单位法向量

单位法向量

-新年乐陶陶

2023年2月15日发(作者：负强化和惩罚的区别)

弧长与单位切向量

1.弧长L=∫|v|dt

即弧长是速率对时间的积分，为⼀标量。对应的，位置向量r是个向量（这话怎么这么饶⾆……）。

2.单位切向量T=v/|v|，表⽰运动⽅向。

3.T=v/|v|=dr/ds

运动⽅向=单位切向量=位置变化/弧长变化

4.曲率κ=|dT/ds|

T表⽰的是运动⽅向，因此|ΔT/Δs|就表⽰运动⽅向的变化量与弧长变化量的⽐例关系，也就是曲率。在同样的弧长变化量下，运动⽅向变

化越剧烈，κ越⼤，弯曲越厉害。

κ=|dT/dt|/|v|

直观上看，ds=|v|dt，因此κ=|dT/ds|=(1/|v|)|dT/dt|

5.单位法向量N=(1/κ)(dT/ds)=(dT/dt)/|dT/dt|

T是表⽰运动⽅向的单位切向量，于是dT/dt表⽰运动⽅向的变化。T为单位向量（长度总为1），因此dT/dt垂直于T（定长向量垂直于其导

数）。单位化后即得到N。

6.r、v、T和N的关系总结

v=dr/dt，归⼀化后得到T；

（⾮单位）法向量=dT/dt，归⼀化后得到N。