函数单调性ppt

函数单调性ppt

素描透视-正度纸

考点

10

函数的单调性

【命题解读】

考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式

子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想

.

其中函数与方程考查频率较高

.

涉及函数性质

的考查；

【基础知识回顾】

1.函数单调性的定义

(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x

1

、x

2

，当x

1

2

时，都有f(x

1

)

2

)(或都有f(x

1

)>f(x

2

)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．

(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单

调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间

为减区间．

2.函数单调性的图像特征

对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数

图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．

3.复合函数的单调性

对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)

在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规

律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．

4.函数单调性的常用结论

(1)对∀x

1

，x

2

∈D(x

1

≠x

2

)，

f（x

1

）－f（x

2

）

x

1

－x

2

>0⇔f(x)在D上是增函数；

f

()x

1－f

()x

2

x

1

－x

2

<0⇔f(x)在D上是减函数．

(2)对勾函数y＝x＋

a

x

(a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为(－a，0)和(0，a)．

(3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．

(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”

5.常用结论

1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：

(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；

(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；

(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝

1

f（x）

的单调性相反；

(4)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．

2

．增函数与减函数形式的等价变形：∀

x

1，

x

2∈

[a

，

b]

且

x

1≠

x

2，则

(x

1－

x

2

)[f(x

1

)

－

f(x

2

)]>0

⇔

f

（

x

1）－

f

（

x

2）

x

1－

x

2

>0

⇔

f(x)

在

[a

，

b]

上是增函数；

(x

1－

x

2

)[f(x

1

)

－

f(x

2

)]<0

⇔

f

（

x

1）－

f

（

x

2）

x

1－

x

2

<0

⇔

f(x)

在

[a

，

b]

上是减函数．

1

、函数

y

＝

x2－

5x

－

6

在区间

[2

，

4]

上是

()

A

．递减函数

B

．递增函数

C

．先递减再递增函数

D

．先递增再递减函数

【答案】C

【解析】作出函数y＝x2－5x－6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x＝

5

2

，在[2，4]上先减后增．故

选C.

2

、函数

y

＝

1

x

－

1

在

[2

，

3]

上的最小值为

()

A

．

2B.

1

2

C.

1

3

D

．－

1

2

【答案】

B

【解析】因为

y

＝

1

x

－

1

在

[2

，

3]

上单调递减，所以

y

min＝

1

3

－

1

＝

1

2

.

故选

B.

3

、已知函数

f(x)

是定义在区间

[0

，＋∞

)

上的函数，且在该区间上单调递增，则满足

f(2x

－

1)







1

3的

x

的取值范围是

()

A.







1

3

，

2

3

B.







1

3

，

2

3

C.







1

2

，

2

3

D.







1

2

，

2

3

【答案】

D

【解析】因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足

f(2x

－

1)







1

3

.

所以

0

≤

2x

－

1<

1

3

，

解得

1

2

≤

x<

2

3

.

故选

D.

4

、设函数

f(x)

在

R

上为增函数，则下列结论一定正确的是

(D)

A.y

＝

1

f

（

x

）

在

R

上为减函数

B.y

＝

|f(x)|

在

R

上为增函数

C.y

＝－

1

f

（

x

）

在

R

上为增函数

D.y

＝－

f(x)

在

R

上为减函数

【答案】D.

【解析】如f(x)＝x3，则y＝

1

f（x）

的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x＝0时无意义，A、C错；y

＝|f(x)|是偶函数，在R上无单调性，B错．故选D.

5

、对数函数

log(0

a

yxa

且

1)a

与二次函数2(1)yaxx

在同一坐标系内的图象不可能是

()

A

．

B

．

C

．

D

．

【答案】BD．

【解析】：若1a，则对数函数

log

a

yx

在

(0,)

上单调递增，二次函数2(1)yaxx

开口向上，对称

轴

1

0

2(1)

x

a





，经过原点，可能为A，不可能为B．

若01a，则对数函数

log

a

yx

在

(0,)

上单调递减，二次函数2(1)yaxx

开口向下，对称轴

1

0

2(1)

x

a





，经过原点，可能为C，不可能为D．

故选：BD．

6

、函数

y

＝

|

－

x2＋

2x

＋

1|

的单调递增区间是；单调递减区间是．

【答案】(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；(－∞，1－2)，(1，1＋2)．

【解析】作出函数y＝|－x2＋2x＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调增区间

为(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－2)，(1，1＋2)．故应分别

考向一函数单调性的证明与判断

例1、判断函数f(x)＝

x

1＋x2在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．

【解析】函数f（x）＝

21

x

x

在区间[1，＋∞）上是单调减函数，证明如下：

设x

1

、x

2

∈[1，＋∞），且x

1

2

，则f（x

1

）－f（x

2

）＝

1

2

1

1

x

x

－

2

2

2

1

x

x

＝

22

1221

22

12

(1)(1)

