两条直线垂直
-权力机关
2023年2月15日发(作者：教师预备党员转正申请书)ruize
第2课时两条直线平行与垂直的判定
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P
86
～P
89
，回答下列问题：
(1)观察教材图3.1－7，设对于两条不重合的直线l
1
与l
2
，其倾斜角分别为α
1
与α
2
，斜
率分别为k
1
、k
2
，若l
1
∥l
2
，α
1
与α
2
之间有什么关系？k
1
与k
2
之间有什么关系？
提示：α
1
与α
2
之间的关系为α
1
＝α
2
；对于k
1
与k
2
之间的关系，当α
1
＝α
2
≠90°时，k
1
＝k2
，因为α
1
＝α
2
，所以tan_α
1
＝tan_α
2
，即k
1
＝k
2
.当α
1
＝α
2
＝90°时，k
1
、k
2
不存在．
(2)观察教材图3.1－10，设直线l
1
与l
2
的倾斜角分别为α
1
与α
2
，斜率分别为k
1
、k
2
，且
α
1
<α
2
，若l
1
⊥l
2
，α
1
与α
2
之间有什么关系？为什么？
提示：α
2
＝α
1
＋90°，因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和．
2．归纳总结，核心必记
(1)两直线平行的判定
①对于两条不重合的直线l
1
，l
2
，其斜率分别为k
1
，k
2
，有k
1
＝k
2
⇔l
1
∥l
2
.
②若直线l
1
和l
2
可能重合时，我们得到k
1
＝k
2
⇔l
1
∥l
2
或l
1
与l
2
重合．
③若直线l
1
和l
2
的斜率都不存在，且不重合时，得到l
1
∥l
2
.
(2)两直线垂直的判定
①如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如
果它们的斜率之积等于－1，那么它们垂直，即l
1
⊥l
2
⇔k
1
k
2
＝－1.
②若两条直线中的一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，它们互相垂直．
[问题思考]
(1)若两条直线平行，斜率一定相等吗？
提示：不一定，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．
(2)若两条直线垂直，它们的斜率之积一定为－1吗？
提示：不一定，如果两条直线l
1
，l
2
中的一条与x轴平行(或重合)，另一条与x轴垂直(也
ruize
即与y轴平行或重合)，即两条直线中一条的倾斜角为0°，另一条的倾斜角为90°，从而一
条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，但这两条直线互相垂直．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点．
(1)怎样判定两条直线平行？
；
(2)怎样判断两条直线垂直？
.
[思考]对两直线平行与斜率的关系要注意哪几点？
名师指津：对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点：
(1)l
1
∥l
2
⇔k
1
＝k
2
成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l
1
与l
2
不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l
1
与l
2
的倾斜角都是90°，则l
1
∥l
2
.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
l
1
∥l
2
⇔k
1
＝k
2
或l
1
，l
2
斜率都不存在．
讲一讲
1．根据下列给定的条件，判断直线l
1
与直线l
2
的位置关系．
(1)l
1
经过点A(2,1)，B(－3,5)，l
2
经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l
1
的倾斜角为60°，l
2
经过点M(3,23)，N(－2，－33)．
[尝试解答](1)由题意知k
1
＝
5－1
－3－2
＝－
4
5
，k2
＝
－7＋3
8－3
＝－
4
5
.
因为k1
＝k
2
，且A，B，C，D四点不共线，所以l
1
∥l
2
.
(2)由题意知k
1
＝tan60°＝3，k
2
＝
－33－23
－2－3
＝3.
ruize
因为k1
＝k
2
，所以l
1
∥l
2
或l
1
与l
2
重合．
判断两条直线是否平行的步骤
练一练
1．试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直
线平行．
解：由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．k
AB
＝
m－0
－5－m＋1
＝
m
－6－m
，kCD
＝
5－3
0－－4
＝
1
2
，由于AB∥CD，所以kAB
＝k
CD
，即
m
－6－m
＝
1
2
，得m＝－2.经
验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.
[思考]对两直线垂直与斜率的关系应注意什么？
名师指津：对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点：
(1)l
1
⊥l
2
⇔k
1
·k
2
＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k
1
≠0且k
2
≠0.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线
垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：l
1
⊥l
2
⇔k
1
·k
2
＝－1或一条直线的斜率不存在，同时
另一条直线的斜率等于零．
讲一讲
2．已知直线l
1
经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l
2
经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，
如果l
1
⊥l
2
，求a的值．
ruize
[尝试解答]设直线l
1
，l
2
的斜率分别为k
1
，k
2
.
∵直线l2
经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，
∴l2
的斜率存在．
当k2
＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k
1
不存在，符合题意．当k
2
≠0时，即a≠5，此
时k1
≠0，
由k1
·k
2
＝－1，得
－3－a
a－2－3
·
a－2－3
－1－2
＝－1，解得a＝－6.
综上可知，a的值为5或－6.
