点到平面距离
-施舜
2023年2月15日发(作者：悠然自得造句)求点到平面距离的基本方法（总
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求点到平面距离的基本方法
北京农大附中闫小川
求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热点，也是
同学学习中的一个难点.本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出求
点到平面的距离的几种基本方法.
例(2005年福建高考题)如图1,直二面角D-AB-E中，四边形
ABCD是边长为2的正方形，AE=EB,F为C£上的点，且BF丄平面ACE.
(I)求证：AE丄平面〃CE；
(II)求二面角B-AC-E的大小；
(III)求点D到平面ACE的距离.
(I)、(II)解略,(川)解如下:
一、直接法
利用两个平面垂直，直接作出点到平面的距离.如图
丄4^门0=/,AM丄/贝JAM丄为点A到平面Q的距离.
解：如图3,过点A作AG2EC、连结DG、CG,则平面ADG〃平面
BCE,
・・•平面BCE丄平面ACE,
・•・平面ADG丄平面ACEf
作丄AG,垂足为H,则丄平面ACE.
・•・DH是点D到平面ACE的距离.
图3
-X平行线法
如图〃匕B为/上任意一点，AM丄［射丄匕则AM=BN.点、A
到平面G的距离转化为平行于平面G的直线/到平面G的距离，再转化为直线/上
任意一点B到平面G的距离.
CEV6
解：如图5,过点D作DM纟AE,连结CM,则DM〃平面ACE,
点D到平面ACE的距离转化为直线DM到平面ACE的距离，再转化为点M
到平面ACE的距离.
作MN丄CE,垂足为N,
•・•平面CEM丄平面ACE,
・・・MN丄平面ACE,
・•・MN是点M到平面ACE的距离.
三.斜线法
利用平面的斜线及三角形相似,转化为求斜线上的点到平面的距离.如图6、
AQ
7,ircx=Ot
AM丄tz,3N丄g若——=f，则AM=t・BN点A到平面a
的距离转化为求直线/上的点B到平面&的距离.
图4
在Rt^CEM中,
图5
图6
解：如图&3D与AC的交点为0,即
BDCI平面ACE=Q,
•••DQ=BQ,
•••点D到平面ACE的距离与点B到平面ACE的距离相等.
平面BCE丄平面ACE,BF丄平面ACE,
•••BF是点B到平面ACE的距离.
在胺叱孔BF=匹空=込巫.
CEV63
四.线面角法
如图9,OP为平面&的一条斜线，AeOP,OA=l,OP与&所成的角为
力A到平面G的距离为d,则由斜线和平面所成的角的定义可知，有
d=IsinO.
经过op与G垂直的平面与a相交，交线与OP所成的锐角就是OP与Q所成
的角力这里并不强求要作出A在&上的射影3,连结03得久
图9
解：如图10,•••3F丄平面ACE,
・•・平面丄平面ACE.
ZBQF为DQ与平面ACE所成的角为乞则点D到平面ACE的距离d=DQsinO.
由（II）知二面角B-AC-E的正弦值为孚，得sin&=
D到平面ACE的距离（1=屁0=洋.
B
ffllO
五.二面角法
如图11,«n/7=/
t
Q、0所成二面角的大小为力A已卩、丄/,
AB=a,点A至Ij平面a的距离AO=d,则有d=asin&.&也就是二面角的大小，而
不强求作岀经过AB的二面角的平面角.
图11
解:如图12,•・•平面ACDn平面ACE=ACfDQu平面ACD,DQ丄AC,设二面
角Q-AC-E的大小为贝IJ点Q到平面ACE的距离d=D（2sin&・
由（II）知二面角B-AC-E的正弦值为［，得sin&={.
D到平面ACE的距离=血x竺=少•
图］2
六.体积法
解：如图13,过点E作EO丄A3交AB于点OyOE=.
・・•二面角D—AB—E为直二面角,
・・・EO丄平面ABCD・
设D到平面ACE的距离为h,*•*^D-ACE=^E-ACD，：.^SMCE-h=^SMCDEO.
••・AE丄平面BCE,
・・・AE丄EC・
-ADDCEO丄x2x2xl只
•••h=J--------=f----------------=三二
-AEEC-xV2x^
22
•••点D到平面ACE的距离为孚.
七.向量法
解：如图14,以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为X轴，A3所在
直线为V轴，过0点平行于AD的直线为Z轴，建立空间直角坐标系O-Q乙
・・・AE丄平面BCE,BEu平面BCE,
・•・AE丄BE,
在R/AAEB中,AB=2Q为AB的中点，
・・・OE=,
AEn=
ACn=0,
；V+y
=0,
解得
y=-x,z
=x.
・・・A(O,7O),£(1,O,O),C((U2)・
AE=(1,1,O),4C=(O22)・
设平面ACE的一个法向量为〃=
令x=Mn=(1,-1,1)是平面ACE的一个法向量.
ADzAD=2AD=(0,0,2)ACEd=ADcos1==_L=—
InIv33
练习：
如图15,已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是A3、AQ的中点，
GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2,求点B到平面£7"的距离•(答
图14
EB