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2023年2月16日发(作者：生产计划单)高考题：第6章数列第一节等差数列、等比数列
的概念及
数列
第一节等差数列、等比数列的概念及求和
一、选择题
1.（2022年浙江理）（3）设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a5
0，则（A）11（B）5（C）8（D）11
解析：通过8a2a50，设公比为q，将该式转化为8a2a2q30，解得
q=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比
数列的通项公式与前n项和公式，属中档题
2.（2022年全国卷2理）（4）.如果等差数列an中，a3a4a512，
那么a1a2...a7（A）14（B）21（C）28（D）35C
【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.a3a4a5
3a412,a44,a1a2a7
S5
S2
7(a1a7)
7a4282
3.（2022年辽宁文）（3）设Sn为等比数列an的前n项和，已知
3S3a42，3S2a32，则公比q（A）3B
解析：选B.两式相减得，3a3a4a3，a44a3,q
（B）4
（C）5
（D）6
a4
4.a3
4.（2022年辽宁理）（6）设{an}是有正数组成的等比数列，已知
a2a4=1,S37,Sn为其前n项和。则S5
（A）
B
【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查
了同学们解决问题的能力。
__-__
(B)(C)(D)
2244
部分省市高考题
24
由a2a4=1可得a1q1，因此a1
12
，又因为Sa(1qq)7，联力两式有312q
111
(3)(2)0，所以q=,所以S5
2qq
4(1
1
)
531，故选B。412
5.（2022年全国卷2文）(6)如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，
那么a1+a2++a7=（A）14(B)21(C)28(D)35C
本题考查了数列的基础知识。
1
a1a2a77(a1a7)7a428
aa4a512，∴a442∵3
6.（2022年安徽文）(5)设数列{an}的前n项和Snn2，则a8的值为
（A）15(B)16(C)49（D）64A
a8S8S7644915.
【方法技巧】直接根据anSnSn1(n2)即可得出结论.
7.（2022年浙江文）(5)设sn为等比数列{an}的前n项和，8a2a50
则(A)-11(C)5
(B)-8(D)11
3
S5
S2
解析：通过8a2a50，设公比为q，将该式转化为8a2a2q0，解得
q=-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比
数列的通项公式与前n项和公式8.（2022年重庆理）（1）在等比数列
an中，a2022年8a2022年，则公比q的值为A.2B.3C.4D.8A解
析：
a2022年
q38q2a2022年
部分省市高考题
9.（2022年广东理）4.已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和。
若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为
5
，则S5=4
A．35B.33C.31D.29C
解析：设{an}的公比为q，则由等比数列的性质知，a2a3a1a4
2a1，即a42。由a4与2a7的等差中项为∴q
3
__-__知，a42a72，即a7(2a4)(22)．__-__
11a71
，即q．a4a1q3a12，即a116．
28a48
10.（2022年广东文）
11.（2022年山东理）
部分省市高考题
12.（2022年重庆文）（2）在等差数列an中，a1a910，则a5的值
为（A）5（B）6（C）8（D）10A
解析：由角标性质得a1a92a5，所以a5=5二、填空题
1.（2022年辽宁文）（14）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3
3，S624，则
a9。
32
S3ad31a132解析：填15.,解得1，a9a18d15.
65d2S6ad2461
2
2.（2022年福建理）11．在等比数列an中,若公比q=4,且前3项之
和等于21,则该数列的通项公式an4
n-1
n-1
由题意知a14a116a121，解得a11，所以通项an4
。
【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，
属基础题。
3.（2022年江苏卷）8、函数y=x(x0)的图像在点(ak,ak)处的切线与x
轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_________解
析：考查函数的切线方程、数列的通项。
2
2
2
在点(ak,ak)处的切线方程为：yak22ak(xak),当y0时，解得x所以
ak1
ak
，2
ak
,a1a3a5164121。2
三、解答题
1.（2022年上海文）21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个
小题满分6分，第2个小题满分8分。
已知数列an的前n项和为Sn，且Snn5an85，nN
*
(1)证明：an1是等比数列；
部分省市高考题
(2)求数列Sn的通项公式，并求出使得Sn1Sn成立的最小正整数n.
