等比数列前n项和
-如何训练口才
2023年2月15日发(作者：圣诞礼物英语)等比数列的前n项和
一、等比数列的前n项和公式
1．乘法运算公式法
∵S
n
＝a
1
＋a
2
＋a
3
＋…＋a
n
＝a
1
＋a
1
q＋a
1
q2＋…＋a
1
qn－1
＝a
1
(1＋q＋q2＋…＋qn－1)
＝a
1
·
1－q1＋q＋q2＋…＋qn－1
1－q
＝
a
1
1－qn
1－q
，
∴S
n
＝
a
1
1－qn
1－q
.
2．方程法
∵S
n
＝a
1
＋a
1
q＋a
1
q2＋…＋a
1
qn－1
＝a
1
＋q(a
1
＋a
1
q＋…＋a
1
qn－2)
＝a
1
＋q(a
1
＋a
1
q＋…＋a
1
qn－1－a
1
qn－1)
＝a
1
＋q(S
n
－a
1
qn－1)，
∴(1－q)S
n
＝a
1
－a
1
qn.
∴S
n
＝
a
1
1－qn
1－q
.
3．等比性质法
∵{a
n
}是等比数列，∴
a
2
a
1
＝
a
3
a
2
＝
a
4
a
3
＝…＝
a
n
a
n－1
＝q.
∴
a
2
＋a
3
＋…＋a
n
a
1
＋a
2
＋…＋a
n－1
＝q，
即
S
n
－a
1
S
n
－a
n
＝q于是S
n
＝
a
1
－a
n
q
1－q
＝
a
1
1－qn
1－q
.
二、等比数列前n项和公式的理解
(1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a
1
，a
n
，n，q，S
n
五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两
个量．
(2)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是S
n
＝
a
1
1－qn
1－q
，它可以变形为S
n
＝－
a
1
1－q
·qn＋
a
1
1－q
，设A＝
a
1
1－q
，
上式可写成S
n
＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和S
n
是由关于n的一个指数式与一个常数的和
构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．
当公比q＝1时，因为a
1
≠0，所以S
n
＝na
1
是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．
等比数列前n项和性质
（1）在等比数列{a
n
}中，连续相同项数和也成等比数列，即：S
k
，S
2k
－S
k
，S
3k
－S
2k
，…仍成等比数列．
（2）当n为偶数时，偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比，即
S偶
S奇
＝q.
（3）若一个非常数列{a
n
}的前n项和S
n
＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{a
n
}为等比数列，即S
n
＝－Aqn＋A⇔
数列{a
n
}为等比数列．
题型一等比数列前n项和公式的基本运算（在等比数列{a
n
}的五个量a
1
，q，a
n
，n，S
n
中，a
1
与q是最基本的元
素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a
1
和q表示a
n
与S
n
，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到
两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用；在解决与前n项和有关的问题时，
首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．）
1、在等比数列{a
n
}中，(1)若S
n
＝189，q＝2，a
n
＝96，求a
1
和n；(2)若q＝2，S
4
＝1，求S
8
.
2、设等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若S
3
＋S
6
＝2S
9
，求数列的公比q.
题型二等比数列前n项和性质的应用
3、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项和为170，求出数列的公比和项数．
4、等比数列{a
n
}中，若S
2
＝7，S
6
＝91，求S
4
.
题型三等比数列前n项和的实际应用
5、借贷10000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，
试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)
[规范解答]方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为
a
0
元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款a
n
元(1≤n≤6)，则
a
0
＝10000，
a
1
＝1.01a
0
－a，
a
2
＝1.01a
1
－a＝1.012a
0
－(1＋1.01)a，
……
a
6
＝1.01a
5
－a＝……＝1.016a
0
－[1＋1.01＋…＋1.015]a.
由题意，可知a
6
＝0，
即1.016a
0
－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，
a＝
1.016×102
1.016－1
.因为1.016＝1.061，所以a＝
1.061×102
1.061－1
≈1739.
故每月应支付1739元．
方法二一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为
S
1
＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．
另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为
S
2
＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a
＝
a[1＋0.016－1]
1.01－1
＝a[1.016－1]×102(元)．
由S
1
＝S
2
，得a＝
1.016×102
1.016－1
.以下解法同法一，得a≈1739.
故每月应支付1739元．
方法技巧错位相减法求数列的和
若数列{a
n
}为等差数列，数列{b
n
}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a
n
b
n
}，当求该数列的前
n项的和时，常常采用将{a
n
b
n
}的各项乘以公比q，并向后错位一项与{a
n
b
n
}的同次项对应相减，即可转化为特殊数
列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．
6、已知等差数列{a
n
}的前3项和为6，前8项和为－4.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)设b
n
＝(4－a
n
)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
数列归纳整合
一、数列的概念及表示方法
(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．
(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．
(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆
动数列和常数列．
(4)a
n
与S
n
的关系：a
n
＝
S
1
n＝1，
S
n
－S
n－1
n≥2.
