根号x分之一的导数
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2023年2月15日发(作者：学校消毒记录表)学必求其心得，业必贵于专精
1.
导数的概念
(1)定义
如果函数y＝f（x）的自变量x在x
0
处有增量Δx，那么函数y相应地
有增量Δy＝f(x
0
＋Δx）－f(x
0
)，比值错误!就叫函数y＝f(x）从x
0
到x
0
＋Δx之间的平均变化率，即错误!＝错误!.如果当Δx→0时，错误!有极
限，我们就说函数y＝f（x）在点x
0
处，并把这个极限叫做
f（x）在点x
0
处的导数，记作或y′
0
|
xx,即f′(x
0
)＝
0
lim
x
错误!＝
0
lim
x
错误!.
（2）导函数
当x变化时，f′（x)便是x的一个函数,我们称它为f（x）的导函
数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x）＝y′＝
0
lim
x
f(x＋Δx）－f（x)
Δx
。
（3)求函数y＝f(x）在点x
0
处导数的方法
①求函数的增量Δy＝；
②求平均变化率错误!＝；
③取极限,得导数f′(x
0
）＝
0
lim
x
错误!.
2。导数的意义
学必求其心得，业必贵于专精
(1)几何意义
函数y＝f（x)在点x
0
处的导数的几何意义，就是曲线y＝f（x）在
点P(x
0
，f(x
0
）)处的切线的斜率。也就是说,曲线y＝f（x）在点P(x
0
，
f(x
0
）)处的切线的斜率是。相应的切线方程为.
（2)物理意义
函数S＝s(t)在点t
0
处的导数s′（t
0
)，就是当物体的运动方程为S
＝s（t)时，物体运动在t
0
时刻的瞬时速度v，即。设v
＝v(t）是速度函数，则v′（t
0
)表示物体在t＝t
0
时刻
的。
3。基本初等函数的导数公式
(1)c′＝（c为常数），
（xα）′＝（α∈Q＊）；
（2)（sinx）′＝______________，
(cosx）′＝;
(3)(lnx）′＝，
(log
a
x）′＝;
（4）（ex）′＝，（ax)′＝。
4.导数运算法则
(1)′＝。
学必求其心得，业必贵于专精
（2）′＝；
当g(x)＝c(c为常数)时，即′＝。
(3）错误!′＝(g(x）≠0）.
5。复合函数的导数
复合函数y＝f（g（x))的导数和函数y＝f（u)，u＝g（x)的导数间的
关系为。即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的
导数的乘积。
【答案】
1。（1）可导f′（x
0
）
(3)①f(x
0
＋Δx)－f（x
0
）②错误!
2.(1)f′(x
0
）y－y
0
＝f′(x
0
）(x－x
0
)
(2）v＝s′（t
0
）加速度
3.（1）0αxα－1（2)cosx－sinx（3)错误!错误!
（4）exaxlna
4.（1）f′（x)±g′(x)（2）f′（x）g(x）＋f（x）g′(x)cf′
（x）
（3）错误!
5.y
x
′＝y′
u
·u′
x
【基础自测】
学必求其心得，业必贵于专精
1函数f（x)＝1的导函数是（）
A．y＝0B．y＝1C．不存在D．不确定
2函数f（x）＝a3＋5a2x2的导数f′（x)＝（）
A．3a2＋10ax2B．3a2＋10ax2＋10a2x
C．10a2xD．以上都不对
解:f′（x)＝10a2x.故选C。
3曲线y＝ex在点A(0，1）处的切线斜率为(）
A．1B．2C．eD.错误!
解：y′＝ex，y′|
x＝0
＝1，故选A.
4曲线y＝x3－x＋3在点(1，3)处的切线方程为.
解:y′＝3x2－1,当x＝1时，y′＝2，此时切线斜率k＝2，故切线
方程为y－3＝2(x－1),即2x－y＋1＝0。故填2x－y＋1＝0。
5物体的运动方程是s＝－错误!t3＋2t2－5，则物体在t＝3时的瞬时
速度为.
解：v(t）＝s′(t）＝－t2＋4t，t＝3时，v＝3，故填3。
【典例】
类型一导数的概念
例一(x）为可导函数，当x趋近于0时,错误!趋近于－1，则过曲线y
学必求其心得，业必贵于专精
＝f（x）上点(1，f(1）)处的切线斜率为(）
A．2B．－1C．1D．－2
解:错误!＝错误!，当x趋近于0时，－2x也趋近于0，∴y′|
x＝1
＝－
1，所以y＝f（x)在点(1,f（1)）处的切线斜率为－1。故选B。
【评析】本题利用导数定义求导数，将“表达式”变形为导数的
“定义式”的标准形式是关键，这里要找准增量Δx＝－
2x.“y′｜
x＝1
”是指曲线在x＝1处的切线斜率．
变式已知f′（0）＝2，则h趋近于0时，错误!趋近于.