5
解析：(1)当n1时，a114；当n≥2时，anSnSn15an5an11，
所以an1(an11)，
6
又a1115≠0，所以数列{an1}是等比数列；5
(2)由(1)知：an115
65
Sn75
6
n1
n1
5
，得an115
6
n1
，从而
n90(nN*)；
n1
5
由Sn1Sn，得
6
22
114.9，最小正整数n15．，nlog5
2556
2.（2022年陕西文）16.（本小题满分12分）
已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数
列.（Ⅰ）求数列{an}的通项;
（Ⅱ）求数列{2}的前n项和Sn.
an
解（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列
得
12d18d
＝，112d
解得d＝1，d＝0（舍去），故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知2
2
3
n
am
=2，由等比数列前n项和公式得[高考学习网]
n
2(12n)n+1
Sm=2+2+2++2==2-2.
12
3.（2022年全国卷2文）（18）（本小题满分12分）
已知{an}是各项均为正数的等比数列，且
a1a22(
__
)，a3a4a564()a1a2a3a4a5
（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn(an
12
)，求数列{bn}的前n项和Tn。an
本题考查了数列通项、前n项和及方程与方程组的基础知识。（1）
设出公比根据条件列出关于
a1与d的方程求得a1与d，可求得数列的通项公式。
部分省市高考题
（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出BN的通项公式，由其通
项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。
4.（2022年江西理）22.（本小题满分14分）证明以下命题：
（1）对任一正整a,都存在整数b,c(bc)，使得a，b，c成等差数
列。
（2）存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长an，bn，cn为
正整数且an2，bn2，cn2成
等差数列。
作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。（1）考
虑到结构要证ac2b，；类似勾股数进行拼凑。
证明：考虑到结构特征，取特值12,52,72满足等差数列，只需取
b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。
结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的
因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。
__-__证明：当an成等差数列，则bn，，bn，cnancnbn
2
2
2
2
2
2
分解得：(bnan)(bnan)(cnbn)(cnbn)选取关于n的一个多项式，
4n(n1)做两种途径的分解
2
4n(n21)(2n2)(2n22n)(2n22n)(2n2)4n(n21)
ann22n1
2
对比目标式，构造bnn1(n4)，由第一问结论得，等差数列成立，
cn22n1n
考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。
下证互不相似。
m22m1m21m22m1
22任取正整数m，n，若△m，△n相似：则三边对应成比例2，
n2n1n1n2n1
由比例的性质得：
5.（2022年安徽文）（21）（本小题满分13分)m1m1
mn，与约定不同的值矛盾，故互不相似。n1n1
部分省市高考题
设C1,C2,,Cn,是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x
轴的正半轴上，且都与直线
y
对每一个正整数n,圆Cn都与圆Cn1相互x相切，
外切，以rn表示Cn的半径，已知{rn}为递增数列.(Ⅰ)证明：{rn}为等
比数列；
（Ⅱ）设r11，求数列{的前n项和.
【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基
本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.
【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设Cn的圆心为(n,0)，得n
2rn，同理得
n
rn
n12rn1，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间
的关系，即{rn}中rn1
与rn的关系，证明{rn}为等比数列；（2）利用（1）的结论求{rn}的通
项公式，代入数列然后用错位相减法求和.
n
，rn
部分省市高考题
1x的倾斜角记为,则有tan=,332
r1
设Cn的圆心为（n，0），则由题意得知n，得n2rn；同理
n2解：（1）将直线y=
n+12rn+1，从而n+1nrnrn+12rn+1，将n2rn代入，解得rn+1
3rn
故rn为公比q3的等比数列。（）由于rn1，q3，故rn3n1，从而
记Sn
12n
.....,则有r1r2rn
n
n*31n，rn
Sn12*313*32......n*31n
Sn
1*312*32......(n1)*31nn*3n3
①②,得
2Sn
13132...31nn*3n3
13n33n*3n(n)*3n,
223
9139(2n3)*31n1n
Sn(n)*3
4224
【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知
识，并结合图形，得出关于数列相邻项an与an1之间的关系，然后根据
这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于
数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，
通常是利用前n项和Sn乘以公比，然后错位相减解决.