1)(1)

xxxx

xx



（

＝

1112

22

12

()(1)

1)(1)

xxxx

xx



（

.∵x

1

、x

2

∈[1，＋∞），且x

1

2

，∴x

1

－x

2

<0，1－x

1

x

2

<0.

又（1＋x2

1

）（1＋x2

2

）>0，∴f（x

1

）－f（x

2

）>0，

即f（x

1

）>f（x

2

）.∴f（x）＝

21

x

x

在[1，＋∞）上为减函数.

变式

1

、试讨论函数

f(x)

＝

x

＋

k

x

(k>0)

的单调性．

【解析】．法一：由解析式可知，函数的定义域是

(

－

∞

，

0)

∪

(0

，＋

∞)

．在

(0

，＋

∞)

内任取

x

1，

x

2，令

x

1

2，

那么

f(x

2

)

－

f(x

1

)

＝







x

2＋

k

x

2

－







x

1＋

k

x

1

＝

(x

2－

x

1

)

＋

k







1

x

2

－

1

x

1

＝

(x

2－

x

1

)

x

1

x

2－

k

x

1

x

2

．

因为

0

1

2，所以

x

2－

x

1

>0

，

x

1

x

2

>0

．

故当

x

1，

x

2∈

(k

，＋

∞)

时，

f(x

1

)

2

)

，

即函数在

(k

，＋

∞)

上单调递增．

当

x

1，

x

2∈

(0

，

k)

时，

f(x

1

)>f(x

2

)

，

即函数在

(0

，

k)

上单调递减．

考虑到函数

f(x)

＝

x

＋

k

x

(k>0)

是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在

(

－

∞

，－

k)

上单调递增，在

(

－

k

，

0)

上单调递减．

综上，函数

f(x)

在

(

－

∞

，－

k)

和

(k

，＋

∞)

上单调递增，在

(

－

k

，

0)

和

(0

，

k)

上单调递减．

法二：由解析式可知，函数的定义域是

(

－

∞

，

0)

∪

(0

，＋

∞)

．

f′(x)

＝

1

－

k

x2．

令

f′(x)>0

得

x2>k

，即

x

∈

(

－

∞

，－

k)

或

x

∈

(k

，＋

∞)

，故函数的单调增区间为

(

－

∞

，－

k)

和

(k

，＋

∞)

．令

f′(x)<0

得

x2

，即

x

∈

(

－

k

，

0)

或

x

∈

(0

，

k)

，故函数的单调减区间为

(

－

k

，

0)

和

(0

，

k)

．

故函数

f(x)

在

(

－

∞

，－

k)

和

(k

，＋

∞)

上单调递增，在

(

－

k

，

0)

和

(0

，

k)

上单调递减．

变式2、试讨论函数f(x)＝

ax

x2＋1

(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．

【解析】(方法1)设x

1

，x

2

∈(0，＋∞)且x

1

＜x

2

，则f(x

1

)－f(x

2

)＝

ax

1

x2

1

＋1

－

ax

2

x2

2

＋1

＝

ax

1

（x2

2

＋1）－ax

2

（x2

1

＋1）

（x2

1

＋1）（x2

2

＋1）

＝

a[x

1

x2

2

＋x

1

－x

2

x2

1

－x

2

]

（x2

1

＋1）（x2

2

＋1）

＝

a（x

2

－x

1

）（x

1

x

2

－1）

（x2

1

＋1）（x2

2

＋1）

.

∵x

1

＜x

2

，x

2

－x

1

>0，又a>0，(x2

1

＋1)(x2

2

＋1)>0.

∴当x

1

，x

2

∈(0，1)时，x

1

x

2

－1<0，

从而

a（x

2

－x

1

）（x

1

x

2

－1）

（x2

1

＋1）（x2

2

＋1）

<0，即f(x

1

)－f(x

2

)<0⇒f(x

1

)

2

)，此时f(x)＝

ax

x2＋1

(a＞0)单调递增；

当x

1

，x

2

∈(1，＋∞)时，x

1

x

2

－1>0，

从而

a（x

2

－x

1

）（x

1

x

2

－1）

（x2

1

＋1）（x2

2

＋1）

>0，即f(x

1

)－f(x

2

)>0⇒f(x

1

)>f(x

2

)，此时f(x)＝

ax

x2＋1

(a＞0)单调递减．

∴函数f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．

方法总结：1.判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的

单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.

