金陵汇文
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2023年2月12日发(作者：)2018-2019学年七年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共6小题）
1．的相反数是（）
A．﹣3B．3C．D．
2．下列各题中合并同类项，结果正确的是（）
A．3a+2b＝5abB．4x2y﹣2xy2＝2xy
C．7a+a＝7a2D．5y2﹣3y2＝2y2
3．如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数为﹣2，那么点B表示的数是（）
A．﹣1B．0C．3D．4
4．某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，
那么比计划少7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
5．下列说法错误的是（）
A．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点之间的所有连线中，线段最短
D．如果a∥b，b∥c，那么a∥c
6．如图，在一个8×8的方格棋盘的A格里放了一枚棋子，如果规定棋子每步只能向上、
下或向左、右走一格，那么这枚棋子走如下的步数后能到达B格的是（）
A．7B．14C．21D．28
二．填空题（共10小题）
7．单项式﹣a2b系数是，次数是．
8．计算﹣5﹣9＝；＝．
9．比较大小：﹣π+1﹣3．
10．在数轴上，与﹣3表示的点相距4个单位的点所对应的数是．
11．从南京市统计局获悉，到2018年底，南京市的常住人口达到821.61万人，该数据用
科学记数法可以表示为人．
12．已知∠α＝30°24\'，则∠α的补角是．
13．如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，若∠BOD＝64°，则∠AOC
＝．
14．长方形的周长为20cm，它的宽为xcm，那么它的面积为．
15．某商店在进价的基础上提高50元作零售价销售，商店又以8折（即售价的80%）的价
格开展促销活动，这时一件商品所获利润为20元，则该商品进价为元．
16．如图，在同一平面内，两条直线相交有2对对顶角，三条直线相交有6对对顶角……，
照此规律，n条直线相交一共有对对顶角．
三．解答题（共10小题）
17．计算：
（1）
（2）﹣24﹣（﹣2）3÷
18．先化简，再求值（a2b+ab2）﹣2（a2b﹣1）﹣2ab2﹣2．其中a＝﹣2，b＝2．
19．解方程：
（1）3（x﹣4）＝12；
（2）
20．如图，方格纸中有一条直线AB和一格点P，
（1）过点P画直线PM∥AB；
（2）在直线AB上找一点N，使得AN+PN+BN距离和最小．
21．如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝8cm，BD＝1cm，
（1）求AC的长；
（2）若点E在直线AD上，且EA＝2cm，求BE的长．
22．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°，OF⊥CD．
（1）写出图中互余的角；
（2）求∠EOF的度数．
23．整理一批图书，甲、乙两人单独做分别需要6h、9h完成．现在先由甲单独做1h，然后
两人合作完成．甲、乙两人合作整理这批图书用了多少时间？
24．如图，已知∠AOB，OC⊥OA，画射线OD⊥OB．试写出∠AOB和∠COD大小关系，并说明
理由．
25．A、B两地相距360km，甲、乙两车分别沿同一条路线从A地出发驶往B地，已知甲车
的速度为60km/h，乙车的速度为90km/h，甲车先出发1h后乙车再出发，乙车到达B地
后在原地等甲车．
（1）求乙车出发多长时间追上甲车？
（2）求乙车出发多长时间与甲车相距50km？
26．【理解新知】
如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若
这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“2倍角线”．
（1）角的平分线这个角的“2倍角线”；（填“是”或“不是”）
（2）若∠AOB＝90°，射线OC为∠AOB的”2倍角线”，则∠AOC＝．
【解决问题】
如图②，已知∠AOB＝60°，射线OP从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转；
射线OQ从OB出发，以每秒10°的速度绕O点顺时针旋转，射线OP、OQ同时出发，当
一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，设运动的时间为t（s）．
（3）当射线OP、OQ旋转到同一条直线上时，求t的值；
（4）若OA、OP、OQ三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“2倍角
线”，直接写出所有可能的值．（本中所研究的角都是小于等于180°的角．）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．的相反数是（）
A．﹣3B．3C．D．
【分析】求一个数的相反数，即在这个数的前面加负号．
【解答】解：根据相反数的定义，得的相反数是．
故选：D．
