等差数列的公式

等差数列的公式

-个人信用报告

2023年2月15日发(作者：寻求帮助英语)

环球雅思学科教师辅导学案

辅导科目：数学年级：高一学科教师：课时数：3

授课类型等差数列与通项公式

教学目的

掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．

教学内容

1、等差数列的定义

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数d，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d就

叫做这个数列的公差。即

1

(2,)

nn

aadnnN





2、等差中项

若,,aAb成等差数列，那么A叫做,ab的等差中项。两个实数,ab的等差中项只有一个，就是这两个数的算术平均数

2

ab

。

3、等差数列的性质

①等差数列的通项公式*

1

(1)()()

nm

aandanmdnN

，nm

aa

d

nm







。

1

()

n

adnad当0d时，它是一个一次函数。

②等差数列的前n项和公式1

()

2

n

n

naa

s





1

(1)

2

nn

nad



.

22

11

(1)

()

222n

nndd

SnadnanAnBn



，当0d时，它是一个二次函数，由于其常数项为零，所

以其图像过原点。

③等差数列

n

a中，如果mnpq,则

mnpq

aaaa,特殊地，2mpq时，则2

mpq

aaa，

m

a

是

pq

aa、

的等差中项。

④等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即

232

,,

nnnnn

SSSSS成等差数列。

⑤若{a

n

}是等差数列，公差为d，则a

k

，a

k＋m

，a

k＋2m

，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

⑥S

2n－1

＝(2n－1)a

n

.

⑦若n为偶数，则S偶－S奇＝

n

2

d，若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．

⑧若{a

n

}与{b

n

}为等差数列，且前n项和分别为S

n

与S

n

′，则

a

m

b

m

＝21

'

21

n

n

S

S





5、知三求二

等差数列有5个基本量，

1

,,,,

nn

adnaS，求解它们，多利用方程组的思想，知三求二。注意要弄准它们的值。

6、特殊设法

三个数成等差数列，一般设为,,adaad；

四个数成等差数列，一般设为3,,,3adadadad。

同步讲解

1、等差数列的判断方法：定义法

1

(

nn

aadd



为常数）或

11

(2)

nnnn

aaaan



。

1、设S

n

是数列{a

n

}的前n项和，且S

n

=n2，则{a

n

}是（）

A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列

设{}

n

a是等差数列，求证：以b

n

=

n

aaa

n



21*nN为通项公式的数列{}

n

b为等差数列。

3、等差数列的通项：

1

(1)

n

aand或()

nm

aanmd。

4、等差数列的前n和：1

()

2

n

n

naa

S



，

1

(1)

2n

nn

Snad



。

2、等差数列{a

n

}的前n项和记为S

n

，若a

2

＋a

4

＋a

15

的值是一个确定的常数，则数列{a

n

}中也为常数的项是()

A．S

7

B．S

8

C．S

13

D．S

15

3、等差数列{a

n

}中，已知a

1

＝

1

3

，a

2

＋a

5

＝4，a

n

＝33，则n为()

A．48B．49C．50D．51

(1)等差数列{}

n

a中，

10

30a，

20

50a，则通项

n

a；

（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______；

4、设S

n

是等差数列{a

n

}的前n项和，a

12

＝－8，S

9

＝－9，则S

16

＝________.

5、已知数列{a

n

}为等差数列，若

a

11

a

10

<－1，且它们的前n项和S

n

有最大值，则使S

n

>0的n的最大值为()

A．11B．19

C．20D．21

（1）数列

{}

n

a

中，*

1

1

(2,)

2nn

aannN



，

3

2n

a，前n项和

15

2n

S，则

1

a

＝＿，n＝；

（2）已知数列

{}

n

a

的前n项和212

n

Snn

，求数列

{||}

n

a

的前n项和

n

T

.

5、等差中项：若,,aAb成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且

2

ab

A



。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：

1

a

、d、n、

n

a及

n

S，其中

1

a

、d称作为

基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2adadaadad…（公差

为d）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3adadadad,…（公差为2d）

6.等差数列的性质：

（1）当公差0d时，等差数列的通项公式

11

(1)

n

aanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n

和2

11

(1)

()

222n

nndd

Snadnan



是关于n的二次函数且常数项为0.

