抛物线对称轴公式

抛物线对称轴公式

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★二次函数知识点汇总★

1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，

)0a

，那么

y

叫做

x

的二次函数.

2.二次函数2axy的性质

(1)抛物线2axy）（0a的顶点是坐标原点，对称轴是

y

轴.(2)函数2axy的图像与

a

的符号

关系.

①当

0a

时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当

0a

时抛物线开口向下顶点为

其最高点

3.二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于(包括重合)

y

轴的抛物线.

4.二次函数

cbxaxy2用配方法可化成：

khxay2的形式，其中

a

bac

k

a

b

h

4

4

2

2

，

.

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①2axy；②kaxy2；③2hxay；④khxay2；⑤cbxaxy2.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①

a

决定抛物线的开口方向：

当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于

y

轴(或重合)的直线记作hx.特别地，

y

轴记作直线0x.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数

a

相同，那么抛物线的开口

方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

(1)公式法：

a

bac

a

b

xacbxaxy

4

4

2

2

2

2



















，∴顶点是

），（

a

bac

a

b

4

4

2

2



，对称轴是直线

a

b

x

2



.

(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴

是hx.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的

垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★

9.抛物线cbxaxy2中，

cba,,

的作用

(1)

a

决定开口方向及开口大小，这与2axy中的

a

完全一样.

(2)b和

a

共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线

cbxaxy2的对称轴是直线

a

b

x

2



,故：

①0b时，对称轴为

y

轴；②

0

a

b(即

a

、b同号)时,对称轴在

y

轴左侧；

③

0

a

b(即

a

、b异号)时,对称轴在

y

轴右侧.

(3)

c

的大小决定抛物线cbxaxy2与

y

轴交点的位置.

当0x时，

cy

，∴抛物线cbxaxy2与

y

轴有且只有一个交点(0，

c

)：

①0c，抛物线经过原点;②0c,与

y

轴交于正半轴；③0c,与

y

轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在

y

轴右侧，则

0

a

b

.

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

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函数解析式开口方向对称轴顶点坐标

2axy

当0a时

开口向上

当0a时

开口向下

0x(

y

轴)

(0,0)

kaxy20x(

y

轴)

(0,k)

2hxayhx(h,0)

khxay2hx(h,k)

cbxaxy2

a

b

x

2



(

a

bac

a

b

4

4

2

2

，)

11.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对

x

、

y

的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(3)交点式：已知图像与

x

轴的交点坐标

1

x

、

2

x，通常选用交点式：

21

xxxxay

.

12.直线与抛物线的交点

(1)

y

轴与抛物线cbxaxy2得交点为(

c,0

)

(2)与

y

轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).

(3)抛物线与

x

轴的交点

二次函数cbxaxy2的图像与

x

轴的两个交点的横坐标

1

x

、

2

x，是对应一元二次方程

02cbxax的两个实数根.抛物线与

x

轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判

别式判定：

①有两个交点

0

抛物线与

x

轴相交；

②有一个交点(顶点在

x

轴上)

0

抛物线与

x

轴相切；

③没有交点

0

抛物线与

x

轴相离.

(4)平行于

x

轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，

设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.

(5)一次函数0knkxy

的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方

程组











cbxaxy

nkxy

2

的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时

l与G有两个交点;

②方程组只有一组解时

l与G只有一个交点；③方程组无解时

l与G没有交点.

(6)抛物线与

x

轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与

x

轴两交点为

00

21

，，，xBxA

，由于

1

x

、

2

x是方程02cbxax的两个根，故

a

c

xx

a

b

xx

2121

,



aa

acb

a

c

a

b

xxxxxxxxAB























44

4

2

2

21

2

21

2

2121

13．二次函数与一元二次方程的关系：

(1)一元二次方程cbxaxy2就是二次函数cbxaxy2当函数y的值为0时的情况．

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(2)二次函数cbxaxy2的图象与

x

轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、

没有交点；当二次函数cbxaxy2的图象与

x

轴有交点时，交点的横坐标就是当

0y

时自变量

x

的值，即一元二次方程

02cbxax

的根．

(3)当二次函数cbxaxy2的图象与

x

轴有两个交点时，则一元二次方程cbxaxy2

有两个不相等的实数根；当二次函数cbxaxy2的图象与

x

轴有一个交点时，则一元

二次方程02cbxax有两个相等的实数根；当二次函数cbxaxy2的图象与

x

轴没

有交点时，则一元二次方程02cbxax没有实数根

14.二次函数的应用：

(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；

(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数

关系；

运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．

15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表

达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理

性，对问题加以拓展等．

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