2．下列各题中合并同类项，结果正确的是（）
A．3a+2b＝5abB．4x2y﹣2xy2＝2xy
C．7a+a＝7a2D．5y2﹣3y2＝2y2
【分析】根据合并同类项的法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝3a+2b，故A错误；
（B）原式＝4x2y﹣2xy2，故B错误；
（C）原式＝8a，故C错误；
故选：D．
3．如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数为﹣2，那么点B表示的数是（）
A．﹣1B．0C．3D．4
【分析】根据数轴的单位长度为1，点B在点A的右侧距离点A5个单位长度，直接计算
即可．
【解答】解：点B在点A的右侧距离点A5个单位长度，
∴点B表示的数为：﹣2+5＝3，
故选：C．
4．某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，
那么比计划少7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】设计划做x个“中国结”，根据每人做6个，那么比计划多做了9个，每人做4
个，那么比计划少7个，列方程即可．
【解答】解：设计划做x个“中国结”，
由题意得，＝．
故选：A．
5．下列说法错误的是（）
A．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点之间的所有连线中，线段最短
D．如果a∥b，b∥c，那么a∥c
【分析】根据平行公理及推理，平行线的判定以及线段的性质判断．
【解答】解：A、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本
选项说法错误．
B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项说法正确．
C、两点之间的所有连线中，线段最短，故本选项说法正确．
D、根据平行公理知，如果a∥b，b∥c，那么a∥c，故本选项说法正确．
故选：A．
6．如图，在一个8×8的方格棋盘的A格里放了一枚棋子，如果规定棋子每步只能向上、
下或向左、右走一格，那么这枚棋子走如下的步数后能到达B格的是（）
A．7B．14C．21D．28
【分析】将棋子走的步数分为奇数步和偶数步．分类讨论并验证即可．
【解答】解：将棋子走的步数分为奇数步和偶数步．
首先看A选项：7步，按照最近的路线即：左，上，左，上，左，上，左，上，上．也
要9步，故A错误；
观察到B，C，D三项都超过最小步数，且B，D为偶数，C为奇数，若选择答案B，即也
可选择答案D，
故按照逆向思维，只能选择奇数步的C．再验证可得结果正确．
故选：C．
二．填空题（共10小题）
7．单项式﹣a2b系数是﹣，次数是3．
【分析】利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的
和叫做单项式的次数，分别得出答案．
【解答】解：单项式﹣a2b系数是：﹣，次数是：3．
故答案为：﹣，3．
8．计算﹣5﹣9＝﹣14；＝﹣．
【分析】原式利用减法法则，以及除法法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣14；原式＝﹣×＝﹣，
故答案为：﹣14；﹣
9．比较大小：﹣π+1＞﹣3．
【分析】先比较π与4的大小，再根据不等式的基本性质进行变形，再进一步比较即可．
【解答】解：∵π＜4
∴﹣π＞﹣4
∴﹣π+1＞﹣4+1
即：﹣π+1＞﹣3
故答案为“＞”．
10．在数轴上，与﹣3表示的点相距4个单位的点所对应的数是1或﹣7．
【分析】根据题意得出两种情况：当点在表示﹣3的点的左边时，当点在表示﹣3的点的
右边时，列出算式求出即可．
【解答】解：分为两种情况：①当点在表示﹣3的点的左边时，数为﹣3﹣4＝﹣7；
②当点在表示﹣3的点的右边时，数为﹣3+4＝1；
故答案为：1或﹣7．
11．从南京市统计局获悉，到2018年底，南京市的常住人口达到821.61万人，该数据用
科学记数法可以表示为8.2161×106人．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数
相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：821.61万＝8.2161×106，
故答案为：8.2161×106．
12．已知∠α＝30°24\'，则∠α的补角是149°36’．
【分析】根据补角的定义得出∠α的补角是180°﹣∠α，代入求出即可．
【解答】解：∠α＝30°24\'，
∴∠α的补角是180°﹣∠α＝180°﹣30°24\'＝179°60′﹣30°24′＝149°36′，
故答案为：149°36′．
13．如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，若∠BOD＝64°，则∠AOC＝
116°．
【分析】利用互余的定义得出∠AOD的度数，进而求出∠AOC的度数．
【解答】解：∵将一副三角板的直角顶点重合，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，
∵∠BOC＝64°，
∴∠AOD＝90°﹣64°＝26°，
∴∠AOC＝∠COD+∠AOD＝90°+26°＝116°．
故答案为：116°．
