x分之一求导
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2023年2月15日发(作者：2011日历)隐函数的求导
若已知F(x,y)=0，求时，一般按下列步骤进行求解：
a)：若方程F(x,y)=0，能化为的形式，则用前面我们所学的方法进行求导；
b)：若方程F(x,y)=0，不能化为的形式，则是方程两边对x进行求导，并把y
看成x的函数，用复合函数求导法则进行。
例题：已知，求
解答：此方程不易显化，故运用隐函数求导法.两边对x进行求导，
，，故=
注：我们对隐函数两边对x进行求导时，一定要把变量y看成x的函数，然后对其利用
复合函数求导法则进行求导。
例题：求隐函数，在x=0处的导数
解答：两边对x求导，故，当x=0时，y=0.故
。
有些函数在求导数时，若对其直接求导有时很不方便，像对某些幂函数进行求导时，有
没有一种比较直观的方法呢？下面我们再来学习一种求导的方法：对数求导法
对数求导法
对数求导的法则：根据隐函数求导的方法，对某一函数先取函数的自然对数，然后在求
导。注：此方法特别适用于幂函数的求导问题。
例题：已知x＞0，求
此题若对其直接求导比较麻烦，我们可以先对其两边取自然对数，然后再把它看成隐函
数进行求导，就比较简便些。如下
解答：先两边取对数：，把其看成隐函数，再两边求导
因为，所以
例题：已知，求
此题可用复合函数求导法则进行求导，但是比较麻烦，下面我们利用对数求导法进行求
导
解答：先两边取对数再两边求导
因为，所以
函数的微分
学习函数的微分之前，我们先来分析一个具体问题：一块正方形金属薄片受温度变化的
影响时，其边长由x0变到了x0+△x，则此薄片的面积改变了多少？
解答：设此薄片的边长为x，面积为A，则A是x的函数：薄片受温度变化的影
响面积的改变量，可以看成是当自变量x从x0取的增量△x时，函数A相应的增量△A，即：
。从上式我们可以看出，△A分成两部分，第一部分
是△x的线性函数，即下图中红色部分；第二部分即图中的黑色部分，
当△x→0时，它是△x的高阶无穷小，表示为：
由此我们可以发现，如果边长变化的很小时，面积的改变量可以近似的用地一部分来代
替。下面我们给出微分的数学定义：
函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量可
表示为，其中A是不依赖于△x的常数，是△x的高阶无穷小，则
称函数在点x0可微的。叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微
分，记作dy，即：=。
通过上面的学习我们知道：微分是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差
是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。于是我们又得出：当△x→0时，
△y≈dy.导数的记号为：，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还
可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表
示为：
由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。
微分形式不变性
什么是微分形式不边形呢？
设，则复合函数的微分为：
，
由于，故我们可以把复合函数的微分写成
由此可见，不论u是自变量还是中间变量，的微分dy总可以用与du的乘积来表示，
我们把这一性质称为微分形式不变性。
例题：已知，求dy
解答：把2x+1看成中间变量u，根据微分形式不变性，则
通过上面的学习，我们知道微分与导数有着不可分割的联系，前面我们知道基本初等函数的导数公
式和导数
的运算法则，那么基本初等函数的微分公式和微分运算法则是怎样的呢？
下面我们来学习———基本初等函数的微分公式与微分的运算法则
基本初等函数的微分公式与微分的运算法则
基本初等函数的微分公式
由于函数微分的表达式为：，于是我们通过基本初等函数导数的公式可得出基本初等函
数微分的公式，下面我们用表格来把基本初等函数的导数公式与微分公式对比一下：(部分公式)
导数公式微分公式
微分运算法则
由函数和、差、积、商的求导法则，可推出相应的微分法则.为了便于理解，下面我们用表格来把微分
的运算法则与导数的运算法则对照一下：
函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则
复合函数的微分法则就是前面我们学到的微分形式不变性，在此不再详述。
例题：设，求对x3的导数
解答：根据微分形式的不变性
微分的应用
微分是表示函数增量的线性主部.计算函数的增量，有时比较困难，但计算微分则比较简单，为此我们
用函数的微分来近似的代替函数的增量，这就是微分在近似计算中的应用.
例题：求的近似值。
解答：我们发现用计算的方法特别麻烦，为此把转化为求微分的问题
故其近似值为1.025(精确值为1.024695)