二元泰勒公式

二元泰勒公式

对接工作-战斗队形

2023年2月15日发(作者：舞动治疗)

摘要

因为泰勒公式的形式简单易懂，由此，适用在很多学科。在计算机与物理等各个方

面均有着极其广泛的应用，除此之外，也在数值分析、常微分方程、最优化理论这些数

学分支中产生着至关重要的作用。可见，泰勒公式的用处很多，所以，更要弄清楚泰勒

公式的概念和数学原理。这是数学中非常基础的东西，对学生今后的数学学习将起到非

常好的作用。本论文的目的，主要是对泰勒定理在数值分析中的应用做研究，从利用泰

勒公式近似计算函数值、利用泰勒公式近似计算导数值、泰勒公式在常微分方程数值求

解中的应用等方面，对泰勒公式在数值分析方面的应用进行研究。泰勒公式在数值分析

的各个方面都有着重要的应用，深入探讨泰勒公式的应用,对于我们解决一些复杂问题

起到事半功倍的效果.只要在解题中注意分析并注重归纳总结,就能很好地运用泰勒公

式.正确的应用泰勒公式使我们的证明和计算题变得简明快捷。

关键词：泰勒公式；数值分析；应用

ABSTRACT

BecauseoftheTaylorformulaisverysimple,so,

variousphysicalandcomputeretc,haveaverywiderangeofapplications,inaddition,alsoin

theordinarydifferentialequations,numericalanalysis,optimizationtheory,thebranchof

ore,alotof,,to

theverybasisof

mathematicsofmathematicslearningthings,

purposeofthisthesis,mainlytodoresearchontheapplicationofTaylortheoremin

numericalanalysis,calculatingthefunctionvalue,usingtheTaylorformulatocalculatethe

valueofTaylorformula,thenumericalsolutionofordinarydifferentialequationapplication,

fromusingTaylor'sformulaapproximation,theTaylorformulaisanalyzedintermsofthe

formulahasimportantapplicationsinthenumerical

analysis,in-depthstudyoftheapplicationofTaylorformula,forustosolvesomecomplex

astheattentionandfocusonsolvingproblemsof

thesummary,aylorformulatocorrecttheproof

andcalculationproblemswebecamefastandsimple.

Keywords:Taylorformula;numericalanalysis;application

目录

1引言............................................................................................................................1

2泰勒公式概述............................................................................................................2

2.1一元函数的泰勒公式......................................................................................2

2.2二元函数的泰勒公式......................................................................................3

3．泰勒公式在数值分析中的应用..............................................................................5

3.1利用泰勒公式近似计算函数值.......................................................................5

3.2利用泰勒公式近似计算导数值......................................................................8

3.3泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用...................................................9

3.4泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用............................................13

4结论..........................................................................................................................16

参考文献......................................................................................................................17

1

1引言

因为泰勒公式的形式简单易懂，由此，适用在很多学科。在计算机与物理等

各个方面均有着极其广泛的应用，除此之外，也在数值分析、常微分方程、最优

化理论这些数学分支中产生着至关重要的作用。可见，泰勒公式的用处很多，所

以，更要弄清楚泰勒公式的概念和数学原理。这是数学中非常基础的东西，对学

生今后的数学学习将起到非常好的作用。

泰勒公式是由英国数学家泰勒发明的。当人们在解决解学数学问题时，经常

会遇到非常复杂的函数，而泰勒公式就具有化繁为简的功能，将那些复杂的函数

转化为较为简单的多项式，这样，复杂函数就迎刃而解了。这就给处理问题提供

了有效而又方便快速的解决方案。

然而泰勒逼近存在严重的缺陷：它的条件很苛刻，要求

)(xf

足够光滑并提

供出它的各阶导数值，

)(

0

)(xfk

此外。泰勒逼近的整体效果差。它仅能保证在展

开点0

x

的某个邻域内，即某个局部范围内有效。基于此本文章应用泰勒公式阐

述其在计算行列式，求代数精度，常微分方程数值方法等几个方面的应用。进一

步完善泰勒公式在数值分析中的应用。

2

2泰勒公式概述

2.1一元函数的泰勒公式

设fx在含有

0

x的开区间内有直到

1n

阶导数，

00

,'fxfx，…，

0

nfx

为已知，现寻求一个n次的代数多项式

n

Px，使得



0000

,''