14．长方形的周长为20cm，它的宽为xcm，那么它的面积为x（10﹣x）cm2．
【分析】根据长方形的周长表示出长，再根据面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：长方形的长为20÷2﹣x＝10﹣x，
面积：x（10﹣x）cm2．
故答案为：x（10﹣x）cm2．
15．某商店在进价的基础上提高50元作零售价销售，商店又以8折（即售价的80%）的价
格开展促销活动，这时一件商品所获利润为20元，则该商品进价为100元．
【分析】设该商品进价为x元，则售价为（x+50）×80%，进一步利用售价﹣进价＝利润
列出方程解答即可．
【解答】解：设该商品进价为x元，由题意得
（x+50）×80%﹣x＝20
解得：x＝100
答：该商品进价为100元．
故答案为：100．
16．如图，在同一平面内，两条直线相交有2对对顶角，三条直线相交有6对对顶角……，
照此规律，n条直线相交一共有n（n﹣1）对对顶角．
【分析】分析不难发现，对顶角的对数等于直线的条数与比它小1的数的乘积．
【解答】解：2条直线相交有2对对顶角，2＝1×2，
3条直线两两相交有6对对顶角，6＝2×3，
4条直线两两相交有12对对顶角，12＝3×4，
…，
n条直线两两相交有n（n﹣1）对对顶角．
故答案为：n（n﹣1）．
三．解答题（共10小题）
17．计算：
（1）
（2）﹣24﹣（﹣2）3÷
【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可求出值；
（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝8﹣6+20＝22；
（2）原式＝﹣16﹣（﹣8）××9＝﹣16﹣（﹣27）＝﹣16+27＝11．
18．先化简，再求值（a2b+ab2）﹣2（a2b﹣1）﹣2ab2﹣2．其中a＝﹣2，b＝2．
【分析】先根据去括号法则或乘法分配律去括号，再合并，最后把a、b的值代入计算即
可．
【解答】解：原式＝a2b+ab2﹣2a2b+2﹣2ab2﹣2＝﹣a2b﹣ab2，
当a＝﹣2，b＝2时，原式＝﹣（﹣2）2×2﹣（﹣2）×22＝0．
19．解方程：
（1）3（x﹣4）＝12；
（2）
【分析】（1）两边除以4，再移项、合并即可得；
（2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：（1）x﹣4＝4，
x＝8．
（2）2（2x﹣1）＝（2x+1）﹣6，
4x﹣2＝2x+1﹣6，
4x﹣2x＝﹣5+2，
2x＝﹣3，
x＝﹣．
20．如图，方格纸中有一条直线AB和一格点P，
（1）过点P画直线PM∥AB；
（2）在直线AB上找一点N，使得AN+PN+BN距离和最小．
【分析】（1）利用过点P作出与AB平行的直线PM，平移线段AB即可得出所要直线；
（2）利用网格得出AB的垂线PN．
【解答】解；（1）如图所示：直线PM即为所求；
（2）如图所示：点N即为所求．
21．如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝8cm，BD＝1cm，
（1）求AC的长；
（2）若点E在直线AD上，且EA＝2cm，求BE的长．
【分析】点B为CD的中点，根据中点的定义，得到CD＝2BD，由BD＝1cm便可求得CD
的长度，然后再根据AC＝AD﹣CD，便可求出AC的长度；（2）中由于E在直线AD上位置
不明定，可分E在线段DA的延长线和线段AD上两种情况求解．
【解答】解：（1）∵点B为CD的中点，BD＝1cm，
∴CD＝2BD＝2cm，
∵AD＝8cm，
∴AC＝AD﹣CD＝8﹣2＝6cm
（2）若E在线段DA的延长线，如图1
∵EA＝2cm，AD＝8cm
∴ED＝EA+AD＝2+8＝10cm，
∵BD＝1cm，
∴BE＝ED﹣BD＝10﹣1＝9cm，
若E线段AD上，如图2
EA＝2cm，AD＝8cm
∴ED＝AD﹣EA＝8﹣2＝6cm，
∵BD＝1cm，
∴BE＝ED﹣BD＝6﹣1＝5cm，
综上所述，BE的长为5cm或9cm．
22．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°，OF⊥CD．
（1）写出图中互余的角；
（2）求∠EOF的度数．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠FOD＝90°，于是得到∠BOF+∠BOD＝90°，根据对
顶角的性质得到∠BOD＝∠AOC，等量代换得到∠BOF+∠AOC＝90°，即可得到结论．
（2）根据已知条件得到∠BOF＝90°﹣72°＝18°，再由OE平分∠BOD，得出∠BOE＝
∠BOD＝36°，因此∠EOF＝36°+18°＝54°．
【解答】解：（1）∵OF⊥CD，
∴∠FOD＝90°，
∴∠BOF+∠BOD＝90°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠BOF+∠AOC＝90°，
∴图中互余的角有∠BOF与∠BOD，∠BOF与∠AOC；
（2）∵直线AB和CD相交于点O，
∴∠BOD＝∠AOC＝72°，
∵OF⊥CD，
∴∠BOF＝90°﹣72°＝18°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝36°，
∴∠EOF＝36°+18°＝54°．
23．整理一批图书，甲、乙两人单独做分别需要6h、9h完成．现在先由甲单独做1h，然后
