三角函数的诱导公式
-百战百胜的故事
2023年2月16日发(作者：物理仿真实验)
180
x
y
P(x,y)
P′(-x，-y)
M
M′
O
(4-5-1)
课题：三角函数的诱导公式
教学目的：使学生掌握180º+
，-
，180º-
，360º－
角的正弦、余弦、正切的诱
导公式能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦、正切值的求解、
简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；
教学重点：诱导公式
教学难点：诱导公式的灵活应用
教学过程：
一、复习引入：
sin)2sin(k
cos)2cos(k
tan)2tan(k（其中
Zk
）
这组公式可以统一概括为))(()2(Zkfkf的形式，
其特征是：等号两边是同名函数，且符号都为正
三角函数是“多对一”的单值对应关系，
注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成80sin)280sin(k，
二、讲解新课：
公式二：-sinsin(）-α与α终边关于x轴对称
coscos(）
tantan(）
公式三：
－α与α终边关于y轴对称
公式四：
＋α与α终边关于原点对称
四组诱导公式可概括为：
+2kπ（k∈Z），-
，π±
的三角函数值，等于
的同名函数值，前面加
上一个把
看成锐角时原函数值的符号．记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；
三、讲解范例：
例1求下列三角函数值：（1）
11
sin
6
；（2）
17
sin()
3
．
解：（1）
111
sinsin(2)sin()sin
66662
；
（2）
173
sin()sin(6)sin
3332
．
例2求下列三角函数值：（1）
43
cos()
6
．（2）sin960；
分析：先将不是0,360
范围内角的三角函数，转化为0,360
范围内的角的三角
函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到0,90
范
围内角的三角函数的值。
解：（1）
4343
cos()cos
66
77
cos(6)cos
66
cos()cos
66
3
2
．
（2）sin960sin(960720)sin240sin(18060)sin60
3
2
．
练习．下列三角函数值：（1）cos210º；(2)sin
4
5
求下列各式的值：（1）sin(－
3
4
)；(2)cos(－60º)－sin(－210º)
例3化简：
（1）
sin(180)sin()tan(360)
tan(180)cos()cos(180)
；
（2）
sin120cos330sin(690)cos(660)tan675cot765
．
解：（1）原式
sinsintantan
1
tancoscostan
．
（2）原式
sin(18060)cos(36030)sin(720690)cos(720660)
tan(675720)cot(765720)
sin60cos30sin30cos60tan(45)cot45
3311
tan451
2222
31
111
44
．
例4化简
2
3
cotcos()sin(3)
tancos()
．
解：原式
2
3
cot(cos)sin()
tancos()
2
3
cot(cos)(sin)
tan(cos)
2
3
cot(cos)sin
tan(cos)
22
22
cossin
1
sincos
．
练习：化简
)180sin()180cos(
)1080cos()1440sin(
例5．已知cos(π+
)=－
2
1
，
2
3
<
<2π，则sin(2π－
)的值是（）．
（A）
2
3
(B)
2
1
(C)－
2
3
(D)±
2
3
例6已知：tan3，求
2cos()3sin()
4cos()sin(2)
的值。
解：∵tan3，
∴原式
2cos3sin23tan
7
4cossin4tan
．
说明：第二步到第三步应用了“弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的
cos，得到一个只含tan的教简单的三角函数式。
1．求下式的值：2sin(－1110º)－sin960º+
)210cos()225cos(2
2．化简sin(－2)+cos(－2－π)·tan(2－4π)所得的结果是（）
（A）2sin2(B)0(C)－2sin2(D)－1
3．求下列三角函数值：
（1）
4
5
sin
；(2)
6
19
cos
；(3))240sin(；(4))1665cos(
4．化简：
)4(tan)3sin()2(cos
)2tan()5cos()(sin
33
3
5．当
4
5
时，)(
)2cos()2sin(
])12(sin[])12(sin[
zk
kk
kk
的值是____．
6．求值：1065sin)225cos(915sin