（2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。

（3）当mnpq时,则有

qpnm

aaaa

，特别地，当2mnp时，则有

2

mnp

aaa

.

（4）若

{}

n

a、

{}

n

b

是等差数列，则{}

n

ka、{}

nn

kapb(k、p是非零常数)、*{}(,)

pnq

apqN



、

232

,,

nnnnn

SSSSS，…也成等差数列，而{}n

aa成等比数列；若{}

n

a是等比数列，且0

n

a，则{lg}

n

a是等差数

列.

等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。

（5）在等差数列

{}

n

a中，当项数为偶数2n时，

SSnd

偶奇

－

；项数为奇数21n时，

SSa

奇偶中

，

21

(21)

n

Sna





中

（这里a

中

即

n

a

）；

:(1):

奇偶

SSkk

。

项数为奇数的等差数列

{}

n

a中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数.

（6）若等差数列

{}

n

a

、

{}

n

b

的前n和分别为

n

A

、

n

B

，且()n

n

A

fn

B

，则21

21

(21)

(21)

(21)

nnn

nnn

anaA

fn

bnbB











.

设{

n

a

}与{

n

b

}是两个等差数列，它们的前n项和分别为

n

S

和

n

T

，若

34

13







n

n

T

S

n

n，那么

n

n

b

a

___________；

(7)“首正”的递减等差数列中，前

n

项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前

n

项和的最小值

是所有非正项之和。法一：由不等式组







































0

0

0

0

11n

n

n

n

a

a

a

a

或

确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前

n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。上述两种方法是运用了哪

种数学思想（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗

等差数列{}

n

a中，

1

25a，

917

SS，问此数列前多少项和最大并求此最大值；

6、（1）设｛a

n

｝（n∈N*）是等差数列，S

n

是其前n项的和，且S

5

＜S

6

，S

6

＝S

7

＞S

8

，则下列结论错误

．．

的是（）

＜0＝0

＞S

5

与S

7

均为S

n

的最大值

（2）等差数列{a

n

}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项

公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

类型1

)(

1

nfaa

nn





例1.已知数列

n

a满足

2

1

1

a，

nn

aa

nn





2

1

1

，求

n

a

。

解法：把原递推公式转化为)(

1

nfaa

nn





，利用累加法(逐差相加法)求解。

类型2

nn

anfa)(

1





例1:已知数列

n

a满足

3

2

1

a，

nn

a

n

n

a

11





，求

n

a。

解法：把原递推公式转化为

)(1nf

a

a

n

n，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例2:已知3

1

a，

nn

a

n

n

a

23

13

1







)1(n，求

n

a

。

类型3

qpaa

nn



1

（其中p，q均为常数，)0)1((ppq）。

例:已知数列

n

a中，1

1

a，32

1



nn

aa，求

n

a.

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：

)(

1

tapta

nn





，其中

p

q

t





1

，再利用换元法转化为等比数列求解。

在数列

n

a中，若

11

1,23(1)

nn

aaan



，则该数列的通项

n

a

_______________

类型4n

nn

qpaa

1

（其中p，q均为常数，)0)1)(1((qppq）。（或

1

n

nn

aparq



,其中p，q,r

均为常数）。

例:已知数列

n

a中，

6

5

1

a,1

1

)

2

1

(

3

1





n

nn

aa，求

n

a。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：

q

q

a

q

p

q

a

n

n

n

n

1

1

1•



引入辅助数列

n

b

（其中

n

n

nq

a

b），得：

q

b

q

p

b

nn

1

1





再待定系数法解决。

类型5递推公式为

nnn

qapaa

12

（其中p，q均为常数）。

(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(

112nnnn

saatsaa



其中s，t满足











qst

pts

解法一（待定系数——迭加法）:

数列

n

a：),0(0253

12

Nnnaaa

nnn





，baaa

21

,，求数列

n

a的通项公式。

例:已知数列

n

a

中，1

1

a,2

2

a,

nnn

aaa

3

1

3

2

12





，求

n

a

。

1.已知数列n

a满足*

1221

1,3,32().

nnn

aaaaanN





（I）证明：数列

1nn

aa



是等比数列；（II）求数列

n

a的通项公式；

（III）若数列

n

b满足12

1

11

*44...4(1)(),nn

bb

bb

n

anN

证明

n

b是等差数列

类型6递推公式为

n

S

与

n

a的关系式。(或()

nn

Sfa)

例：已知数列

n

a前n项和

22

1

4





n

nn

aS.

