绝对值的定义和性质
-02s701
2023年2月15日发(作者：jb脸)..
知识精讲
绝对值的几何意义：一个数
a
的绝对值就是数轴上表示数
a
的点与原点的距离.
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对
值是0.
①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值号.
②一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.
④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5符号是负号，绝对值是5.
求字母a的绝对值：
①
(0)
0(0)
(0)
aa
aa
aa
②
(0)
(0)
aa
a
aa
③
(0)
(0)
aa
a
aa
利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.
绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.
例如：若0abc，则0a，0b，0c
绝对值的其它重要性质：
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即aa，且aa；
（2）若ab，则ab或ab；
（3）abab；a
a
bb
(0)b；
（4）222||||aaa；
a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．
ab的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．
绝对值
..
【例题精讲】
模块一、绝对值的性质
【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）
A．±2B．2C．-2D．4
【例2】下列说法正确的有（）
①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；
③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有
理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．
A．②④⑤⑥B．③⑤C．③④⑤D．③⑤⑥
【例3】如果a的绝对值是2，那么a是（）
A．2B．-2C．±2D．
1
2
【例4】若a＜0，则4a+7|a|等于（）
A．11aB．-11aC．-3aD．3a
【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（）
A．1，0B．正数C．非正数D．非负数
【例6】已知|x|=5，|y|=2，且xy＞0，则x-y的值等于（）
A．7或-7B．7或3C．3或-3D．-7或-3
【例7】若
1
x
x
，则x是（）
A．正数B．负数C．非负数D．非正数
【例8】已知：a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（）
A．1-b＞-b＞1+a＞aB．1+a＞a＞1-b＞-b
C．1+a＞1-b＞a＞-bD．1-b＞1+a＞-b＞a
【例9】已知a．b互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（）
A．2B．2或3C．4D．2或4
【例10】a＜0，ab＜0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（）
A．6B．-4C．-2a+2b+6D．2a-2b-6
【例11】若|x+y|=y-x，则有（）
A．y＞0，x＜0B．y＜0，x＞0
..
C．y＜0，x＜0D．x=0，y≥0或y=0，x≤0
【例12】已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）
A．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号
【例13】给出下面说法：
（1）互为相反数的两数的绝对值相等；
（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；
（3）若|m|＞m，则m＜0；
（4）若|a|＞|b|，则a＞b，其中正确的有（）
A．（1）（2）（3）B．（1）（2）（4）
C．（1）（3）（4）D．（2）（3）（4）
【例14】已知a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c-b|-|b-a|-|a-c|=
_________
c
b
a
0-1
1
【例15】若x＜-2，则|1-|1+x||=______
若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|=________
【例16】计算
11111
1....
23220072006
=．
【例17】已知数,,abc的大小关系如图所示，则下列各式：
①()0bac；②
0)(cba
；③
1
c
c
b
b
a
a
；④
0abc
；
⑤
bcabcba2
．其中正确的有．（请填写番号）
c
a0b
..
【巩固】已知：abc≠0，且M=
abc
abc
，当a，b，c取不同值时，M有____种不同可能．
当a、b、c都是正数时，M=______；
当a、b、c中有一个负数时，则M=________；
当a、b、c中有2个负数时，则M=________；
当a、b、c都是负数时，M=__________．
模块二绝对值的非负性
1.非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0
2.绝对值的非负性；若0abc，则必有0a，0b，0c
【例1】若42ab，则_______ab
【巩固】若
7
32210
2
mnp，则23_______pnm＋
【例
2
】2120ab，分别求ab，的值
..
模块三零点分段法
1.零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．
【例1】阅读下列材料并解决相关问题：
我们知道
0
00
0
xx
xx
xx
，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化
简代数式12xx时，可令10x和20x，分别求得12xx，（称12，分别为
1x与2x的零点值），在有理数范围内，零点值1x和2x可将全体有理数分成
不重复且不易遗漏的如下3中情况：
⑴当1x时，原式1221xxx
⑵当12x≤时，原式123xx
⑶当2x≥时，原式1221xxx
综上讨论，原式
211
312
212
xx
x
xx
≤
≥
通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：
（1）别求出2x和4x的零点值
（2）化简代数式24xx
..
【巩固】化简12xx
【巩固】化简12mmm的值
【巩固】化简523xx．
【课堂检测】
1.若a的绝对值是
1
2
，则a的值是（）
A．2B．-2C．
1
2
D．
1
2
2.若|x|=-x，则x一定是（）
A．负数B．负数或零C．零D．正数
3.如果|x-1|=1-x，那么（）
A．x＜1B．x＞1C．x≤1D．x≥1
4.若|a-3|=2，则a+3的值为（）
A．5B．8C．5或1D．8或4
5.若x＜2，则|x-2|+|2+x|=_______________
6.绝对值小于6的所有整数的和与积分别是__________
7.如图所示，a．b是有理数，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-a|化简的结果为__________
ba0-1
1
..
8.已知|x|=2，|y|=3，且xy＜0，则x+y的值为_________
9.化简代数式24xx
【家庭作业】
1.-19的绝对值是________
2.如果|-a|=-a，则a的取值范围是（
A．a＞0B．a≥0C．a≤0D．a＜0
3.绝对值大于1且不大于5的整数有__________个．
4.绝对值最小的有理数是_________．绝对值等于本身的数是________．
5.当x__________时，|2-x|=x-2．
6.如图，有理数x，y在数轴上的位置如图，化简：|y-x|-3|y+1|-|x|=________
yx
-1
2
10
7.若3230xy，则
y
x
的值是多少？