB所确定的平面为，Qa，

12/12

连AQ，BQ，∵PA，

∴aPA．

同理aPB，∴a平面，

∴PQa，则PQ是P到

a

的距离．

在四边形PAQB中，90BA，

∴PAQB是圆的内接四边形，且RPQ2．

又∵60BQA，120BPA，

∴

7120cos53253AB

，

3

3

14

3

27

60sin

2









AB

RPQ．

说明：本例作二面角的平面角用作垂面法，避免了再证明P、B、A、Q四点共面，

同时用到正弦定理和余弦定理．

典型例题十八

例18如图，四面体SABC中，ABC是等腰三角形，aBCAB2，

120ABC，且SA平面ABC，aSA3．求点A到平面SBC的距离．

分析：考虑利用两个平面垂直的性质定理作出点A到SBC的垂线，先确定一个过点A

和平面SBC垂直的平面，∵SA平面ABC，故作BCAD于D，连结SD，则平面

SAD平面SBC，平面SAD实际上就是二面角ABCS的平面角SDA所在的平面，

因此，它的作图过程和用三垂线法作二面角ABCS的平面角的作图过程完全相同．

解：作BCAD交BC于D，连结SD，

∵SA平面ABC，根据三垂线定理有BCSD，又DADSD，

∴BC平面SAD，又BC平面SBC，

∴平面SBC平面ADS，且平面SBC

平面ADSSD，

∴过点A作SDAH于H，由平面与平面垂直的性质定理可知：AH平面SBC．

在SADRt中，aSA3，

aABAD360sin

，

∴

2

3

)3()3(

33

22

22

a

aa

aa

ADSA

ADSA

AH











，

即点A到平面SBC的距离为

2

3a

．

说明：二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱，同时垂直于二面角的两个两．从

本例可以看出：要求点到平面的距离，只要过该点找到与已知平面垂直的平面，则点面距即

可根据面面垂直的性质作出．