nn

PxfxPxfx，

00

nn

nn

Pxfx能否用

n

Px近似代替

fx

设

010n

Pxaaxx…

0

n

n

axx，则有：





1

01200

2

02300

'2

''2321

n

nn

n

nn

Pxaaxxnaxx

Pxaaxxnnaxx









由









0000

0010

00

002

'''

''

'''',,

2!!

n

n

n

nn

Pxfxafx

Pxfxafx

fxfx

Pxfxaa

n







故所求的代数多项式为









2

00

00000

''

'

2!!

n

n

n

fxfx

Pxfxfxxxxxxx

n



此多项式称为函数fx在

0

x处的n阶泰勒多项式。

设

nn

RxfxPx，称其为误差函数。显然

'''

nnn

RxRxRx0n

n

Rx，从而有







1

1

00

,

1!

n

n

nnn

f

fxPxRxPxxxxx

n











在与之间

，

上式称为函数fx关于

0

x的n阶泰勒公式，其中余项







1

1

00

,

1!

n

n

n

f

Rxxxxx

n











在与之间

称为拉格朗日余项。当0n时，

00

'Rxfxx，即

3

000

',fxfxfxxxx在与之间，这正是拉格朗日公式。

当

0

0x时，



2

''00

0'0

2!!

n

n

n

ff

fxffxxxRx

n

称为函

数fx的n阶麦克劳林公式，其中





1

1,01

1!

n

n

n

fx

Rxx

n











。

若设fx在含有

0

x的某个开区间,ab内有直到

1n

阶导数，且1nfx在

,ab内有界，那么对,xab，有









2

00

00000

''

'

2!!

n

n

n

fxfx

fxfxfxxxxxxxRx

n



其中0

,n

n

Rxoxx

称为佩亚诺型余项。

常见的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式有以下几种:

2.2二元函数的泰勒公式

讨论二元函数泰勒公式的方法是：作一个辅助函数，将二元函数化为一元函

数。应用已知的一元函数的泰勒公式和复合函数的微分法得到二元函数的泰勒公

式。

为了将二元函数),(yxf在点),(kbhaQ的函数值),(kbhaf在点

),(baP展成泰勒公式，作辅助函数

,10),,()(tktbhtaft

























2

3521

1

2

242

21

23

1

2

2

1.1

2!!

1

3!5!21!

11

2!4!2!

11

23

111

5.11

2!!

1

6.1

1

n

xn

m

m

m

m

m

m

n

m

n

a

nn

nn

xx

exox

n

xxx

xxox

m

xxx

xox

m

xxx

xxox

n

aaaaan

xaxxxox

n

xxxox

x



























4

即.10,,),,()(tktbyhtaxyxft

显然，

).,()1(,1);,()0(,0kbhaftbaft于是，函数

),(kbhaf

在点

),(baP

展成的泰勒公式就是一元函数

)(t在点0的泰勒公式（即麦克劳林公

式）在

1t

的值。

若函数

),(yxf

在点

),(baP

的邻域G存在n+1阶连续的偏导数，则

GkbhaQ),(

，有

























































),(

!2

1

),(

!1

1

),(),(

2

baf

y

k

x

hbaf

y

k

x

hbafkbhaf

,10),,(

)!1(

1

),(

!

11































































kbhaf

y

k

x

h

n

baf

y

k

x

h

n

nn



其中符号

),(baf

yx

l

i





































表示偏导数

li

li

yx

f





在

),(baP

的值，

),(),(

0

baf

yx

khCbaf

y

k

x

h

imi

m

imi

m

i

i

m

m





































.