二、等差数列、等比数列性质的对比
等差数列等比数列
性质
①设{a
n
}是等差数列，若s＋t＝m＋n，则a
s
＋a
t
＝a
m
＋a
n
；
②从等差数列中抽取等距离的项组成的数列
是一个等差数列；
③等差数列中连续m项的和组成的新数列是
等差数列，即：S
m
，S
2m
－S
m
，S
3m
－S
2m
，…是
等差数列
①设{a
n
}是等比数列，若s＋t＝m＋n，则a
s
·a
t
＝a
m
·a
n
；
②从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等
比数列；
③等比数列中连续m项的和组成的新数列是等比数
列，即：S
m
，S
2m
－S
m
，S
3m
－S
2m
，…是等比数列(注意：
当q＝－1且m为偶数时，不是等比数列)
函数
特性
①等差数列{an}的通项公式是n的一次函数，
即an＝an＋b(a≠0，a＝d，b＝a1－d)；
②等差数列{an}的前n项和公式是一个不含常
数项的n的二次函数，即Sn＝an2＋bn(d≠0)
①等比数列{an}的通项公式是n的指数型函数，即an
＝c·qn，其中c≠0，c＝
a1
q
；
②等比数列{an}的前n项和公式是一个关于n的指数
型函数，即Sn＝aqn－a(a≠0，q≠0，q≠1)
三、等差数列、等比数列的判断方法
(1)定义法：a
n＋1
－a
n
＝d(常数)⇔{a
n
}是等差数列；
a
n＋1
a
n
＝q(q为常数，q≠0)⇔{a
n
}是等比数列．
(2)中项公式法：2a
n＋1
＝a
n
＋a
n＋2
⇔{a
n
}是等差数列；a
n＋1
2＝a
n
·a
n＋2
(a
n
≠0)⇔{a
n
}是等比数列．
(3)通项公式法：a
n
＝an＋b(a，b是常数)⇔{a
n
}是等差数列；a
n
＝c·qn(c，q为非零常数)⇔{a
n
}是等比数列．
(4)前n项和公式法：S
n
＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)⇔{a
n
}是等差数列；S
n
＝aqn－a(a，q为常数，且a≠0，q≠0，
q≠1，n∈N*)⇔{a
n
}是等比数列．
专题一数列通项公式的求法
数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究函数的性质，而有了数列的通
项公式，便可求出数列中的任何一项及前n项和．
常见的数列通项公式的求法有以下几种：
(1)观察归纳法求数列的通项公式
就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n的内在联系，结合常见数列的通项公
式，归纳出所求数列的通项公式．
(2)利用公式法求数列的通项公式
数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a
1
与d或a
1
与q，再代入公式a
n
＝a
1
＋(n－1)d或
a
n
＝a
1
qn－1中即可．
(3)利用a
n
与S
n
的关系求数列的通项公式
如果给出的条件是a
n
与S
n
的关系式，可利用
a
n
＝
S
1
n＝1，
S
n
－S
n－1
n≥2，
先求出a
1
＝S
1
，再通过计算求出a
n
(n≥2)的关系式，检验当n＝1时，a
1
是否满足该式，
若不满足该式，则a
n
要分段表示．
(4)利用累加法、累乘法求数列的通项公式
形如：已知a
1
，且a
n＋1
－a
n
＝f(n)(f(n)是可求和数列)的形式均可用累加法；
形如：已知a
1
，且
a
n＋1
a
n
＝f(n)(f(n)是可求积数列)的形式均可用累乘法．
(5)构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式)
若由已知条件直接求a
n
较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式．
1、已知数列{a
n
}满足a
n＋1
＝a
n
＋3n＋2且a
1
＝2，求a
n
.
2、数列{a
n
}中，若a
1
＝1，a
n＋1
＝
n＋1
n＋2
a
n
(n∈N*)，求通项公式a
n
.
3、已知数列{a
n
}满足a
n＋1
＝3a
n
＋2(n∈N*)，a
1
＝1，求通项公式．
4、设S
n
为数列{a
n
}的前n项的和，且S
n
＝
3
2
(a
n
－1)(n∈N*)，求数列{a
n
}的通项公式．
专题二数列求和
求数列的前n项和S
n
通常要掌握以下方法：
1、公式法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，注
意对等比数列q≠1的讨论．
2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推
导过程的推广．
3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列再求和．
4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)．
1、求数列2
1
4
，4
1
8
，6
1
16
，…，2n＋
1
2n＋1
的前n项和S
n
.
2、在数列{a
n
}中，a
n
＝
1
n＋1
＋
2
n＋1
＋…＋
n
n＋1
，又b
n
＝
2
a
n
·a
n＋1
，求数列{b
n
}的前n项的和．
3、求和S
n
＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.
专题三数列的交汇问题
数列是高中代数的重点内容之一，也是高考的必考内容及重点考查的范围，它始终处在知识的交汇点上，如数列与
函数、方程、不等式等其他知识交汇进行命题．
1、已知单调递增的等比数列{a
n
}满足a
2
＋a
3
＋a
4
＝28，且a
3
＋2是a
2
，a
4
的等差中项．
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)若b
n
＝a
n
log
1
2
a
n
，S
n
＝b
1
＋b
2
＋…＋b
n
，对任意正整数n，S
n
＋(n＋m)a
n＋1
<0恒成立，试求m的取值范围．
2、数列{a
n
}的前n项和S
n
＝2n2＋2n，数列{b
n
}的前n项和T
n
＝2－b
n
.
(1)求数列{a
n
}与{b
n
}的通项公式；
(2)设c
n
＝a
n
2·b
n
，证明：当且仅当n≥3时，c
n＋1
n .