6.（2022年重庆文）（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，
（Ⅱ）小问7分.）已知an是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn
为an的前n项和.
（Ⅰ）求通项an及Sn；
（Ⅱ）设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的
通项公式及其前n项和Tn.
部分省市高考题
7.（2022年浙江文）（19）（本题满分14分）设a1，d为实数，首项
为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0。
（Ⅰ）若S5=5，求S6及a1；（Ⅱ）求d的取值范围。
8.（2022年北京文）（16）（本小题共13分）已知|an|为等差数列，
且a36，a60。
（Ⅰ）求|an|的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列|bn|满足b18，b2a1a2a3，求|bn|的前n项和公
式解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差d。因为a36,a60
部分省市高考题
所以
a12d6
解得a110,d2
a15d0
所以an10(n1)22n12（Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q因为b2
a1a2a324,b8
所以8q24即q=3
b1(1qn)
所以{bn}的前n项和公式为Sn4(13n)
1q
9.（2022年四川理）（21）（本小题满分12分）
已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N都有
*
a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2
（Ⅰ）求a3，a5；
（Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N)，证明：{bn}是等差数列；
（Ⅲ）设cn＝(an+1－an)q
n－1
*
(q≠0，n∈N)，求数列{cn}的前n项和Sn.
*
本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及
推理论证、分析与解决问题的能力.
解：(1)由题意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6
再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝202分(2)当n∈N时，由
已知(以n＋2代替m)可得
*
a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8
于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8即bn＋1－
bn＝8
所以{bn}是公差为8的等差数列5分(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项
为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n
－1＝8n－2另由已知(令m＝1)可得
an＝
a2n1a12
-(n－1).2
部分省市高考题
a2n1a2n1
－2n＋1
28n2
＝－2n＋1
2
那么an＋1－an＝＝2n于是cn＝2nq
n－1
.
当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋＋2n＝n(n＋1)当q≠1时，Sn＝2q＋
4q＋6q＋＋2nq两边同乘以q，可得
qSn＝2q＋4q＋6q＋＋2nq.上述两式相减得
(1－q)Sn＝2(1＋q＋q＋＋q
21
2
3
1
2
n－1
.
n
n－1
)－2nq
n
1qnn
＝2－2nq
1q1(n1)qnnqn1
＝2
1qnqn1(n1)qn1
所以Sn＝22
(q1)
n(n1)(q1)
综上所述，Sn＝nqn1(n1)qn112分
2(q1)(q1)2
10.（2022年全国卷1理）（22）(本小题满分12分)（注意：在试题
卷上作答无效）．．．．．．．．．已知数列an中，a11,an1c
1
.an
（Ⅰ）设c
51,bn，求数列bn的通项公式；2an2
（Ⅱ）求使不等式anan13成立的c的取值范围.
部分省市高考题
11.（2022年山东理）（18）（本小题满分12分）
已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为
Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=
1*
(nN)，求数列bn的前n项和Tn．2
an1
（Ⅰ）设等差数列an的公差为d，因为a37，a5a726，所以有
a12d7
，解得a13,d2，
2a10d261
所以an3（2n1)=2n+1；Sn=3n+
n(n-1)
2=n2+2n。2
部分省市高考题
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an2n+1，所以bn=
__-__
(-)，===22
4nn+1an1（2n+1)14n(n+1)
所以Tn=
__-__n
(1-+++-)=(1-)=，
4223nn+14n+14(n+1)
即数列bn的前n项和Tn=
n
。
4(n+1)
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、
裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
2022年高考题
一、选择题
1.(2022年广东卷文)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9=2a5，
a2=1，则a1=A.