上式称为二元函数),(yxf在),(baP的泰勒公式。

5

3．泰勒公式在数值分析中的应用

3.1利用泰勒公式近似计算函数值

泰勒公式是函数值估计的一个重要方法，通过泰勒公式可以将原函数的一阶导数、二阶

导数……相联系起来。

例1设函数fx在0,2上存在二阶导数,并且当0,2x时,有

1fx,1,fx





证明：0,2x,2fx



.

证明对0,2x,由泰勒公式,

将fx在0x展开为：

2

1

0

2!

x

ffxxfxf



1

0x

将fx在2x展开为：





22

22

2!

x

ffxxfxf







2

2x

两式相减得

2

2

12

11

2202

22

fxfffxfx



从而有

2

2

12

11

2202

22

fxfffxfx



2

22

2

22

x

x





213x

134

所以

2fx



0,2x.

有了函数的幂级数展开式，就可用它来进行近似计算，即在展开式有效的区间上，函数

6

值可以近似地利用这个技术按精确度要求计算出来的。

例2求330的近似值

解330

3

3

1

27331

9



令31fxx



,则

2

3

1

1

3

fxx

5

3

2

1

9

fxx



8

3

10

1

27

fxx

11

4

3

80

1

81

fxx

所以

01f

1

0

3

f







2

0

9

f





10

0

27

f





从而由公式（4）

4

234

(0)

()(0)(0)

2!3!

fx

f

fxffxxxx









1+11

234

3

80

115

81

1

39814!

xxxxx



0x

故

4

11

3

3

111

93998181729814!99















从而

330

=3

3

1

27331

9



4

11

3

311

3998181729814!99















111151

31

3998181729









3.10725

7

误差

4

11

3

5

4

240112401

11.8810

814!9981249

R

















其次，泰勒公式在数值积分中的应用中，如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，

则把这个幂级数逐项积分，用积分后的级数就可算出定积分的近似值。设()Fx为()fx的

原函数，由牛顿—莱布尼兹公式知，对定义在区间[,]ab上的定积分，有：

()()()b

a

fxdxFaFb

但是，并不是区间[,]ab上的所有可积函数的积分值计算都可由牛顿—莱布尼兹公式解

决的，有的原函数不能用初等函数表示，或者有的原函数十分复杂难以求出或计算。如被积

函数2xe、

sinx

x

等函数的积分都无法解决；又或者当被积函数为一组离散的数据时，对于

这种积分更是无能为力了。理论上，定积分是一个客观存在的确定的数值，要解决的问题就

是能否找到其他途径来解决定积分的近似计算。利用泰勒公式建立定积分的近似计算公式，

可实现定积分的近似计算。

例4计算定积分

1

0

sinx

dx

x

的近似值

解因为

35

7

sin7

2

sin

3!5!7!

x

xx

xxx















所以

24

6

sin7

sin

2

1

3!5!7!

x

xxx

x

x















因此

1

0

sinx

dx

x

=

1

35

7

0

sin7

2

3!35!57!7

x

xx

xx



























=

sin7

11

2

1

3!35!57!















8

由此式得到

1

0

sin11

10.9416

3!35!5

x

dx

x



此时误差4

1

0.510

7!7

R

3.2利用泰勒公式近似计算导数值

如果fx泰勒公式已知，其通项中的加项()nxa的系数正是



0

1

!

nfx

n

，从而可

反过来求高阶导数数值



0

nfx，而不必再依次求导。

例5：求函数2xfxxe在1x处的高阶导数

1001f。

解：设1xu，则：

22

1

211u

xufxxeueueegu

10nnfg，ue在0u的泰勒公式为：9899100

1001

98!99!100!

u

uuu

euou

从而：9899100

210011

98!99!100!

uuu

gueuuuou









而gu中的泰勒展开式中含100u的项应为

100

100

0

100!

g

u，从gu的展开式知100u的项为

100

121

98!99!100!

eu









，因此：

1000

121

100!98!99!100!

g

e









，100010101ge，

1fge

例6：求2ln1fxxx在0x处的

n

阶导数

0,3nfn。

解：由泰勒公式



2

''00

0'0

2!!

n

nn

ff

fxffxxxox

n



及

9





232

1

222

45

1

3

ln11

232

1

232

n

n

n

n

n

n

xxx

xxxxox

n

xxx

xox

n























由fx中nx项的系数为





11011!

