自然数e的值

自然数e的值

-大数据治理

2023年2月16日发(作者：生命因什么而美丽)

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用Mathematica研究自然对数的底数e

作者：陈龙

摘要：

e是一个奇妙有趣的无理数，它取自瑞士数学家欧拉的英文字头。e与被认为是数学中最重要的两个超越数，e、

及i（i为虚数单位）三者间存在1ie

的关系。本文利用Mathematica软件研究了自然对数的底数e，介绍了e的

一些相关知识、e与自然对数的关系以及e的值的计算方法等。

关键词：Mathematica，e，自然对数

一、引言

远在公元前，圆周率就被定义为“周长与直径之比”。自古以来，的近似值一直取为3.14或

7

22742851.3





。通过许多数学家的努力，的近似值位数不断增加。目前用电脑计算圆周率。由于电

脑速度等功能不断改进，今后



的近似值位数会越来越多。

另外一个奇妙有趣的无理数是

e

，它取自瑞士数学家欧拉（Euler，1707-1783）的英文字头。欧拉首

先发现此数并称之为自然数

e

。但是，这种所谓的自然数与常见正整数1，2，3，……截然不同。确切地

讲，

e

应称为“自然对数a

e

log的底数”。

e

与



被认为是数学中最重要的两个超越数（transcendentalnumber，若一数为0xf之根，其

中f为某一至少一次的整系数多项式，则此数称为代数数（algebraicnumber），否则称为超越数）。

e

、

及i（i为虚数单位）三者间存在1ie

的关系。本文主要介绍

e

的一些知识以及用Mathematica

软件来计算

e

。

二、欧拉数

e

考虑数列

n

a，

n

a=



n

i

i

0

!

1

=

!

1

!2

1

!1

1

1

n

，1n，其中!n=1231nn，1n，1!0，

应用下述关于级数收敛的基本定理之一可证明出其极限存在。

定理1.设数列

n

a为单调且有界，则当

n

时，aa

n

（

a

为一有限数）。

首先，对

n

a=



n

i

i

0

!

1

，显然

n

a为单调递增数列。其次，

1

a=2，

2

a=

2

5

，而3n时，

n

a=1+1+

n















32

1

432

1

32

1

2

1



1+1+

1322

1

2

1

2

1

2

1





n



=1+

2

1

1

2

1

1

















n

3，

即数列

n

a以3为一上界。故有定理1知，数列

n

a收敛至一实数，由于此极限值与圆周率一样在许

多数学的公式中出现，所以不可避免的需要给它一个特别的符号。欧拉似乎是第一个体会到此数之重要性

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的数学家，他并以

e

来表示此数。后来符号

e

就被广为采用，后人并称

e

为欧拉数（Euler’snumber）以

纪念他。由于

e

为

n

时

n

a之极限，故e可表示为

（1）

e

=

0

!

1

i

i

。

以下说明如何以

n

a来求e之近似值，事实上

n

a收敛至e的速度极快。这里借助一几何级数，对任意

mn，

n

a=

m

a+!

1

!2

1

!1

1

nmm













m

a+





























121

1

1

1

1

1

1

!1

1

mnmm

mm





m

a+

1

1

1

1

!1

1







m

m

=

m

a+

!

1

mm

故对mn

，

（2）

m

a



n

a

m

a+

!

1

mm

。

若令

n

，则上式为

（3）

m

a



e



m

a+

!

1

mm

1m。

即对1m，

m

a与

e

之差最多为

!

1

mm

。由于!m随着

m

增长速度极快，故

m

a为

e

的一个很好的估计值。

例如，若

m

=10，则

10

a与

e

之差小于710，因此经由计算

10

a，得到

e

=2.718281…。

N[a[10],50]

2.71828

N[E,50]

2.0

N[a[10]-E,50]

True

当然若

m

取大一些便可再更精确些，如

e

=2.3536028…。这是欧拉用笔算得到的

e

之小数前23位。欧拉

22岁时，在一篇论文中写着“这个数的对数是1，以

e

命名之，它的值为2.71828…，它的常用对数为

0.4342944…”。

e

是无理数的证明（这是欧拉在1737年所证出），可利用前述（3）对

e

的估计式。设

e

=qp/为一有

理数，其中p，q为二互质正整数。易见2q，此因

e

介于2与3之间，故

e

不可能为整数。现由（3）

式知

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q

a



q

p



q

a+

!

1

qq

。

将上式每项各乘以!q得

!q

q

a

1qp!!q

q

a+

q

1

!q

q

a+1。

而由

q

a之定义知，!q

q

a为一整数，如此则得整数1qp!介于两相邻整数!q

q

a及!q

q

a+1之间的矛盾结

果。故

e

不是有理数。

下面我们来看另一种常见的引进

e

的方法。考虑数列

n

b=

n

n















1

1，1n。

则由二项式定理（BinomialTheorem）可得

n

b=

k

n

k

n

k

n































1

0

=







n

k

kn

knnn

k

0

11

!

