函数的值域

函数的值域

-点挂

2023年2月15日发(作者：小米耳机)

1

函数的值域

Ⅰ、直接法：

例1.求下列函数的值域。

（1）

x

1

y

；（2）

xxf42)(

例2.已知函数

112xy

，

2,1,0,1x

，求函数的值域。

Ⅱ、配方法：

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数常用配方法求函数的值域，要注

意x的取值范围。

例3.求函数

]2,1[x,5x2xy2

的值域。

例4．设（a∈R），如果x∈(-∞,1)时，f(x)有意义，求a的取值范围。

练习1.．求函数

322xxy

的值域。

2．已知函数223yxx，分别求它在下列区间上的值域。

（1）

xR

；（2）[0,)x；（3）[2,2]x；（4）[1,2]x．

2

Ⅲ、分离常数法：分离常数法：形如)0(





a

bax

dcx

y的函数也可用此法求值域

例5.求函数

1



x

x

y

的值域：

练习1.求函数

54

1

x

y

x







的值域。

Ⅳ、判别式法：

例6.求函数

2

2

x1

xx1

y







的值域。

解：原函数化为关于x的一元二次方程：

0x)1y(x)1y(2

（1）当

1y

时，

Rx

0)1y)(1y(4)1(2

解得：

2

3

y

2

1



（2）当y=1时，

0x

，而















2

3

,

2

1

1

;故函数的值域为













2

3

,

2

1

.

例7．求函数

6

65

2

2







xx

xx

y

的值域

方法一：去分母得(y1)

2x

+(y+5)x6y6=0①

当y1时∵xR∴△=(y+5)

2

+4(y1)×6(y+1)



0

由此得(5y+1)

2

0检验

5

1

y

时

2

)

5

6

(2

5

5

1







x

（代入①求根）

∵2定义域{x|x2且x3}∴

5

1

y

再检验y=1代入①求得x=2∴y1

综上所述，函数

6

65

2

2







xx

xx

y

的值域为{y|y1且y

5

1



}

3

方法二：把已知函数化为函数

3

6

1

3

3

)3)(2(

)3)(2(

















xx

x

xx

xx

y

(x2)

由此可得y1∵x=2时

5

1

y

即

5

1

y

∴函数

6

65

2

2







xx

xx

y

的值域为{y|y1且y

5

1



}

注：形如的函数值域，可变形为(dy-a)x2+(ey-b)x+(fy-c)=0......(1)

当dy-a≠0时，(1)式为关于x的一元二次方程，由于函数的定义域为非空数集，故方程(1)有实根，因而Δ

=(ey-b)2-4(dy-a)(by-c)≥0.....(2)，再通过不等式(2)求y的最大值和最小值。此法称为判别式法。

练习1.．求函数的值域。

解：由已知得，(y-1)x2+(1-y)x+y=0.当y=1时，方程(y-1)x2+(1-y)x+y=0无解，

∴y≠1,又∵x∈R，则Δ＝(1-y)2-4y(y-1)≥0

解之得。又因为y≠1,故函数值域为。

Ⅴ、函数有界法：

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例8.求函数

1e

1e

y

x

x







的值域。

例9.求函数

3xsin

xcos

y





的值域。

解：由原函数式可得：

y3xcosxsiny

，可化为：

y3)x(xsin1y2

即

1y

y3

)x(xsin

2



；∵

Rx

∴

]1,1[)x(xsin

即

1

1y

y3

1

2







；解得：

4

2

y

4

2



；故函数的值域为



















4

2

,

4

2

练习1.求函数

12

5

1





x

y

的值域。

4

Ⅵ、基本不等式法：

利用基本不等式

abc3cba,ab2ba3

)Rc,b,a(

，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要

求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例10．若函数的定义域是(0,+∞)，求值域。

解：∵,∴,则

当且仅当时取“=”。因此，函数的值域是。

例11．已知x+2y=1，x,y∈R+,求的最小值。

解：由已知x+2y=1,x,y∈R+,则有：

当且仅当，即时取等号，故的最小值是。

例12.求函数

x2sinxsin2y

的值域。

解：

xcosxsinxsin4yxcosxsin42

27

64

]3/)xsin22xsinx[(sin8

)xsin22(xsinxsin8

xcosxsin16y

3222

222

24









当且仅当

xsin22xsin22

，即当

3

2

xsin2

时，等号成立。

由

27

64

y2

可得：

9

38

y

9

38



；故原函数的值域为：



















9

38

,

9

38

练习1.．求函数

2

302







x

xx

y

的值域。

解：

]

2

64

2[34

2

64

32

2

302















x

x

x

x

x

xx

y

5

因为分母不为0，即

2x

，所以：

当

2x

时，

16

2

64

22

2

64

2









x

x

x

x

，当且仅当

6,

2

64

2



x

x

x

时，取等号，

18

max

y

；

当

2x

时，

16)

2

64

(22)