0

!22

nn

n

n

fn

f

nnn







3.3泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用

用解析法很难求解的常微分方程,用数值方法求其特解是一种常见的方法,

一般用逐步逼近法来进行,其中泰勒公式是常用的工具.下面,就应用泰勒公式求

解具有给定x和y初值的联立方程：





,,

,,

dx

Fxyt

dt

dy

Gxyt

dt



















给出初值

000

,,xyt

我们用如下形式表示一个x和y的联立方程组：





,,

,,

dx

Fxyt

dt

dy

Gxyt

dt



















(1)

求方程组(1)通过点

000

,,xyt的特解,其中已知

000

,,xyt.我们设想用一种

逼近计算求出在下列各点

1020300

,2,3,

k

tthtthtthttkh……，处,xy

的近似值,其中h为t轴上选取的恰当步长.

现在,设在

k

tt处,已求出,xy的近似值,且表为,

kkkk

xxtyyt

由泰勒公式可知：

23

2!3!

hh

xthxtxthxtxt



……

23

2!3!

hh

ythytythytyt



……

(2)

10

令

k

tt,即可得出计算

1,1kk

xy



值的公式0,1,2,3k……

23

12!3!kkkkkk

hh

xxthxtxthxtxt





……

23

12!3!kkkkkk

hh

yythytythytyt





……(3)

其中,,

dx

xFxyt

dt



,,

kkkk

xFxyt





,,

dy

yGxyt

dt



,,

kkkk

yGxyt





FdxFdyF

x

xdtydtt









GdxGdyG

y

xdtydtt









,,,,,,

kkkkkkkkk

kkk

FxytFxytFxyt

xxy

xyt









,,,,,,

kkkkkkkkk

kkk

GxytGxytGxyt

yxy

xyt









……













1

1

11

,,n

n

nn

kkk

k

nn

Fxyt

F

xx

tt



























1

1

11

,,n

n

nn

kkk

k

nn

Gxyt

G

yy

tt















当给定了初值条件

000

,,xyt时,由方程(3),令

0k

,

则得出：

23

100002!3!

hh

xxxhxx



……,

23

100002!3!

hh

yyyhyy





……,

其中

1

x,

1

y在取近似值时的保留项数,取决于步长

h

及所需的精确度.

当求出

1

x,

1

y后,再令1k,可求出

2

x,

2

y,后面依次类推.取近似值时所要

11

保留的项数,也可由上同样处理.

为了说明以上方法,下面举个简单例子.

例7求：





,,

,,

dx

Fxyt

dt

dy

Gxyt

dt



















的解,其初始条件为,

0t

处,

2,0xy

.

解首先,我们可选定步长

0.1h

,并依次计算

0.1,0.2t

等处的近似值,由逐

次求导得出

,1,,xxtxxxx





……,1nnxx3n……,

,1,,yytyyyy





……,1nnyy3n……,

因此在0t处,有

000000

2,0,2;0,1,1;xyxyxy





……;



00

1,1,n

nxy

令0k,则方程组(8)给出

23

10

2

26

hh

xxh……

=20.20000.00500.0002……=2.2052

23

10

2

26

hh

yyh……

=20.20000.00500.0002……=2.2052

接着在0.1t处,有

11

2.2052,2.2052xy

11

2.1052,2.1052xy





11

1.1052,1.1052xy





11

1.1052,1.1052xy





……

令1k,由方程（3）：

23

211112!3!

hh

xxxhxx



……

12

2.2052+0.2105+0.0055+0.0022+……2.4214

23

211112!3!

hh

yyyhyy





…….