利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另
一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要
对参数进行讨论．
练一练
2．已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A、B为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐
标是__________．
解析：以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设C(x,0)，则k
AC
＝
－3
x＋1
，
k
BC
＝
－2
x－4
，
所以
－3
x＋1
·
－2
x－4
＝－1，得x＝1或2，
所以C(1,0)或(2,0)．
-=答案=-：(1,0)或(2,0)
ruize
讲一讲
3．已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试
判定图形ABCD的形状．(链接教材P
89
—例6)
[思路点拨]画出图形，通过求四条边所在直线的斜率，分析它们之间的关系判断图形
形状．
[尝试解答]由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，
由斜率公式可得kAB
＝
5－3
2－－4
＝
1
3
，
k
CD
＝
0－3
－3－6
＝
1
3
，kAD
＝
0－3
－3－－4
＝－3，
k
BC
＝
3－5
6－2
＝－
1
2
.
所以kAB
＝k
CD
，由图可知AB与CD不重合，
所以AB∥CD.由kAD
≠k
BC
，
所以AD与BC不平行．
又因为kAB
·k
AD
＝
1
3
×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD，
故四边形ABCD为直角梯形．
利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
ruize
练一练
3．已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，
C，D按逆时针方向排列)．
解：设所求点D的坐标为(x，y)，如图，由于k
AB
＝3，k
BC
＝0，
∴kAB
·k
BC
＝0≠－1，
即AB与BC不垂直，
故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰．
若AD是直角梯形的直角腰，
则AD⊥AB，AD⊥CD.∵kAD
＝
y－3
x
，kCD
＝
y
x－3
，
由于AD⊥AB，∴
y－3
x
·3＝－1.①
又AB∥CD，∴
y
x－3
＝3.②
解①②两式可得
x＝
18
5
，
y＝
9
5
.
此时AD与BC不平行．
若DC为直角梯形的直角腰，
则DC⊥BC，且AD∥BC.
ruize
∵kBC
＝0，
∴DC的斜率不存在．
故x＝3，又AD∥BC，则y＝3.
故D点坐标为(3,3)．
综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3,3)或
18
5
，
9
5
.
——————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————
1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平
行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)判断两条直线平行的步骤，见讲1.
(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法，见讲2.
(3)判断图形形状的方法步骤，见讲3.
3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨
论，如讲2.
课下能力提升(十六)
[学业水平达标练]
题组1两条直线平行的判定及应用
1．若l
1
与l
2
为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α
1
、α
2
，斜率分别为k
1
、k
2
，
有下列命题：
①若l
1
∥l
2
，则斜率k
1
＝k
2
；
②若k
1
＝k
2
，则l
1
∥l
2
；
③若l
1
∥l
2
，则倾斜角α
1
＝α
2
；
④若α
1
＝α
2
，则l
1
∥l
2
.
其中真命题的个数是()
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析：选C①错，两直线不一定有斜率．
ruize
2．已知过A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是()
A．－8B．0C．2D．10
解析：选A由题意可知，k
AB
＝
4－m
m＋2
＝－2，所以m＝－8.
3．过点A(1,3)和点B(－2,3)的直线与直线y＝0的位置关系为________．
解析：∵直线y＝0的斜率为k
1
＝0，过A(1,3)，B(－2,3)的直线的斜率k
2
＝
3－3
－2－1
＝0,∴
两条直线平行．
-=答案=-：平行
4．已知△ABC中，A(0,3)、B(2，－1)，E、F分别为AC、BC的中点，则直线EF的斜
率为________．
解析：∵E、F分别为AC、BC的中点，∴EF∥AB.
∴kEF
＝k
AB
＝
－1－3
2－0
＝－2.
-=答案=-：－2
题组2两条直线垂直的判定及应用
5．(2016·淄博高一检测)直线l
1
，l
2
的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l
1
与l
2
的位
置关系是()
A．平行B．重合
C．相交但不垂直D．垂直
解析：选D设l
1
，l
2
的斜率分别为k
1
，k
2
，则k
1
·k
2
＝－1.
6．若不同两点P、Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜
率为________．
解析：由两点的斜率公式可得：k
PQ
＝
3－a－b
3－b－a
＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率
为－1.
-=答案=-：－1
7．已知直线l
1
⊥l
2
，若直线l
1
的倾斜角为30°，则直线l
2
的斜率为________．
解析：由题意可知直线l
1
的斜率k
1
＝tan30°＝
3
3
，
设直线l2
的斜率为k
2
，则k
1
·k
2
＝－1，∴k
2
＝－3.
-=答案=-：－3
ruize
题组3两条直线平行与垂直的综合应用
8．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是()
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
解析：选Ck
AB
＝
1－－1
－1－2
＝－
2
3
，kAC
＝
4－1
1－－1
＝
3
2
，
∵kAB
·k
AC
＝－1，∴AB⊥AC，
∴△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形．
9．已知直线l
1
经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l
2
经过点C(1,2)，D(－2，a＋2)．
(1)若l
1
∥l
2
，求a的值．
(2)若l
1
⊥l
2
，求a的值．
解：设直线l
2
的斜率为k
2
，
则k2
＝
2－a＋2
1－－2
＝－
a
3
.