类型二导数的几何意义
例二已知曲线y＝错误!x3＋错误!。
(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程；
(2)求曲线在点P(2，4）处的切线方程；
（3)求曲线过点P(2，4）的切线方程。
解：(1）设切点为(x
0
,y
0
），故切线的斜率为k＝x错误!＝1,解得x
0
＝
±1，故切点为错误!，（－1，1)．
学必求其心得，业必贵于专精
故所求切线方程为y－错误!＝x－1和y－1＝x＋1，
(3)设曲线y＝错误!x3＋错误!与过点P(2，4）的切线相切于点A错误!，又
∵切线的斜率k＝y′｜x＝x
0
＝x错误!,
∴切线方程为y－错误!＝x错误!(x－x
0
)，
即y＝x错误!x－错误!x错误!＋错误!。
∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2x错误!－错误!x错误!＋错误!,
即x错误!－3x错误!＋4＝0，∴x错误!＋x错误!－4x错误!＋4＝0，
∴x错误!(x
0
＋1）－4（x
0
＋1)(x
0
－1)＝0,
∴（x
0
＋1)(x
0
－2)2＝0,解得x
0
＝－1或x
0
＝2，
故所求的切线方程为
4x－y－4＝0或x－y＋2＝0。
【评析】曲线切线方程的求法:
(1)以曲线上的点(x
0
，f（x
0
))为切点的切线方程的求解步骤:
①求出函数f(x)的导数f′（x）；
②求切线的斜率f′(x
0
）；
③写出切线方程y－f（x
0
）＝f′（x
0
）（x－x
0
)，并化简．
学必求其心得，业必贵于专精
（2)如果已知点（x
1
，y
1
）不在曲线上，则设出切点(x
0
，y
0
），解方
程组错误!得切点(x
0
，y
0
)，进而确定切线方程．
注意：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程,即
是否在曲线上。②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的
切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个。
变式已知函数f（x）＝x3＋x－16。
(1)求满足斜率为4的曲线的切线方程；
(2)求曲线y＝f（x）在点（2,－6）处的切线的方程；
(3）直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程。
解：(1)设切点坐标为(x
0
，y
0
），
∵f′(x
0
)＝3x错误!＋1＝4，∴x
0
＝±1,
∴错误!或错误!
∴切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14.
学必求其心得，业必贵于专精
整理得x
0
＝－2，
∴斜率k＝13.
∴直线l的方程为y＝13x。
解法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x
0
，y
0
)，
则斜率k＝错误!＝错误!，
又∵k＝f′（x
0
)＝3x错误!＋1，
∴错误!＝3x错误!＋1,解得x
0
＝－2,
∴k＝13.
∴直线l的方程为y＝13x。
类型三求导运算
例三求下列函数的导数:
(1）y＝5x2－4x＋1；
（2)y＝(2x2－1）(3x＋1）；
（3）y＝sin（πx＋φ)(其中φ为常数)；
（4)y＝
x＋3
x＋2
（x≠－2）。
解：（1)y′＝10x－4;
(2)y′＝4x·(3x＋1)＋(2x2－1）·3＝18x2＋4x－3；
(3)y′＝cos（πx＋φ)·(πx＋φ)′＝πcos（πx＋φ)；
学必求其心得，业必贵于专精
（4)y′＝错误!′＝－错误!.
【评析】求导运算，一是熟记公式及运算法则，二是掌握求复合函
数导数的步骤，遵从“由外到内”的原则，三是要注意在求导前
对可以化简或变形的式子进行化简或变形，从而使求导运算更简
单．
变式求下列函数的导数：
（1）y＝(x＋1）(x＋2)；
(2）y＝错误!（x≠0)；
(3）y＝cos2x；
（4）y＝ln错误!（x＞－1)。
【名师点睛】
1.弄清“函数在一点x
0
处的导数”“导函数"“导数”的区别与联
学必求其心得，业必贵于专精
系
（1)函数在一点x
0
处的导数f′（x
0
）是一个常数,不是变量；
(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x而言的。
函数f（x）在区间（a，b)内每一点都可导,是指对于区间（a，b）
内的每一个确定的值x
0
,都对应着一个确定的导数f′(x
0
），根据函
数的定义,在开区间(a,b)内就构成了一个新的函数，也就是函数f（x)
的导函数f′(x）;
(3）函数y＝f(x)在点x
0
处的导数f′（x
0
）就是导函数f′（x)在点
x＝x
0
处的函数值.
2。求函数y＝f（x）在x＝x
0
处的导数f′（x
0
)通常有以下两种方
法
（1)利用导数的定义：即求
0
lim
x
错误!的值;
(2)利用导函数的函数值：先求函数y＝f(x）在开区间(a，b)内的导函
数f′（x），再将x
0
（x
0
∈（a，b))代入导函数f′（x),得f′(x
0
）。
3。求曲线在某一点处的切线方程时，可以先求函数在该点的导
数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程.