2.2052+0.2105+0.0055+0.0022+……2.4214

这个过程可以根据需要不断地重复进行。

例8证明对任意参数t,下列Runge-Kutta格式是二阶的







112

1

21

31

()

2

,

,

1,1

nn

nn

nn

nn

h

yyKK

Kfxy

Kfxthythk

Kfxthythk





























证明

因为

nn

yxy

nn

yxy



,yxfxy





所以把

1n

yx



在

n

x处泰勒展开得：



1n

yx



=23

2!3nnnn

hh

yhyxyxy



,nnn

yxfxy





(9)







,

,

|,,

nn

nxnnynnnn

xy

ffy

yxfxyfxyfxy

xyx









(10)

将(9)(10)带入

1n

yx



泰勒展开式得



1

,

nnnn

yxyhfxy





23

,,,

2!3xnnynnnnn

hh

fxyfxyfxyy







求

1n

y



在

n

x处的泰勒展开



21

,

nn

Kfxthythk

13

,,,,

nnxnnnnynn

fxythfxythfxyfxy

31

1,1

nn

Kfxthythk

,1,1,,

nnxnnnnynn

fxythfxythfxyfxy

将

23

,KK代入

112

()

2nn

h

yyKK





中得

112

()

2nn

h

yyKK





2,,,,

2nnnxnnnnynn

h

yfxyhfxyhfxyfxy







2

,,,,

2nnnxnnnnynn

h

yhfxyhfxyhfxyfxy







将

1n

yx



与

1n

y



泰勒展开做比较得

3

113!nnn

h

yxyy







则知上述Runge-Kutta格式是二阶的.

应当指出，应用该方法从形式上看似简单，但具体构造这种格式往往是相当

困难的，因为它需要先提供y的各阶导数值()ny。当阶数提高时，求导过程可能

很复杂，因此该方法不直接使用，但是可以用它来启发思路。

3.4泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用

我们利用泰勒公式对函数极值的判定，可以相似地推出函数拐点的判定，比用

0

x点两

边区间的二阶导数符号来判定显得简单易行，且有更广泛的结论.

例9（定理）若fx在某个

0

,Ux内

n

阶可导，且满足

1

000

'''0nfxfxfx，且



0

0,2nfxn

若：当

n

为奇数，则

00

,xfx为拐点；

当

n

为偶数,则

00

,xfx不是拐点.

证明:写出''fx在

0

x处的泰勒公式，

14







22

0

00000

'''''''

2!

n

nn

fx

fxfxfxxxxxoxx

n





因为1

000

'''0nfxfxfx，则







22

0

00

''

2!

n

nn

fx

fxxxoxx

n





，同样余项是2

0

nxx的的高阶无穷小,

所以''fx的符号在

0

,Ux内与





2

0

02!

n

n

fx

xx

n





相同。

当

n

为奇数时,显然在

0

x的两边，





2

0

02!

n

n

fx

xx

n





符号相异,即''fx的符号相异,

所以

00

,xfx为拐点。

当

n

为偶数时,则''fx的符号相同,所以

00

,xfx不是拐点。[证毕]

例10：1、判定0,4是否是2cosxxfxeex的拐点?

2、判定0,0是否是2sinxxfxeex的拐点?

