三角函数奇偶性

三角函数奇偶性

-中国结的英文

2023年2月16日发(作者：华氏度符号)

1

三角函数

一、任意角、弧度制及任意角的三角函数

1．任意角

(1)角的概念的推广

①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．











正角:按逆时针方向旋转形成的角

任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角

②按终边位置不同分为象限角和轴线角．

角



的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称



为第几象限角．

第一象限角的集合为36036090,kkk

第二象限角的集合为36090360180,kkk

第三象限角的集合为36,kkk

第四象限角的集合为36,kkk

终边在x轴上的角的集合为180,kk

终边在y轴上的角的集合为18090,kk

终边在坐标轴上的角的集合为90,kk

(2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．终边与角



相同的角的集合为360,kk

(3)弧度制

①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．

③半径为r的圆的圆心角



所对弧的长为

l

，则角



的弧度数的绝对值是

l

r



④若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为

l

，周长为

C

，面积为

S

，则lr，

2Crl

，

2

11

22

Slrr．

2．任意角的三角函数定义

设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为

22rrxy，那么角α的正弦、余弦、

正切分别是：sinα＝

y

r

，cosα＝

x

r

，tanα＝

y

x

．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三

正切、四余弦）

3．特殊角的三角函数值

2

角度

函数

13515

角a的弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π3π/22π

sina01/2√2/2√3/21√3/2√2/21/20-10

cosa1√3/2√2/21/20-1/2-√2/2-√3/2-101

tana0√3/31√3-√3-1-√3/300

二、同角三角函数的基本关系与诱导公式

A.基础梳理

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）

(2)商数关系：

sinα

cosα

＝tanα.（3）倒数关系：1cottan

2．诱导公式

公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cos_α，tan)2tan(k其中k∈Z.

公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tanα.

公式三：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α，tantan

．

公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tantan.

公式五：sin









π

2

－α

＝cos_α，cos









π

2

－α

＝sinα.

公式六：sin









π

2

＋α

＝cos_α，cos









π

2

＋α

＝－sin_α.

诱导公式可概括为k·

π

2

±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指

π

2

的奇数

倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，

则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角

．．．．

时，根据k·

π

2

±α在哪个象限判断原

．

三角

．．

函数值的符号，最后作为结

果符号．

B.方法与要点

一个口诀

1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．

2、四种方法

在求值与化简时，常用方法有：

(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝

sinα

cosα

化成正、余弦．

(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．

（cossin、cossin、cossin三个式子知一可求二）

3

(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ=sin

2



＝tan

π

4

（4）齐次式化切法：已知ktan，则

nmk

bak

nm

ba

nm

ba

























tan

tan

cossin

cossin

三、三角函数的图像与性质

学习目标：

1会求三角函数的定义域、值域

2会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如

xysin

与xycos的周期是）。

3会判断三角函数奇偶性

4会求三角函数单调区间

5知道三角函数图像的对称中心，对称轴

6知道sin()yAx，cos()yAx，tan()yAx的简单性质

（一）知识要点梳理

1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sinyx和余弦函数cosyx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别

为0，

3

,,,2

22



的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

1

-1

y=sinx

-3



2

-5



2

-7



2

7



2

5



2

3



2



2

-



2

-4



-3



-2



4



3



2





-



o

y

x

1

-1

y=cosx

-3



2

-5



2

-7



2

7



2

5



2

3



2



2

-



2

-4



-3



-2



4



3



2





-



o

y

x

2、正弦函数sin()yxxR、余弦函数cos()yxxR的性质：

（1）定义域：都是R。

（2）值域：都是1,1，

对sinyx，当2

2

xkkZ



时，y取最大值1；当

3

2

2

xkkZ



时，y取最小值－1；

对cosyx，当2xkkZ时，y取最大值1，当2xkkZ时，y取最小值－1。

（3）周期性：sinyx，cosyx的最小正周期都是2



；

（4）奇偶性与对称性：

①正弦函数sin()yxxR是奇函数，对称中心是,0kkZ，对称轴是直线

2

xkkZ



；

②余弦函数cos()yxxR是偶函数，对称中心是,0

2

kkZ













，对称轴是直线xkkZ；（正(余)

弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于

x

轴的直线，对称中心为图象与

x

轴的交点）。

（5）单调性：

4

sin2,2

22

yxkkkZ













在上单调递增，在

3

2,2

22

kkkZ













单调递减；

cosyx在2,2kkkZ上单调递增,在2,2kkkZ上单调递减。特别提醒，别忘了kZ！

3、正切函数tanyx的图象和性质：

（1）定义域：{|,}

2

xxkkZ



。

（2）值域是R，无最大值也无最小值；

（3）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,0

2

k







kZ，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一

类是图象与

x

轴的交点，另一类是渐近线与

x

轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。

（4）单调性：正切函数在开区间,

22

kkkZ













内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。

4、正弦、余弦、正切函数的图像和性质

sinyx

cosyx

tanyx

图象

定义域

RR

,

2

xxkk













值域1,11,1

R

最值

当

2

2

xk



k时，

max

1y；当

2

2

xk





k时，

min

1y．

当2xkk时，

max

1y；当

2xk

k时，

min

1y．

既无最大值也无最小值

周期性

22



奇偶性奇函数偶函数奇函数

单调性

在2,2

22

kk













k上是增函数；在

3

2,2

22

kk













k上是减函数．

在2,2kkk上是

增函数；在2,2kk

k上是减函数．

在,

22

kk













k上是增函数．

函

数

性

质

5

对称性

对称中心,0kk

对称轴

2

xkk





对称中心,0

2

kk













对称轴xkk

对称中心,0

2

k

k











无对称轴

5、研究函数sin()yAx性质的方法：类比于研究sinyx的性质，只需将sin()yAx中的x看

成sinyx中的

x

。

函数y＝Asin（x＋）（A＞0，＞0）的性质。

（1）定义域：R

（2）值域：[-A,A]