(1)若l
1
∥l
2
，则直线l
1
的斜率为k
1
＝
2－a
a－4
，所以
2－a
a－4
＝－
a
3
，解得a＝1或a＝6，
经检验当a＝1或a＝6时，l1
∥l
2
.
(2)若l
1
⊥l
2
，①当k
2
＝0时，此时a＝0，k
1
＝－
1
2
，不符合题意；②当k2
≠0时，l
1
的斜
率存在，k1
＝
2－a
a－4
，
由k1
·k
2
＝－1得到
2－a
a－4
×
－
a
3
＝－1，
解得a＝3或a＝－4.
10．已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，试求点D的坐标．
解：设D(x，y)，则k
AB
＝
2
3－1
＝1，kBC
＝
4－2
0－3
＝－
2
3
，kCD
＝
y－4
x
，kDA
＝
y
x－1
.
因为AB⊥CD，AD∥BC，
ruize
所以kAB
·k
CD
＝－1，k
DA
＝k
BC
，即
1×
y－4
x
＝－1，
y
x－1
＝－
2
3
.
解得
x＝10，
y＝－6.
即D(10，－6)．
[能力提升综合练]
1．下列说法正确的有()
①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；
②若l
1
∥l
2
，则k
1
＝k
2
；
③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；
④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析：选A若k
1
＝k
2
，则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于x轴
时，两条直线平行，但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一
条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．
2．已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P的坐标为()
A．(0，－6)B．(0,7)
C．(0，－6)或(0,7)D．(－6,0)或(7,0)
解析：选C由题意可设点P的坐标为(0，y)．因为∠APB＝90°，所以AP⊥BP，且直
线AP与直线BP的斜率都存在．又kAP
＝
y＋5
2
，kBP
＝
y－6
－6
，kAP
·k
BP
＝－1，即
y＋5
2
·
－
y－6
6
＝
－1，解得y＝－6或y＝7.所以点P的坐标为(0，－6)或(0,7)．
3．(2016·邯郸高一检测)若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角
为()
A．135°B．45°C．30°D．60°
解析：选Bk
PQ
＝
a＋1－b
b－1－a
＝－1，kPQ
·k
l
＝－1，
∴l的斜率为1，倾斜角为45°.
4．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是()
ruize
A．梯形B．平行四边形
C．菱形D．矩形
解析：选B如图所示，易知k
AB
＝－
3
4
，kBC
＝0，k
CD
＝－
3
4
，kAD
＝0.k
BD
＝－
1
4
，kAC
＝
3
4
，
所以kAB
＝k
CD
，k
BC
＝k
AD
，k
AB
·k
AD
＝0，k
AC
·k
BD
＝－
3
12
，故AD∥BC，AB∥CD，AB与AD不
垂直，BD与AC不垂直．所以四边形ABCD为平行四边形．
5．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，给出下面四个结论：①AB∥CD；②AB
⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD.其中正确的是________．(把正确选项的序号填在横线上)
解析：∵k
AB
＝－
3
5
，kCD
＝－
3
5
，kAC
＝
1
4
，kBD
＝－4，
∴AB∥CD，AC⊥BD.
-=答案=-：①④
6．l
1
过点A(m,1)，B(－3,4)，l
2
过点C(0,2)，D(1,1)，且l
1
∥l
2
，则m＝________.
解析：∵l
1
∥l
2
，且k
2
＝
1－2
1－0
＝－1，∴k1
＝
4－1
－3－m
＝－1，∴m＝0.
-=答案=-：0
7．直线l
1
经过点A(m,1)，B(－3,4)，直线l
2
经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，当l
1
∥l
2
或l
1
⊥l
2
时，分别求实数m的值．
解：当l
1
∥l
2
时，由于直线l
2
的斜率存在，则直线l
1
的斜率也存在，则k
AB
＝k
CD
，即
4－1
－3－m
＝
m＋1－m
－1－1
，解得m＝3；当l1
⊥l
2
时，由于直线l
2
的斜率存在且不为0，则直线l
1
的斜率也
存在，则kAB
·k
CD
＝－1，
即
4－1
－3－m
·
m＋1－m
－1－1
＝－1，解得m＝－
9
2
.
综上，当l1
∥l
2
时，m的值为3；
当l1
⊥l
2
时，m的值为－
9
2
.
8．已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三边的
ruize
高所在直线的斜率．
解：由斜率公式可得k
AB
＝
6－－4
6－－2
＝
5
4
，kBC
＝
6－6
6－0
＝0，kAC
＝
6－－4
0－－2
＝5.
由kBC
＝0知直线BC∥x轴，
∴BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在．
设AB、AC边上高线的斜率分别为k1
、k
2
，
由k1
·k
AB
＝－1，k
2
·k
AC
＝－1，
即k1
·
5
4
＝－1，k2
·5＝－1，
解得k1
＝－
4
5
，k2
＝－
1
5
.
∴BC边上的高所在直线的斜率不存在；
AB边上的高所在直线的斜率为－
4
5
；
AC边上的高所在直线的斜率为－
1
5
.