1

=1+1+

























































n

n

nnnn

1

1

2

1

1

1

!

11

1

!2

1



=

n

a3。

又由上面第三个等号的右侧可看出，

n

b的每一项对

n

递增，且

1n

b比

n

b多一正的项，故

n

b为一单调递

增且有界数列必有极限。故得证bb

n

n





lim存在。

接着证明eb。对nl，仍由前述第三个等号之右侧可得













































l

ln

lnl

b

l

1

1

1

!

11

1

!2

1

11。

若先固定

n

，而令l，则上式左侧趋近于b，而右侧趋近于

n

a。即此时有

n

ab，而又有

nn

ab，

因此

bab

nn

，1n。

令

n

，由夹逼定理，便得ebb

n

n





lim。也就是我们得到下述重要的极限结果：

（4）

1

lim1

n

n

e

n









。

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定理2.（夹逼定理）若三个数列

n

x，

n

y，

n

z从某项开始成立

nnn

zyx，

0

nn

且azx

n

n

n

n





limlim，则ay

n

n





lim。

我们发现

e

这个奇妙的数居然可用两种完全不同的方式来导出，事实上尚有许多方式皆可导出

e

。

三、

e

与自然对数

中学学的对数以10为底，称为常用对数，记作Nlg。但科学上常用的对数却以一个无理数

e=2.71828…为底，称为自然对数，记作Nln或Nlog。

早在公元17世纪纳皮尔（）发明对数时，其目的是简化天文数据的计算，将乘法转化为加

法来计算。他希望将每个正实数N表示为某个给定的正实数

a

的幂：N=na。如果N=na，M=ma，则

NM=nma，M，N的乘法变成了

m

，

n

的加法。根据这种思想可编制出相应的对数表，列出幂（即

真数）N与指数（即对数）

n

之间的对应关系。但要使得表中相邻两个真数比较接近，就应当取低

a

接近

1。比如取

a

=1.001。

幂（真数）N1.0011.0020011.003003…1..010045121.0…

指数（对数）n123…91020…

不难看出,用接近于1的

a

=1.001为底编制对数表要比以10为底优越。同时为了提高精确度，还可以

取更接近1的1.0001来代替1.001。一般地，可以考虑

n

a=

n

n















1

1作为对数的底，

n

越大越好。

应用Mathematica软件：观察当

n

趋于无穷大时数列

n

a=

n

n















1

1和

n

A=

11

1

















n

n

的变化趋势：

Do[Print[N[(1+10^(-m))^(10^m)]],{m,1,7}]//求

n

a，其中mn10

Out[1]：=2.59374

2.70481

2.71692

2.71815

2.71827

2.71828

2.71828

Do[Print[N[(1+10^(-m))^(10^m+1)]],{m,1,7}]//求

n

A，其中mn10

Out[2]：=2.85312

2.73186

2.71964

2.71842

2.7183

2.71828

2.71828

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由Out[1]和Out[2]观察出它们的变化趋势：

n

a随着n的增大而增大，

n

A随着n的增大而减小。

pic1=Plot[(1+10^(-x))^(10^x),{x,1,4},PlotStyle{RGBColor[0,0,1]}]

Graphics

pic2=Plot[(1+10^(-x))^(10^x+1),{x,1,4},PlotStyle{RGBColor[1,0,0]}]

Graphics

pic3=Plot[E,{x,1,4},PlotStyle{RGBColor[0,0,1]}]

Graphics

Show[pic1,pic2,pic3]

Graphics

通过观察可以看到，当

n

增大时

n

a=

n

n















1

1递增，

n

A=

11

1

















n

n

增减。随着

n

的无穷增大，

n

a，

n

A

无限接近，趋于共同的极限

e

=2.71828…，以这个

e

为底的对数称为自然对数。

上面是通过对数表的编制来说明自然对数是怎样自然产生的。虽然当初纳皮尔编制对数表的时候还没

有这样明确地提出自然对数，但他一开始编制的决不是以10为底的常用对数表，他以0.99999为底编制的

对数表从本质上接近于自然对数表。只是到后来，为了使用的方便，才采用换底公式将已编成的对数表改

成了以10为底的常用对数表。

在科学中广泛应用以

e

为底的自然对数的更直接的理由是：它使涉及到对数的微分和积分公式变得最

为简单。

下面来研究与

e

有关的极限。①计算当nx10，7,6,5,4,3,2,1n时，xxx/1lg的值。

Do[Print[Log[10,1.0+10.0^(-n)]/(10^(-n))],{n,1,7}]

0.413927

0.432137

0.434077

0.434273

0.434292

0.434294

0.434294

通过观察可以看到，当nx

趋于0时，x趋近于某一个极限值。就是常用对数xylg在

1x处的导数。它不是一个简单的数。定义xxfylg1，则xf在1x处的导数

而xxxf

a

log10lg/lg是以

10ae为底的对数。

②计算10ae

Do[Print[10^Log[10,1.0+10.0^(-n)]/(10^(-n))],{n,1,7}]

11.