2.应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：

取值→作差→变形→确定符号→得出结论

其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；

(2)配方；(3)通分约分等．

考向二函数的单调区间

例

1

、求下列函数的单调区间

（

1

）

y

＝－

x2＋

2|x|

＋

1

；

（2）、.函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间是________.

【解析】（1）由

2

2

21,0

-x21,0

xxx

xx















≥，

＜，

即

2

2

(1)2,0

-1)2,0.

xx

y

xx

















≥

（＜

画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]，

[1，＋∞)．

（2）y＝|x|(1－x)＝







x（1－x），x≥0，

－x（1－x），x<0

＝







－x2＋x，x≥0，

x2－x，x<0，

函数的大致图象如图所示.

由图易知函数的单调递增区间是













0，

1

2

.

变式

1

、（

2019

·河北石家庄二中模拟）函数

f(x)

＝

|x2－

3x

＋

2|

的单调递增区间是

()

A.







3

2

，＋

∞

B.







1

，

3

2

和

[2

，＋

∞)

C

．

(

－

∞

，

1]

和







3

2

，

2

D.







－

∞

，

3

2

和

[2

，＋

∞)

【答案】

B

【解析】

y

＝

|x2－

3x

＋

2|=









x2－

3x

＋

2

，

x≤1

或

x≥2

，

－

x2－

3x

＋

2

，

1

＜

x

＜

2.

如图所示，函数的单调递增区间是







1

，

3

2

和

[2

，＋

∞)

．

变式

2

、函数

f(x)

＝

x

＋

1

2x

＋

1

的单调减区间为

________________

．

【答案】







－∞，－

1

2，







－

1

2

，＋∞

【解析】因为

f(x)

＝

x

＋

1

2x

＋

1

＝

x

＋

1

2

＋

1

2

2x

＋

1

＝

1

2

＋

1

4







x

＋

1

2

，且定义域为













x|x

≠－

1

2，

所以函数f(x)的单调减区间为

(

－∞，－

1

2

)

，

(

－

1

2

，＋∞

)

．

方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见

函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：

(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域；

(2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解

考向三复合函数的单调区间

例

3

、求下列函数的单调区间

(1)f(x)

＝

x2－

2x

－

3

；

（

2

）

2

1

2

log(32)yxx

【解析】(2)f(x)＝x2－2x－3的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．令t＝x2－2x－3，

∵t＝x2－12x－3在x∈(－∞，－1]上是减函数，在x∈[3，＋∞)为增函数，又y＝t在t∈(0，＋∞)

上是增函数，∴函数f(x)＝x2－2x－3的单调减区间是(－∞，－1]，单调递增区间是[3，＋∞)．

(2)令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看成1

2

logyu

与u＝x2－3x＋2的复合函数．

由x2－3x＋2＞0，解得x＜1或x＞2.

∴函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．

又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝

3

2

，且开口向上．

∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．

而1

2

logyu

在(0，＋∞)上是减函数，∴的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区

间为(－∞，1)．

变式

1

、函数

f(x)

＝

log

1

2

(x2－

4)

的单调递增区间为（）

A

．,0

B

．2,

C

．0,

D

．,2

【答案】

D

【解析】根据复合函数的单调性判断．

因为

y

＝

log

1

2

t

在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数

t

＝

x2－

4

的单调递减区间，结

合函数的定义域，可知所求区间为

(

－

∞

，－

2)

．

变式2、函数f(x)＝2x－x2的单调递增区间为()

A.











－∞，

1

2

B.











0，

1

2

C.









1

2

，＋∞

D.









1

2

，1

【答案】B

【解析】令t＝x－x2，由x－x2≥0，得0≤x≤1，故函数的定义域为[0，1]．因为g(t)＝2t是增函数，所

以f(x)的单调递增区间即t＝x－x2的单调递增区间．利用二次函数的性质，得t＝x－x2的单调递增区间

为











0，

1

2

，即原函数的单调递增区间为











0，

1

2

.故选B.

