左右极限怎么理解

左右极限怎么理解

-有机覆盖物

2023年2月15日发(作者：消防器材名称)

江门职业技术学院教案

年月日第周星期第节授课地点B308课程类型理论

授课题目极限授课班级

染整工艺班、智能

产品1班、智能产

品2班

教学目的

与

教学要求

通过本课的学习，使学生理解数列极限和函数极限的概念；能利用左、

右极限判定分段函数在分段点处极限是否存在.

主

要

内

容

一：通过几个数列的项的变化情况，得出项的变化趋势；

二：通过例，巩固数列极限的概念；

三：通过学生熟悉的反比例函数引入函数的极限的概念；

四：通过例，巩固函数极限的概念

五：了解常见函数极限求法

重点与难

点

1、数列极限的概念；

2、函数极限的概念；

3、左、右极限

教学方法

手段（教

具）

1、讲授法

2、演示法

3、练习指导法

4、作业指导法

参考资料

1、《高等数学》同济大学应用数学系主编高等教育出版社

2、《经济应用数学》顾静相主编高等教育出版社

3、《高职应用数学》杨伟传关若峰主编清华大学出版

课后作业

与

思考题

练习题3、

5（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）

教学后记

教学过程设计

§极限的概念

☆旧课复习

1、基本初等函数，初等函数、复合函数。2、函数的性质。

3、数列的定义（是以自然数为自变量的函数）

一、数列的极限

1、数列极限

定义：如果无穷数列的项数

n

时，项

n

x无限趋于一个确定的常数A，那么A

称为数列}{

n

x的极限，或称数列}{

n

x收敛，且收敛于A，记作Ax

n

n





lim

或

)(nAx

n

。如果当

n

时，

n

x不趋于一个确定的常数，我们便说数

列

}{

n

x没有极限，或说数列}{

n

x发散。

例：讨论数列的极限。

（1）

n

xC(2)2

n

xn(3)1(1)n

n

xqq

一般的（1）)1(0lim



qqn

n

(2)CC

n





lim

二、函数的极限

1.当

x

时函数的极限

x

可以分为三种情况：

（1）＋x，读作

x

趋向正无穷大，表示

x

正向无限增大的过程；

（2）

－x

，读作

x

趋向负无穷大，表示0x且x无限增大的过程；

（3）

x

，读作

x

趋向无穷大，表示x无限增大的过程。

考虑反比例函数

x

y

1

当

x

无限增大时的变化趋势。当

x

时，函数

x

y

1



的值无限趋于0；当x时，函数

x

y

1

的值也是无限趋于0。从而当

x

时，

函数

x

y

1

的值无限趋于0。

定义如果当

x

时，函数)(xf无限趋近于一个常数A,那么称A为函数)(xf当

x

时的极限,记作Axf

x





)(lim或)()(xAxf

类似的有如下定义：

（1）如果当＋x时，函数)(xf无限趋近于一个常数A，那么称A为函数)(xf

当＋x时的极限，记作)()()(lim



xAxfAxf

x

或。

(2)如果当

－x

时，函数)(xf无限趋近于一个常数A，那么称A为函数)(xf

当

－x

时的极限,)()()(lim



xAxfAxf

x

或。

补例讨论x

x

2lim



、x

x

2lim



和x

x

2lim



的极限。

结论：AxfxfAxf

xxx





)(lim)(lim)(lim

－＋

2.当

0

xx时函数的极限

引例：（1）1,1yxx（2）1),1(,

1

12







xx

x

x

y

.定义当自变量

x

无限趋于

0

x时，如果函数)(xfy无限趋于一个确定的常

数A，那么称A为函数当

0

xx时的极限，记作Axf

xx





)(lim

0

或

)()(

0

xxAxf

由函数极限的定义,易得

(1)cc

xx





0

lim或,cc

x





lim（c为常数）(2)

0

0

limxx

xx





三、函数的左极限与右极限

定义如果当

x

从点

0

x的左侧(

0

xx)无限趋于

0

x时,函数)(xf无限趋于常

数A,那么称A为函数)(xf在点

0

x处的左极限,记作Axf

xx





)(lim

0

如果当

x

从点

0

x的右侧(

0

xx)无限趋于

0

x时,函数)(xf无限趋于常数A,

那么称A为函数)(xf在点

0

x处的右极限,记作Axf

xx





)(lim

0

定理函数)(xf当

0

xx时极限存在的充分必要条件是函数)(xf当

0

xx

时的左、右极限都存在且相等。即AxfxfAxf

xxxx

xx







)(lim)(lim)(lim

00

0

例研究当0x时函数

1,

()0,

1,

x

fx

x

















0

0

0

x

x





的极限是否存在.

结论当求分段函数在分段区间分界点处的极限时,务必先考虑其左、右极限,

当左、右极限各自存在并且相等时,分段函数在该点的极限才存在,否则在该点的

极限就不存在.

例设

,0

()

1,0

xx

fx

x











，当0x时，)(xf的极限是否存在

四、极限的四则运算

定理1(极限的四则运算法则)如果lim(),lim()fxAgxB,那么

(1)lim()()lim()lim()fxgxfxgxAB

(2)lim()()lim()lim()fxgxfxgxAB

(3)lim()lim()cfxcfxcA

(4)

()lim()

lim

()lim()

fxfxA

gxgxB



(0)B

注：①上述极限对

0

,xxx情形都成立.

②法则要求每个参与运算的函数极限存在,否则法则不能用.

③商的极限的运算法则有个重要前提:分母极限不能为零.

④法则(2)可以推广到lim()lim()nn

nfxfxA(

n

为正整数)

例：求下列函数的极限

(1)2

2

lim(23)

x

xx



(2)

0

1

011

lim()nn

nn

xx

axaxaxa







注：多项式()px当

0

xx时的极限值就是多项式()px在

0

x处的函数值.即

0

0

lim()()

xx

pxpx





(3)

2

3

1

23

lim

232x

x

xx





注：一般地,当有理分式分母的极限不为零时,则有

0

xx时的极限等于分子、

分母在

0

x

处的函数值的商。即

0

0

0

()

()

lim

()()xx

px

px

qxqx



（4）

3

2

112

lim()

2

8xx

x







(先通分)

(5)

0

11

lim

2x

xx

x



（有理化）

(6)

2

2

27

lim

53x

xx

xx





归纳：当

0

0a,

0

0b时有

1

010

1

0

01

0,

lim,

,

nn

n

mm

x

m

mn

axaxaa

mn

b

bxbxb

mn































当时

当时

当时

思考题：其他类型的极限问题

例：求下列函数的极限

已知5

1

6

lim

2

1







x

axx

x

，求a,答案：7

例8已知2lim2

x

xkxx



，求k；答案：4k

五、课堂小结

1、数列的极限

2、函数的极限当











x

xx

0时的极限

3、函数在

0

x处的左右极限

六、作业布置