（3）周期性：

2

||

T







①()sin()fxAx和()cos()fxAx的最小正周期都是

2

||

T





。

②()tan()fxAx的最小正周期都是

||

T





。

（4）单调性：函数y＝Asin（x＋）（A＞0，



＞0）的

单调增区间可由2k－

2



≤x＋≤2k＋

2



，k∈z解得；

单调减区间可由2k＋

2



≤x＋≤2k＋

3

2



，k∈z解得。

在求sin()yAx的单调区间时，要特别注意A和



的符号，通过诱导公式先将



化正。

如函数2

3

ysin(x)



的递减区间是______

（答：

解析：y=，所以求y的递减区间即是求

的递增区间，由得

，所以y的递减区间是

四、函数

sinyAx的图像和三角函数模型的简单应用

一、知识要点

1、几个物理量：①振幅：；②周期：

2



；③频率：

1

2

f









；④相位：x；⑤初相：．

2、函数sin()yAx表达式的确定：A由最值确定；



由周期确定；由图象上的特殊点确定.

函数sinyx，当1

xx

时，取得最小值为min

y

；当2

xx

时，取得最大值为max

y

，则



maxmin

1

2

yy

，



maxmin

1

2

yy

，



21122

xxxx





．

3、函数sin()yAx图象的画法：①“五点法”――设Xx，令X＝0，

3

,,,2

22



求出相应的

x

值，

6

y=sinx

y=sinx

横坐标

伸（缩）

1



倍

左（右）

平移

纵坐标

伸（缩）A倍

sinyx

sinyx

xAysin

y=sinx

左（右）

平移





纵坐标

伸（缩）A倍

横坐标

伸（缩）



1

倍

左（右）

平移



xAysin

xAysin

横坐标

伸（缩）





倍

横坐标

伸（缩）



1

倍

sinyAx

纵坐标

伸（缩）A倍

横坐标

伸(缩)



1

倍

xysin

xAysin

xysin

sinyAx

纵坐标

伸（缩）A倍

左（右）

平移





左（右）

平移





纵坐标

伸（缩）A倍

计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

4、函数y＝sinx的图象经变换可得到sinyAx0＞

的图象

5、函数sin()yAxb的图象与sinyx图象间的关系：①函数sinyx的图象向左（>0）或向右（<0）

平移||个单位得sinyx的图象；②函数sinyx图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的

1



，得到函

数sinyx的图象；③函数sinyx图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数

sin()yAx的图象；④函数sin()yAx图象向上（0b）或向下（0b）平移||b个单位，得到

sinyAxb的图象。

要特别注意，若由sinyx得到sinyx的图象，则向左或向右平移应平移||





个单位，

如要得到函数y＝sin(2x－

π

3

)的图象，只需将函数y＝sin2x的图象()

(A)向左平移

π

3

个单位(B)向右平移

π

3

个单位

(C)向左平移

π

6

个单位(D)向右平移

π

6

个单位

6、函数y＝Acos（x＋）和y=Atan（x＋）的性质和图象的变换与y＝Asin（x＋）类似。

三角恒等变换

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；

⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；

⑸

tantan

tan

1tantan













（tantantan1tantan）；

7

⑹

tantan

tan

1tantan













（tantantan1tantan）．

如

oooo40tan20tan340tan20tan；（答案：3）

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin22sincos．222)cos(sincossin2cossin2sin1

如cos2

5π

12

＋cos2

π

12

＋cos

5π

12

cos

π

12

的值等于；（答案：

5

4

）

⑵2222cos2cossin2cos112sin

升幂公式221cos22cos,1cos22sin

降幂公式2

1cos2

cos

2







，2

1cos2

sin

2







．

⑶

2

2tan

tan2

1tan











．

3、二弦归一把两个三角函数的和或差化为一个三角函数：22sincossinabab，其中tan

b

a

．

4、三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换，灵活运用三角公式，掌握运算化简的方法．常用的方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，

互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：

①2是



的二倍；4是2的二倍；



是

2



的二倍；

2



是

4



的二倍；

②1545306045ooooo；问：

12

sin



；

12

cos



；

③)(；④)

4

(

24









；⑤)

4

()

4

()()(2







；等等.

如[1]

21

tan,tan,tan

5444













则.（答案：

3

22

）

[2]若cos(α＋β)＝

4

5

，cos(α－β)＝－

4

5

，且

π

2

＜α－β＜π，

3π

2

＜α＋β＜2π，则cos2α＝_____，cos2β＝_____.

（答案：－

7

25

，－1）

[3]已知

sincos2

1,tan,

1cos23











则tan2；（答案：

1

8

）

（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，

变异名为同名（二弦归一）。

如

)10tan31(50sinoo；



13

2cos10sin10

2sin3010

22

cos103sin102sin40cos40sin80

=sin50sin50sin501

cos10cos10cos10cos10cos10cos10

oo

oo

ooooo

ooo

oooooo





















解析：原式

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：

221sincossin90tan45oo

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式

8

有：；。有时需要升幂，常用升幂公式

有：；.如对无理式cos1

常用升幂化为有理式.

（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

如：coscossinsin=____________；sincoscossin=____________；

____________tantan；___________tantan1；

____________tantan；___________tantan1；

sincos

____________；2sincos

22



____________；

2222cossin____________2cos1____________2sin1____________；；；

cos1；cos1；

tan2；2tan1；

sincosab；（其中tan；）

（6）三角函数式的化简运算基本规则：复角化单角，异角化同角，见切化弦，二弦归一，高次化低次，特殊值与特殊

角的三角函数互化。