解：1、







44

'2sin,'00

''2cos,''00

'''2sin,'''00

2cos,040

xx

xx

xx

xx

fxeexf

fxeexf

fxeexf

fxeexf

















因为4n为偶数，所以0,4不是2cosxxfxeex的拐点。

2、







'2cos,'00

''2sin,''00

'''2cos,'''040

xx

xx

xx

fxeexf

fxeexf

fxeexf













因为3n为奇数，所以0,0是2sinxxfxeex的拐点。

15

从上述例看到,要判别0x左、右两边''fx的符号不易,但用本命题则非常容易。

16

4结论

本文主要从泰勒定理的有关背景出发，在对泰勒定理的一元及二元形式进行

概述的基础上，分析了泰勒定理在数值分析中的应用。可以肯定的是，泰勒定理

的研究，是一个具有前瞻性与现实意义的研究课题，也是学术的研究热点，由此

本论文的提出和研究具有较强的理论意义和实践意义。

本论文的目的，主要是对泰勒定理在数值分析中的应用做研究，从利用泰勒

公式近似计算函数值、利用泰勒公式近似计算导数值、泰勒公式在常微分方程数

值求解中的应用等方面，对泰勒公式在数值分析方面的应用进行研究。泰勒公式

在数值分析的各个方面都有着重要的应用，深入探讨泰勒公式的应用,对于我们

解决一些复杂问题起到事半功倍的效果.只要在解题中注意分析并注重归纳总结,

就能很好地运用泰勒公式.正确的应用泰勒公式使我们的证明和计算题变得简明

快捷。

同时，由于本人的阅历和学识有限，可能还不足够透彻分析某些观点，文章

可能会缺乏一定的深度。下一步的将会在如何应用泰勒公式应用于实践等方面做

更深一步的研究，争取分析、解决问题更加专业化，更加全面。

17

参考文献

[1]《大学数学名师导学丛书》编写组编,杨万利编写.数学分析名师导学[M].中国水利水电出

版社,2005

[2]裘兆泰等编.数学分析学习指导[M].科学出版社,2004

[3]陈纪修等[编著].数学分析[M].高等教育出版社,2004

[4]李文荣著.分析中的问题研究[M].中国工人出版社,2002

[5]裴礼文编著.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社,1993

[6]于祥芬,李莹.泰勒公式的几点应用[J].科教文汇(上旬刊).2011(02)

[7]鲍培文.泰勒公式与泰勒级数的异同和典型应用[J].怀化学院学报.2011(02)

[8]汪俭彬,黄瑞芳.泰勒公式在解决典型问题方面的应用研究[J].焦作师范高等专科学校学

报.2011(02)

[9]孔珊珊.泰勒公式在数值计算中的应用[J].济宁学院学报.2011(03)

[10]赵中,张秀全.泰勒公式在高阶导数和高阶偏导数方面的应用[J].天中学刊.2011(02)

[11]牛旭.泰勒公式在求函数极限中的应用[J].大众科技.2011(10)

[12]潘劲松.泰勒公式的证明及应用[J].廊坊师范学院学报(自然科学版).2010(02)

[13]高春香.泰勒公式及其应用[J].科技信息.2010(32)

[14]王静,方晓峰,于宁莉.泰勒公式的“探究式”教学[J].高等数学研究.2012(05)

[15]李阳,郝佳.微分中值定理的延伸及应用[J].辽宁师专学报(自然科学版).2011(01)

[16]朱华,赵建彬.微分中值定理应用的几点注记[J].宁波教育学院学报.2011(06)

[17]杨毅,徐根海.微分中值定理教学新探[J].丽水学院学报.2012(02)

[18]李莎,王瑜.泰勒公式及其应用[J].科学之友.2012(11)

[19]杨小远,孙玉泉.泰勒公式与插值逼近的教学与实践[J].高等数学研究.2012(04)

[20]胡国专.泰勒公式在微分学中的应用[J].赤峰学院学报(自然科学版).2012(15)

18

致谢

写完了论文的最后一个句号，我抬起头，透过图书馆的玻璃窗，望着窗外高

耸的教学楼，多年来的求学生活历历在目。

XXX老师严谨的学术作风和平易近人的态度，为我以及她所有的学生树立

了做人的典范。在完成本论文的过程中，我一直得到导师精心的指导和耐心的启

发。在我生活中遇到问题时，X老师也给予了充分的谅解并帮助我克服了重重困

难。在此，我向恩师表示深深的敬意以及衷心的感谢，希望今后能有机会报答她

对我的厚爱。

同时，感谢所有帮助过我和教过我的所有专业老师们，这些年来的生活让我

从他们身上学到了扎实的知识、认真的态度、勤奋的精神，这些都将成为我以后

走向社会的资本。

谢谢我的同学们，认识你们是我一辈子的财富。难过时的鼓励，快乐时的分

享，一起渡过的时光是我青春最美好的回忆。祝你们在未来走得更高、更远。

最后谢谢我的家人们。你们是我付出最少，却又索取得最多的人。感谢你们一直

以来默默的支持。我会努力成为你们的骄傲。