2
12B.C.2D.222
B
设公比为q,由已知得a1qa1q2a1q为正数，所以q
2
8
42
,即q
2
2,又因为等比数列{an}的公比
故a1
a2,选B
q为等差数列，
，则
等于
2.(2022年安徽卷文）已知
A.-1B.1C.3D.7
∵a1a3a5105即3a3105∴a335同理可得a433∴公差da4a32∴
a20a4(204)d1.选B。
B
3.（2022年江西卷文）公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.
若a4是a3与a7的等比中项,
S832,则S10等于
A.18B.24C.60D.90
部分省市高考题
C
2
由a4a3a7得(a13d)2(a12d)(a16d)得2a13d0,再由
56
d32得2a17d8则d2,a13,所以290
S1010a1d60,.故选C
2S88a1
4.（2022年湖南卷文）设Sn是等差数列an的前n项和，已知a2
3，a611，则S7等于()A．13B．35C．49D．63S7
或由
7(a1a7)7(a2a6)7(311)
49.故选C.222
a2a1d3a11
,a716213.
a6a15d11d2
7(a1a7)7(113)
49.故选C.22
5.（2022年福建卷理）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，
a1=4，则公差d等于
所以S7A．1B：C[解析]∵S36
5
C.-2D33
3
(a1a3)且a3a12da1=4d=2.故选C2
6.（2022年辽宁卷文）已知an为等差数列，且a7－2a4＝－1,a3＝
0,则公差d＝A.－2B.－
11
C.D.222
1
2
a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1d＝－B
7.（2022年四川卷文）等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1＝1，
a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是
A.90B.100C.145D.190B
设公差为d，则(1d)1(14d).∵d≠0，解得d＝2，∴S10＝100
2
8.（2022年宁夏海南卷文）等差数列an的前n项和为Sn，已知am
1am1amS2m138,0，
2
则m
部分省市高考题
A.38B.20C.10D.9C
2
因为an是等差数列，所以，am1am12am，由am1am1am0，
得：2am
－am＝0，所以，am＝2，又S2m138，即38，解得m＝10，故
选.C。
2
(2m1)(a1a2m1)
＝38，即（2m－1）×2＝
2
9..（2022年重庆卷文）设an是公差不为0的等差数列，则ana12
且a1,a3,a6成等比数列，的前n项和Sn=（）
n27nn25nn23n
C．A．B．__
A
D．nn
2
设数列{an}的公差为d，则根据题意得(22d)22(25d)，解得d
1
或d02
n(n1)1n27n
（舍去），所以数列{an}的前n项和Sn2n2244
二、填空题
10.（2022年全国卷Ⅰ理）设等差数列an的前n项和为Sn，若S9
72,则a2a4a9答案24
解析an是等差数列,由S972,得S99a5,a58
a2a4a9(a2a9)a4(a5a6)a43a524.
11.（2022年浙江理）设等比数列{an}的公比q答案：15
1S
，前n项和为Sn，则4．2a4
a1(1q4)s41q43
解析对于s4,a4a1q,315
1qa4q(1q)
12.（2022年北京文）若数列{an}满足：a11,an12an(nN)，则a5；
前
8项的和S8（用数字作答）答案225
部分省市高考题
.解析本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.属于基础
知识、基本运算的考查.