方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合

而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。

考向四函数单调性中的含参问题

例

4

、已知函数

f(x)

＝









（

1

－

2a

）

x

＋

3a

，

x

＜

1

，

2x－1，

x

≥

1

的值域为

R

，则实数

a

的取值范围是

________

．

【答案】











0，

1

2

【解析】：当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，

2

1

2

log(32)yxx

2

1

2

log(32)yxx

∵函数f(x)＝









（1－2a）x＋3a，x＜1，

2x－1，x≥1

的值域为R，

∴当x＜1时，(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1)内的所有实数，

则









1－2a＞0，

1－2a＋3a≥1，

解得0≤a＜

1

2

.

变式1、如果函数

f(x)

＝









（

2

－

a

）

x

＋

1

，

x<1

，

ax，

x

≥

1

满足对任意

x

1≠

x

2，都有

f

（

x

1）－

f

（

x

2）

x

1－

x

2

>0

成立，那么

a

的

取值范围是

________.

【答案】









3

2

，2

【解析】对任意x1

≠x2

，都有

f（x1

）－f（x2

）

x1

－x2

>0，

所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.

所以









2－a>0，

a>1，

（2－a）×1＋1≤a，

解得

3

2

≤a<2.

故实数a的取值范围是









3

2

，2

.

变式

2

、设函数

f(x)

＝

ax

＋

1

x

＋

2a

在区间

(

－

2

，＋

∞)

上是增函数，那么

a

可能的值为

()

A

．－

2B

．

0C

．

1D

．

2

【答案】

CD

【解析】

f(x)

＝

ax

＋

2a2－

2a2＋

1

x

＋

2a

＝

a

－

2a2－

1

x

＋

2a

，∵函数

f(x)

在区间

(

－

2

，＋

∞)

上是增函数，

∴









2a2－

1>0

，

－

2a≤

－

2

，

即









2a2－

1>0

，

a≥1

，

即

a≥1.

例5、(2019·安徽皖南八校第三次联考)已知函数

f(x)

＝









log

2（

x

＋

1

），

x

≥

1

，

1

，

x

＜

1

，

则满足

f(2x

＋

1)

＜

f(3x

－

2)

的

实数

x

的取值范围是

()

A

．

(

－∞，

0]B

．

(3

，＋∞

)

C

．

[1

，

3)D

．

(0

，

1)

【答案】B

【解析】法一：由f(x)＝









log2

（x＋1），x≥1，

1，x＜1

可得当x＜1时，f(x)＝1，当x≥1时，函数f(x)

在[1，＋∞)上单调递增，且f(1)＝log

2

2＝1，

要使得f(2x＋1)＜f(3x－2)，则









2x＋1＜3x－2，

3x－2＞1，

解得x＞3，

即不等式f(2x＋1)＜f(3x－2)的解集为(3，＋∞)，故选B.

法二：当x≥1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(x)≥f(1)＝1，要使f(2x＋1)＜f(3x－2)

成立，需









2x＋1≥1，

2x＋1＜3x－2

或









2x＋1＜1，

3x－2＞1，

解得x＞3.故选B.

变式

1

、（

2020

届山东师范大学附中高三月考）已知函数

()fx

是定义在R上的奇函数，当

12

xx

时，有

1212

[()()]()0fxfxxx

恒成立，若

(31)(2)0fxf

，则

x

的取值范围是

________

．

【答案】

(,1)

【解析】

根据已知条件：当

12

xx

时，有

1212

[()()]()0fxfxxx

恒成立，得函数

()fx

是定义在R上的减函数，

又因为函数

()fx

是定义在R上的奇函数，所以

(2)(2)ff

，故

(31)(2)0fxf

等价于

(31)(2)(2)fxff

，

所以312x，即

1x.

故答案为：,1

.

变式

2

、已知函数

f(x)

为R上的减函数，则满足

f















1

x

的实数

x

的取值范围是

()

A

．

(

－

1

，

1)B

．

(0

，

1)

C

．

(

－

1

，

0)

∪

(0

，

1)D

．

(

－∞，－

1)

∪

(1

，＋∞

)

【答案】C

【解析】(1)由f(x)为R上的减函数且f























1

x

得





















1

x

>1，

x≠0，

即









|x|<1，

x≠0.

所以－1

方法总结：:1.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”.

2.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或

先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.