101.

1001.

10001.

100001.

③计算当nx10，7,6,5,4,3,2,1n时，xxx/1ln的值。

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Do[Print[Log[1.0+10.0^(-n)]/(10^(-n))],{n,1,7}]

0.953102

0.995033

0.9995

0.99995

0.999995

0.999999

1.

通过观察可以看到当0x时，x趋于一个极限值1。

四、

e

的计算

上述的①、②也是

e

的计算中的一种方法。下面再介绍几种方法。

1、求极限法

由于无理数

e

值是

x

无限增大时，

x

x















1

1的极限，通常书写为：x时，e

x

x

















1

1或

e

x

x

x



















1

1lim。

亦可写为0x时，exx

1

1或exx

x





1

1lim。

Limit[(1+x)^(1/x),x0]

N[Limit[(1+x)^(1/x),x0],50]

2.0

2、泰勒级数法

欧拉认为，一切函数均可展开为无穷级数。在此，利用指数函数的泰勒级数

xe=

!!3!2!1

1

32

n

xxxxn

来计算

e

。

将1x代入上面的级数可以得到

（5）

e

=

!

1

!3

1

!2

1

!1

1

1

n

泰勒级数是无穷级数，实际计算时必然只能取它的前

n

项，导致截断误差

但因为无穷级数（5）收敛迅速（极快地趋近于某一定值），所以计算起来相当顺利，且实际截断误差比较

小。

用Mathematica计算

e

n=100

taylor=N[Sum[1/k!,{k,0,n}],50]

100

2.0

3、数值积分法

利用定积分

计算出1

0

dxex这个积分的数值，再加上1也就得到了

e

的值。

要计算定积分S=1

0

dxex，也就是计算y轴0x和平行y轴的直线1x以及它们之间的曲线

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xey与x轴所包围着的曲边梯形T的面积。为此，用一组平行于y轴的直线

i

xx10,11

1210



nn

xxxxxni将曲边梯形T分成n个小曲边梯形，总面积S分

成这些小曲边梯形的面积之和。如果取

n

很大，使每个小曲边梯形的宽度都很小，可以将它的上方的边界

xexf

ii

xix

1

近似地看作直线段，将每个小曲边梯形近似地当作梯形来求面积，就得到梯形公

式。如果更准确些，将每个小曲边梯形的上边界近似地看作抛物线段，就得到辛普森公司。具体公式如下：

梯形公式：设分点

11

,,

n

xx将积分区间ba,=1,0n等分，即

i

x=nabia/，ni0，所有

的曲边梯形的宽度都是nabh/。记i

x

i

ey

。则第i个曲边梯形的面积

i

S近似地等于梯形面积

hyy

ii



12

1

。将所有这些梯形面积加起来就得到

这就是梯形公式。

辛普森公式：仍用分点

i

x=nabia/11ni将区间ba,=1,0分成n等份，直线

i

xx11ni将曲边梯形分成n个小曲边梯形。再作每个小区间

ii

xx,

1

的中点

nabiax

i

/

2

1

2

1



















。将第i个小曲边梯形的上边界xexfy

ii

xix

1

近似地看作经过三

点xfx，





















i

i

i

xxxx,,

2

11

的抛物线段，则可求得

其中

2

1

i

y=



















2

1

i

xf=2

1

ie。于是得到

这就是辛普森公式。

Mathematica程序

a=0;b=1;y[x_]:=E^x;

n=1000;

tixing=N[(b-a)/n*(Sum[y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}]

+(y[a]+y[b])/2),50]+1

simpson=N[(b-a)/6/n*((y[a]+y[b])+2*Sum[y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}]

+4*Sum[y[a+(i-1/2)*(b-a)/n],{i,1,n}]),50]+1

2.7130662

2.0

参考文献

1．李尚志等著，数学实验，高等教育出版社，1999年9月第1版

2．（日）堀场芳数著，e的奥秘，科学出版社，1998年2月第1版

3．黄文璋著，数学欣赏，中国统计出版社,2001年12月第1版

4．张韵华著，符号计算系统Mathematica教程，科学出版社，2001年11月第1版

StudyingnumberebyMathematica

Author：ChenLong

Abstract：eisafantasticandinterestingirrationalnumber，whichderivesfromthebeginning

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letterofEulerwhoisaSwissmathematician．Itisthoughtthattheeandpiarethemostimportant

transcendentalnumberinmathematics．Thee，pi，i(iisanimaginarynumberunit)satisfy

1ie

．Thistextstudiesnumbere(baseofnaturallogarithms)usingMathematica,tellssome

knowledgeaboute，therelationbetweeneandnaturallogarithmsandcomputationofe,etc．

Keywords：Mathematica，e，naturallogarithms