如果切点未知，要先求出切点坐标.
4.在导数与切线斜率的对应关系中体会数形结合的思想方法.
学必求其心得，业必贵于专精
【针对训练】
1。函数f(x)＝x3＋sin2x的导数f′（x）＝(）
A．x2＋cos2xB．3x2＋cos2x
C．x2＋2cos2xD．3x2＋2cos2x
解：f′（x）＝3x2＋(2x）′cos2x＝3x2＋2cos2x。故选D。
2.已知f（x)＝（x－2）（x－3），则f′（2）的值为()
A．0B．－1C．－2D．－3
解：∵f′（x)＝（x－3）＋（x－2)＝2x－5,∴f′（2）＝
－1.故选B。
3。曲线y＝x3＋11在点P（1,12）处的切线与y轴交点的纵坐标是
（）
A．－9B．－3C．9D．15
解:由y′|
x＝1
＝3，得在点P(1，12)处的切线方程为3x－y＋9＝0，
令x＝0，得y＝9，故选C.
4。若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x）＞0的解集为（）
A．（0,＋∞）B．（－1,0)∪(2,＋∞）
C．（2,＋∞）D．（－1，0)
5.若曲线y＝x2＋ax＋b在点（0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则
学必求其心得，业必贵于专精
(）
A．a＝1,b＝1B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1
解：∵y′＝2x＋a，∴y′｜
x＝0
＝a，∴a＝1.∵(0，b）在切线x－y
＋1＝0上，∴b＝1，故选A。
6。已知点P在曲线y＝错误!上,则曲线在点（0，f（0）)处的切线的
斜率是（)
A．2B．1C．0D．－1
解：∵y′＝错误!
＝－错误!,
∴y′|
x＝0
＝－错误!＝－1。故选D。
7.曲线y＝x3＋x－2的一条切线平行于直线y＝4x－1，则切点P
0
的
坐标是________________。
解：∵y′＝3x2＋1,又∵3x2＋1＝4，解得x＝±1。∴切点P
0
的坐
标为（1,0）或（－1，－4)．故填（1，0)或（－1,－4)．
8.（错误!)设函数f（x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex）＝x＋ex，则f′(1）
＝________。
解:令ex＝t,则x＝lnt。∵f(ex）＝x＋ex，∴f（t）＝lnt＋t，∴f′（t)
＝错误!＋1，∴f′（1)＝1＋1＝2。故填2。
学必求其心得，业必贵于专精
9。求函数f（x）＝x3－4x＋4图象上斜率为－1的切线的方程。
解：设切点坐标为（x
0
，y
0
），
∵f′（x
0
）＝3x2
0
－4＝－1，∴x
0
＝±1。
∴切点为(1，1）或（－1，7)．
切线方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0。
10.设函数f（x）＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，
a，b为常数。已知曲线y＝f(x)与y＝g(x）在点（2，0)处有相同的切
线l，求a，b的值，并写出切线l的方程.
解：f′（x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3，由于曲线y＝f(x)与y
＝g(x)在点（2，0）处有相同的切线，故有f(2）＝g（2)＝0，f′（2）
＝g′(2)＝1,由此解得a＝－2，b＝5。从而切线l的方程为x－y－2
＝0。
11。设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x）＝2x2。
（1)求x＜0时，f(x)的表达式；
(2）令g(x)＝lnx,问是否存在x
0
，使得f（x)，g（x）在x＝x
0
处的切
线互相平行？若存在,求出x
0
的值;若不存在，请说明理由.
（2)若f（x),g(x)在x
0
处的切线互相平行，则f′（x
0
)＝g′(x
0
），
学必求其心得，业必贵于专精
当x
0
〉0时，f′(x
0
)＝4x
0
＝g′(x
0
)＝错误!，解得x
0
＝错误!.故存在x
0
＝错误!满足条件．
12已知函数f（x)＝x－1＋错误!（a∈R，e为自然对数的底数).
(1）若曲线y＝f（x)在点（1，f（1)）处的切线平行于x轴，求a的
值；
（2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直
线方程。
解：（1）f′（x)＝1－错误!，因为曲线y＝f(x)在点(1，f（1)）处的
切线平行于x轴，所以f′（1)＝1－错误!＝0，解得a＝e。
(2）当a＝1时,f(x)＝x－1＋错误!，f′（x)＝1－错误!.
设切点为（x
0
，y
0
），
∵f(x
0
）＝x
0
－1＋
0e
1
x
＝kx
0
－1，①
f′(x
0
)＝1－
0e
1
x
＝k，②
①＋②得x
0
＝kx
0
－1＋k,即(k－1)（x
0
＋1)＝0。
若k＝1，则②式无解，∴x
0
＝－1,k＝1－e。
∴l的直线方程为y＝（1－e）x－1.