a11,a22a12,a32a24,a42a38,a52a416，
281
255，∴应填255.易知S8
21
13.（2022年全国卷Ⅱ文）设等比数列{an}的前n项和为sn。若a1
1,s64s3，则a4答案：3
解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由a11,s64s3得q=3
故a4=a1q=314.（2022年全国卷Ⅱ理）设等差数列an的前n项和为
Sn，若a55a3则
3
3
S9
S5
解析an为等差数列，答案9
S99a5
9S55a3
15.（2022年辽宁卷理）等差数列an的前n项和为Sn，且6S55S3
5,则a41
解析∵Sn＝na1＋n(n－1)d
2
∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d
∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝
15a4答案
13
三、解答题
16.（2022年浙江文）设Sn为数列{an}的前n项和，Snkn2n，n
N，其中k是常数．（I）求a1及an；
（II）若对于任意的mN，am，a2m，a4m成等比数列，求k的
值．解（Ⅰ）当n1,a1S1k1，
*
*
n2,anSnSn1kn2n[k(n1)2(n1)]2knk1（）
经验，n1,（）式成立，an2knk1（Ⅱ）am,a2m,a4m成等比数
列，a2mam.a4m，
即(4kmk1)(2kmk1)(8kmk1)，整理得：mk(k1)0，2
2
部分省市高考题
对任意的mN成立，k0或k1
17.（2022年北京文）设数列{an}的通项公式为anpnq(nN,P0).数
列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式anm成立的所有n
中的最小值.（Ⅰ）若p
11
,q，求b3；23
（Ⅱ）若p2,q1，求数列{bm}的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm3m2(mN)？如果存在，求p和q
的取值范围；如果不存在，请说明理由.
本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论
证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层
次题.解（Ⅰ）由题意，得an∴
2022年11
n，解n3，得n.
__
11
n3成立的所有n中的最小整数为7，即b37.23
（Ⅱ）由题意，得an2n1，对于正整数，由anm，得n根据bm
的定义可知
__
当m2k1时，bmkkN；当m2k时，bmk1kN.
m1
.2
∴b1b2b2mb1b3b2m1b2b4b2m
123m234m1
mm1mm3m22m.
22
（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pnqm及p0得n
mq
.p
∵bm3m2(mN),根据bm的定义可知，对于任意的正整数m都有
3m1
mq
3m2，即2pq3p1mpq对任意的正整数m都成立.p
部分省市高考题
当3p10（或3p10）时，得m这与上述结论矛盾！当3p10，即
p
pq2pq
（或m），3p13p1
__
时，得q0q，解得q.__
∴存在p和q，使得bm3m2(mN)；
p和q的取值范围分别是p
121
，q..333
18.(2022年山东卷文)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的
nN，点(n,Sn)，均在函数ybxr(b0且b1,b,r均为常数)的图像上.（1）
求r的值；（11）当b=2时，记bn
n1
(nN)求数列{bn}的前n项和Tn4an
x
解:因为对任意的nN,点(n,Sn)，均在函数ybr(b0且b1,b,r均为常
数)的图像上.所以得Snbnr,
当n1时,a1S1br,
当n2时,anSnSn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1,又因为{an}为等比
数列,所以r1,公比为b,所以an(b1)bn1（2）当b=2时，an(b1)bn
12n1,bn则Tn
n1n1n1
4an42n12n1
234n1__-__n1
1234nn1Tn__-__n12n2
__n1
相减,得Tn2345n1n2
__-__1(1)n11n113n13n2n1n2
__2
31n13n3
所以Tnnn1n1
__
部分省市高考题
【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知Sn
求an的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项
乘积所得新数列的前n项和Tn.
19.（2022年全国卷Ⅱ文）已知等差数列{an}中，a3a716,a4a60求
{an}前n项和sn.解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能
力，利用方程的思想可求解。解：设an的公差为d，则
a12da16d16
a13da15d0
a128da112d216即
a4d1
解得
a18,a18
或
d2,d2
因此Sn8nnn1nn9，或Sn8nnn1nn920.（2022年安徽卷
文）已知数列
{
（Ⅰ）求数列{（Ⅱ）设
}与{
}的通项公式；
＜
}的前n
项和
，数列
{
}的前n
项和
，证明：当且仅当n≥3时，
a1(n1)由a可求出an和bn，这是数列中求通项的常用方法之一，
在求
ss(n2)n1n
出an和bn后，进而得到cn，接下来用作差法来比较大小，这也是
一常用方法。(1)由于a1s14
当n2时,ansnsn1(2n22n)[2(n1)22(n1)]4nam4n(nN)又当xn
时bnTnTn1(26m)(2bm1)2bnbn1
*
11
数列bn项与等比数列,其首项为1,公比为bn()n1