（1）求

1n

a与

n

a的关系；（2）求通项公式

n

a.

解法：这种类型一般利用















)2(

)1(

1

1

nSS

nS

a

nn

n

与

)()(

11



nnnnn

afafSSa消去

n

S)2(n或与

)(

1



nnn

SSfS)2(n消去

n

a进行求解。

类型7

banpaa

nn



1

)001(，a、p

例:设数列

n

a：)2(,123,4

11





nnaaa

nn

，求

n

a

.

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(

1

yxnapynxa

nn





，与已知递推式比较，

解出yx,,从而转化为yxna

n

是公比为p的等比数列。

类型8r

nn

paa

1

)0,0(

n

ap

例：已知数列｛

n

a｝中，2

11

1

,1

nn

a

a

aa



)0(a，求数列.的通项公式

n

a

解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为

qpaa

nn



1

，再利用待定系数法求解。

类型9

)()(

)(

1nhang

anf

a

n

n

n





例：已知数列｛a

n

｝满足：1,

131

1

1







a

a

a

a

n

n

n

，求数列｛a

n

｝的通项公式。

解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为

qpaa

nn



1

。

类型10

hra

qpa

a

n

n

n





1

例：已知数列

}{

n

a

满足性质：对于,

32

4

,N

1







n

n

na

a

an且,3

1

a求

}{

n

a

的通项公式.

例：已知数列

}{

n

a满足：对于,Nn都有.

3

2513

1







n

n

na

a

a

（1）若,5

1

a求;

n

a（2）若,3

1

a求;

n

a（3）若,6

1

a求;

n

a（4）当

1

a取哪些值时，无穷数列}{

n

a不存在

解法：如果数列

}{

n

a满足下列条件：已知

1

a的值且对于Nn，都有

hra

qpa

a

n

n

n





1

（其中p、q、r、h均为常数，

且

r

h

arqrph

1

,0,），那么，可作特征方程

hrx

qpx

x





,当特征方程有且仅有一根

0

x时,则

0

1

n

ax









是等差数

列;当特征方程有两个相异的根

1

x、

2

x时，则1

2

n

n

ax

ax











是等比数列。

类型11

qpnaa

nn



1

或n

nn

pqaa

1

例：（I）在数列

}{

n

a中，

nn

anaa



6,1

11

，求

n

a

（II）在数列}{

n

a中，n

nn

aaa3,1

11





，求

n

a

解法：这种类型一般可转化为

12n

a与

n

a

2

是等差或等比数列求解。

类型12归纳猜想法

解法：数学归纳法

变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）

设数列｛a

n

｝的前n项和为S

n

，且方程x2－a

n

x－a

n

＝0有一根为S

n

－1，n＝1，2，3，…

（Ⅰ）求a

1

，a

2

；

（Ⅱ）｛a

n

｝的通项公式

类型13双数列型

解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

例：已知数列

n

a中，1

1

a；数列

n

b

中，0

1

b。当2n时，)2(

3

1

11



nnn

baa,)2(

3

1

11



nnn

bab，求

n

a,

n

b.

类型14周期型

例：若数列

n

a满足























)1

2

1

(,12

)