两人合作完成．甲、乙两人合作整理这批图书用了多少时间？
【分析】设他们合作整理这批图书的时间是xh，根据总工作量为单位“1”，列方程求出
x的值即可得出答案．
【解答】解：设他们合作整理这批图书的时间是xh，根据题意得：
+（+）x＝1，
解得：x＝3，
答：他们合作整理这批图书的时间是3h．
24．如图，已知∠AOB，OC⊥OA，画射线OD⊥OB．试写出∠AOB和∠COD大小关系，并说明
理由．
【分析】根据垂线的定义，画射线OD⊥OB，有两种情况：①根据余角的性质，可得答案；
②根据角的和差，可得答案．
【解答】解：画射线OD⊥OB，有两种情况：
①如左图，∠AOB＝∠COD．
因为OC⊥OA，
所以∠AOB+∠BOC＝90°．
因为OD⊥OB，
所以∠COD+∠BOC＝90°．
所以∠AOB＝∠COD；
②如右图，∠AOB+∠COD＝180°．
因为∠COD＝∠BOC+∠AOB+∠AOD，
所以∠AOB+∠COD
＝∠BOC+∠AOB+∠AOD+∠AOB
＝∠AOC+∠BOD
＝90°+90°
＝180°．
所以∠AOB和∠COD大小关系是：相等或互补．
25．A、B两地相距360km，甲、乙两车分别沿同一条路线从A地出发驶往B地，已知甲车
的速度为60km/h，乙车的速度为90km/h，甲车先出发1h后乙车再出发，乙车到达B地
后在原地等甲车．
（1）求乙车出发多长时间追上甲车？
（2）求乙车出发多长时间与甲车相距50km？
【分析】（1）乙车追上甲车则两车的路程相等，设时间为未知数列方程求解即可；
（2）乙车出发后与甲车相距50km，在整个运动过程中存在三种情况：乙车在追上甲车
之前；乙车超过甲车且未到B地之前；乙车到达B地而甲车未到B地．根据三种情况利
用两车路程之间的关系列方程即可求得．
【解答】解：（1）设乙车出发x小时追上甲车，由题意得：
60+60x＝90x解得x＝2
故乙车出发2小时追上甲车．
（2）乙车出发后t小时与甲车相距50km，存在以下三种情况：
①乙车出发后在追上甲车之前，两车相距50km，则有：
60+60t＝90t+50解得t＝；
②乙车超过甲车且未到B地之前，两车相拒50km，则有：
60+60x+50＝90t解得t＝；
③乙车到达B地而甲车未到B地，两车相距50km，则有：
60+60t+50＝360解得t＝．
故乙车出发小时、小时或小时与甲车相距50km．
26．【理解新知】
如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若
这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“2倍角线”．
（1）角的平分线是这个角的“2倍角线”；（填“是”或“不是”）
（2）若∠AOB＝90°，射线OC为∠AOB的”2倍角线”，则∠AOC＝30°或45°或60°．
【解决问题】
如图②，已知∠AOB＝60°，射线OP从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转；
射线OQ从OB出发，以每秒10°的速度绕O点顺时针旋转，射线OP、OQ同时出发，当
一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，设运动的时间为t（s）．
（3）当射线OP、OQ旋转到同一条直线上时，求t的值；
（4）若OA、OP、OQ三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“2倍角
线”，直接写出所有可能的值．（本中所研究的角都是小于等于180°的角．）
【分析】（1）由角平分线的定义和2倍角线的定义可得；
（2）分三种情况讨论，由“2倍角线”的定义，列出方程可求t的值；
（3）分三种情况讨论，由“2倍角线”的定义，列出方程可求t的
【解答】解：（1）∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的2倍，
∴一个角的角平分线是这个角的“2倍角线”；
故答案为：是；
（2）有三种情况：①若∠BOC＝2∠AOC时，且∠AOC+∠BOC＝90°，
∴∠AOC＝30°；
②若∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC时，且∠AOC+∠BOC＝90°，
∴∠AOC＝45°；
③若∠AOC＝2∠BOC时，且∠AOC+∠BOC＝90°，
∴∠AOC＝60°．
故答案为：30°或45°或60°；
（3）由题意得，运动时间范围为：0＜t≤18，则有
①60+20t+10t＝180，解得，t＝4
②60+20t+10t＝360，解得，t＝10
③60+20t+10t＝180+360，解得，t＝16
综上，t的值为4或10或16
（4）由题意，运动时间范围为：0＜t≤18，
①OA为∠POQ的“2倍角线”此时0＜t＜4
则有20t×2＝10t+60，解得，t＝2
②当4≤t≤10时，不存在
③当10＜t≤12时，OP为∠AOQ的“2倍角线”
则有，
∠POQ＝20t+10t+60°﹣360°﹣30t﹣300
∠ACP＝360°﹣20t
（30t﹣300）×2＝360°﹣20t
t＝12
④当12＜t≤18时，不存在
综上，当t＝2或t＝12时，OA、OP、OQ三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线
为边的角的“2倍角线”