1

、

(2015

北京

)

下列函数中，定义域是R且为增函数的是

A

．xyeB

．3yxC

．

lnyx

D

．

yx

【答案】

B

【解析】四个函数的图象如下

显然

B

成立．

2

、（

2017

北京）已知函数

1

()3()

3

xxfx

，则

()fx

A

．是奇函数，且在

R

上是增函数

B

．是偶函数，且在

R

上是增函数

C

．是奇函数，且在

R

上是减函数

D

．是偶函数，且在

R

上是减函数

【答案】

A

【解析】

11

()3()(3())()

33

xxxxfxfx

，得

()fx

为奇函数，

()(33)3ln33ln30xxxxfx

，所以

()fx

在

R

上是增函数．选

A

．

3

、（

2019

北京理

13

）设函数

(a

为常数

)

，若为奇函数，则

a=______

；若是

上的增函数，则

a

的取值范围是

________

．

【答案】

【解析】①根据题意，函数，若为奇函数，则，即

，所以对恒成立．又，所以

．②函数，导数．若是上的增函数，则

的导数在上恒成立，即恒成立，而，所以

a≤0

，即

a

的取

值范围为．

4

、

(2018

北京

)

能说明

“

若

()(0)fxf

对任意的

(0,2]x

都成立，则

()fx

在

[0,2]

上是增函数

”

为假命题的

一个函数是

__________

．

【答案】

sinyx

（不答案不唯一）

【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足

()(0)fxf

对任意的

(0,2]x

都成立，且函数

()fx

在

[0,2]

上不是增函数即可，如，

()sinfxx

，答案不唯一．

x

y

y=e-x

O

x

y

y=x3

O

x

y

y=lnx

O

y

y=|x|

O

()exxfxea

()fx()fx

R

0]（，

eexxfxa（）

fx（）fxfx（）（）

=eeeexxxxaa（）

+1ee0xxa

xR

ee0xx

10,1aa

eexxfxa（）eexxfxa（）fx

R

fx

e0exxfxa（）R2exa2e>0x

0]（，

5

、（

2017

山东）若函数e()xfx(e=2

．

71828

，是自然对数的底数

)

在

()fx

的定义域上单调递增，则称函

数

()fx

具有M性质，下列函数中具有M性质的是

①()2xfx②()3xfx③3()fxx④2()2fxx

【答案】①④

【解析】①

()2()

2

xxxx

e

efxe

在R上单调递增，故()2xfx具有性质；

②

()3()

3

xxxx

e

efxe

在R上单调递减，故()3xfx不具有性质；

③3()xxefxex，令3()xgxex，则322()3(2)xxxgxexexxex



，

当2x时，0gx





，当2x时，0gx





，

3()xxefxex在,2

上单调递减，在2,

上单调递增，

故3fxx

不具有性质；

④2()(2)xxefxex，令22xgxex

，

则22()(2)2[(1)1]0xxxgxexexex



，

2()(2)xxefxex在R上单调递增，故2()2fxx具有性质．

6

、

(2012

安徽

)

若函数

()|2|fxxa

的单调递增区间是

),3[

，则

a

=________

．

【答案】6

【解析】由

2

2

()

2

2

a

xax

fx

a

xax





















可知

()fx

的单调递增区间为

[,)

2

a



，故

36

2

a

a

．

7

、已知

f(x)

＝

x

x

－

a

(x

≠

a)

．

(1)

若

a

＝－

2

，试证

f(x)

在

(

－∞，－

2)

内单调递增；

(2)

若

a

＞

0

且

f(x)

在

(1

，＋∞

)

内单调递减，求

a

的取值范围．

【解析】：(1)证明：当a＝－2时，f(x)＝

x

x＋2

.

任取x1

，x2

∈(－∞，－2)，且x1

＜x2

，

则f(x1

)－f(x2

)＝

x1

x1

＋2

－

x2

x2

＋2

＝

2（x1

－x2

）

（x1

＋2）（x2

＋2）

.

因为(x1

＋2)(x2

＋2)＞0，x1

－x2

＜0，

所以f(x1

)－f(x2

)＜0，即f(x1

)＜f(x2

)，

所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增．

(2)任取x1

，x2

∈(1，＋∞)，且x1

＜x2

，

则f(x1

)－f(x2

)＝

x1

x1

－a

－

x2

x2

－a

＝

a（x2

－x1

）

（x1

－a）（x2

－a）

.

因为a＞0，x2

－x1

＞0，又由题意知f(x1

)－f(x2

)＞0，

所以(x1

－a)(x2

－a)＞0恒成立，所以a≤1.

所以0＜a≤1.

所以a的取值范围为(0，1]．