2

1

0(,2

1

nn

nn

n

aa

aa

a，若

7

6

1

a，则

20

a的值为___________。

解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

方法回顾

一、选择题：

1．有穷数列1，23，26，29，…，23n＋6的项数是（）

A．3n＋7B．3n＋6C．n＋3D．n＋2

2．已知数列n

a的首项

1

1a，且

1

212

nn

aan



，则

5

a为（）

A．7B．15C．30D．31

3．某数列第一项为1，并且对所有n≥2，n∈N*，数列的前n项之积n2，则这个数列的通项公式是

（）

A．a

n

=2n－1B．a

n

=n2

C．a

n

=

2

2

)1(n

n

D．a

n

=

2

2)1(

n

n

4．若{a

n

}是等差数列，且a

1

＋a

4

＋a

7

=45，a

2

＋a

5

＋a

8

=39，则a

3

＋a

6

＋a

9

的值是（）

A．39B．20C．D．33

5．若等差数列{a

n

}的前三项为x－1，x＋1，2x＋3，则这数列的通项公式为（）

A．a

n

=2n－5B．a

n

=2n－3C．a

n

=2n－1D．a

n

=2n＋1

6．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）

A．d＞

3

8

B．d＜3C．

3

8

≤d＜3D．

3

8

＜d≤3

7．等差数列{a

n

}的前n项和S

n

=2n2＋n，那么它的通项公式是（）

A．a

n

=2n－1B．a

n

=2n＋1C．a

n

=4n－1D．a

n

=4n＋1

8．n

a中29100

n

ann

，则值最小的项是（）

A．第4项B．第5项

C．第6项D．第4项或第5项

9．已知*

1

1n

anN

nn





，则

1210

aaaL的值为（）

A．

101

B．111C．121D．2

10．在等差数列{a

n

}中，若a

3

＋a

9

＋a

15

＋a

21

=8，则a

12

等于（）

A．1B．－1C．2D．－2

11．在等差数列{a

n

}中，a

3

＋a

7

－a

10

=8，a

1

－a

4

=4，则S

13

等于（）

A．168B．156C．78D．152

12．数列{a

n

}的通项a

n

=2n＋1，则由b

n

=

n

aaa

n



21(n∈N*)，所确定的数列{b

n

}的前n项和是（）

A．n(n＋1)B．

2

)1(nn

C．

2

)5(nn

D．

2

)7(nn

二、填空题：

13．数列1，0，－1，0，1，0，－1，0，…的通项公式的为a

n

=．

14．在－1，7之间插入三个数，使它们顺次成等差数列，则这三个数分别是_______．

15．数列{a

n

}为等差数列，a

2

与a

6

的等差中项为5，a

3

与a

7

的等差中项为7，则数列的通项a

n

等于__

16、数列{a

n

}为等差数列，S

100

=145，d=

2

1

，则a

1

＋a

3

＋a

5

＋…＋a

99

的值为_____．

三、解答题：

17．已知关于x的方程x2－3x＋a=0和x2－3x＋b=0(a≠b)的四个根组成首项为

4

3

的等差数列，求a＋b的值.

18．在数列{a

n

}中，a

1

=2，a

17

=66，通项公式是项数n的一次函数.

(1)求数列{a

n

}的通项公式；

(2)88是否是数列{a

n

}中的项.

19．数列｛a

n

｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.

（1）求数列的公差；

（2）求前n项和S

n

的最大值；

（3）当S

n

＞0时，求n的最大值．

20．设函数

2

()loglog4(01)

x

fxxx，数列

n

a的通项

n

a满足)(2)2(*Nnnfn

a．

（1）求数列

n

a的通项公式；

（2）判定数列{a

n

}的单调性.

21．已知数列{a

n

}满足a

1

=4，a

n

=4－

1

4

n

a

(n≥2)，令b

n

=

2

1



n

a

．

（1）求证数列{b

n

}是等差数列；

（2）求数列{a

n

}的通项公式.

22．某公司决定给员工增加工资，提出了两个方案，让每位员工自由选择其中一种.甲方案是：公司在每年年末给每位

员工增资1000元；乙方案是每半年末给每位员工增资300元.某员工分别依两种方案计算增资总额后得到下表：

工作年限方案甲方案乙最终选择

11000600

方案甲

220001200

方案乙

≥3

方案甲

(说明：①方案的选择应以让自己获得更多增资为准.②假定员工工作年限均为整数.)

（1）他这样计算增资总额，结果对吗如果让你选择，你会怎样选择增资方案说明你的理由；

（2）若保持方案甲不变，而方案乙中每半年末的增资数改为a元，问：a为何值时，方案乙总比方案甲多增资

参考答案

一、选择题：CDCDBDCDBCBC

二、填空题：

2

n

或a

n

=])1(1[)1(

2

1

2

1

n

n





．，3，5．－3．16、60．

三、解答题：

17.解析：由方程x2－3x＋a=0和x2－3x＋b=0(a≠b)可设两方程的根分别为x

1

，x

2

和x

3

，x

4

，

由x

1

＋x

2

=3和x

3

＋x

4

=3

每一天都是全新的一天，每一天都是进步的一天。

从今天起步，在明天收获！

所以，x

1

，x

3

，x

4

，x

2

(或x

3

，x

1

，x

2

，x

4

)组成等差数列，由首项x

1

=

4

3

，x

1

＋x

3

＋x

4

＋x

2

=6，可求公差d=

2

1

，

所以四项为：

4

9

,

4

7

,

4

5

,

4

3

，∴a＋b=

8

31

4

7

4

5

4

9

4

3

．

18.解析：(1)设a

n

=An＋B，由a

1

=2，a

17

=66，得





















2

4

,

6617

2

B

A

BA

BA

解得

∴a

n

=4n－2

(2)令a

n

=88，即4n－2=88得n=

2

45

N*

∴88不是数列{a

n

}中的项.

19.解析：(1)由已知a

6

=a

1

＋5d=23＋5d＞0，a

7

=a

1

＋6d=23＋6d＜0，

解得:－

5

23

＜d＜－

6

23

，又d∈Z，∴d=－4

(2)∵d＜0，∴{a

n

}是递减数列，又a

6

＞0，a

7

＜0

∴当n=6时，S

n

取得最大值，S

6

=6×23＋

2

56

(－4)=78

(3)S

n

=23n＋

2

)1(nn

(－4)＞0，整理得：n(50－4n)＞0

∴0＜n＜

2

25

，又n∈N*，

所求n的最大值为12.

20.解析：⑴∵

2

()loglog4(01)

x

fxxx，又)(2)2(*Nnnfn

a，

∴

2

2

(2)log2log42(021,0)nnn

a

n

aaa

n

fna即

令

2

log2n

at，则

2

2tn

t

，∴2220tnt，22tnn

注意到

2

log2n

at，因此

2

log2n

a＝22nn，2222n

a

nn

，

220

n

ann，∴2*2

n

annnN即为数列

n

a的通项公式；

另解：由已知得

1,0,2

1

,2

2log

1

2log2

2

2

2

2

nnanaan

a

an

nnn

n

n

n

n

k

k解得

),3,2,1(0,1

1)1()1(

1

1

1)1()1(

)2(

)3,2,1(1,0120,10

2

2

2

2

1

2





















na

nn

nn

nn

nn

a

a

nnaax

n

n

nn

n

k

而

即

1nn

aa



，可知数列

n

a是递增数列.

注：数列是一类特殊的函数，判定数列的单调性与判定函数的单调性的方法是相同的，只需比较a

n＋1

与a

n

的大小．

21.(1)证明：a

n＋1

－2=2－

n

n

n

a

a

a

)2(2

4





∴

2

1

2

1

)2(22

1

1











nn

n

n

aa

a

a

(n≥1)

故

2

1

2

1

2

1

1









nn

aa

(n≥1)，即b

n＋1

－b

n

=

2

1

(n≥1)

∴数列{b

n

}是等差数列.

(2)解析：∵{

2

1



n

a

}是等差数列

∴

22

1

)1(

2

1

2

1

1

n

n

aa

n









，∴a

n

=2＋

n

2

∴数列{a

n

}的通项公式a

n

=2＋

n

2

22.解析：(1)设根据甲方案第n次的增资额为a

n

，则a

n

=1000n

第n年末的增资总额为T

n

=500n(n＋1)

根据乙方案，第n次的增资额为b

n

，则b

n

=300n

第n年末的增资总额为S

2n

=300n(2n＋1)

∴T

1

=1000，S

2

=900，T

1

＞S

2

只工作一年选择甲方案T

2

=3000，S

4

=3000，T

2

=S

4

当n≥3时，T

n

＜S

2n

，因此工作两年或两年以上选择乙方案.

(2)要使T

n

=500n(n＋1)，S

2n

=an(2n＋1)

S

2n

＞T

n

对一切n∈N*都成立即a＞500·

12

1





n

n

可知{500

12

1





n

n

}为递减数列，当n=1时取到最大值.

则a＞500·

3

2

=

3

1000

(元)，即当a＞

3

1000

时，方案乙总比方案甲多增资.