2

64

(2









x

x

x

x

，

当且仅当

6,

2

64

)2(



x

x

x

时，取等号，

50

min

y

；

值域

),50[]18,(y

Ⅶ、单调性法：

例13.求函数

)10x2(1xlog2y

3

5x

的值域。

解：令

1xlogy,2y

32

5x

1



；则21

y,y

在[2，10]上都是增函数

所以21

yyy

在[2，10]上是增函数

当x=2时，

8

1

12log2y

3

3

min



；当x=10时，

339log2y

3

5

max



。

故所求函数的值域为：













33,

8

1

例14.求函数

1x1xy

的值域。

解：原函数可化为：

1x1x

2

y





令

1xy,1xy

21



，显然21

y,y

在

],1[

上为无上界的增函数

所以1

yy

，2

y

在

],1[

上也为无上界的增函数

所以当x=1时，21

yyy

有最小值

2

，原函数有最大值

2

2

2



；

显然

0y

，故原函数的值域为

]2,0(

练习1．求函数的值域。

解：函数的定义域为，函数y=x和函数在上均为单调递增函数。

故。因此，函数的值域是。

6

Ⅷ、数形结合：

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合

法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例15．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

解法1：将函数化为分段函数形式：



















)2(12

)21(3

)1(12

xx

x

xx

y

，画出它的图

象

（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y



3}.

解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，

∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+



].如图

O12-1xO12-1x

O12-1x

两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.

例16.求函数

5x4x13x6xy22

的值域。

解：原函数可变形为：

2222)10()2x()20()3x(y

上式可看成x轴上的点

)0,x(P

到两定点

)1,2(B),2,3(A

的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，

43)12()23(|AB|y22

min



，

故所求函数的值域为

],43[

例17.求函数

5x4x13x6xy22

的值域。

解：将函数变形为：

2222)10()2x()20()3x(y

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点

)1,2(B

到点

)0,x(P

的距离之差。

即：

|BP||AP|y

由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点

'P

，则构成

'ABP

，根据三角形两边

之差小于第三边，有

26)12()23(|AB|||'BP||'AP||22

即：

26y26

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有

26|AB|||BP||AP||

综上所述，可知函数的值域为：

]26,26(

注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，

则要使A，B两点在x轴的同侧。

2

-1

3

xO

y

7

例18．已知：实数x,y∈R，满足(x-2)2+y2=3,求的最值。

解:如图，因为，可看作是动点P(x，y)与原点O(0，0)连线的斜率，而动点P(x，y)在圆(x-2)2+y2=3

上，于是依数形结合法，可得的最大值为，最小值为。

例19．求函数

xxy11

的值域。

解：令

xu1

，

xv1

，则

0,0vu

，

222vu

，

yvu

，

原问题转化为：当直线

yvu

与圆

222vu

在直角坐标系

uov

的第一象限有公共点时，求直线的截距

的取值范围。

由图1知：当

yvu

经过点

)2,0(

时，

2

min

y

；

当直线与圆相切时，

2222

max

OCODy

。所以：值域为

22y

例20.求函数

3sin

2cos







x

x

y

的值域。

解：令

3sinxu

2cosxv

；则

12322vu

„„（1），

原函数成为

yuv

„„„„（2）。

在平面直角坐标系OUV中，（1）表示一个圆，（2）表示过原点O，斜率

为

y

的直线，过点O作圆（1）的两条切线，则

y

的取值范围即（2）

的斜

率的取值范围在两切线斜率之间。为此，以（2）代入（1），消去

v

，得

012322122uyuy

∴△=

011243242

2yy

，解

4

33

4

33





y

，

故所求函数的值域为















4

33

4

33

，

。

练习1.求函数y=

)2(2x

+

)8(2x

的值域。

2

2

O

V

U

A

B

C

D

E

8

解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。

由上图可知：当点P在线段AB上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10

故所求函数的值域为：[10，+∞）

练习2.求函数

3cos2

sin





x

x

y

的值域。

解：令

xucos2

xvsin

；

则

1

4

2

2

v

u

„„„„（1），原函数成为

3uyv

„„„„（2）。

在平面直角坐标系OUV中，（1）表示一椭圆，（2）表示过点P（-3，0）、斜率为

y

的直线，过P作椭圆（1）

的两条切线PM、PN则

y

的取值范围即（2）的斜率的取值范围在PM、PN两斜率之间。

为此，以（2）代入（1），消去

v

，得

yuyuy

∴△=



2

2yyy

，化简得

152y

，

故解得

5

5

5

5

y

，所以所求函数的值域为















5

5

,

5

5

Ⅸ、反函数法：

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例21.求函数

34

56

x

y

x







值域。

解：由原函数式可得：

3y5

y64

x







；则其反函数为：

3x5

y64

y







，其定义域为：

5

3

x

故所求函数的值域为：















5

3

,

练习1.求函数

1x2

x31

y







的值域。

解：∵定义域为















2

1

x

2

1

x|x或

；由

1x2

x31

y







得

3y2

y1

x







故

2

1

3y2

y1

x







或

2

1

3y2

y1

x







；解得

2

3

y

2

3

y或

9

故函数的值域为



























,

2

3

2

3

,

Ⅹ、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法

是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。换元法：形如

(0)yaxbcxdabcda、、、为常数且的函数常用换元法求值域

例22.求函数

1xxy

的值域。

解：令

t1x

，

)0t(

则

1tx2

∵

4

3

)

2

1

t(1tty22

又

0t

，由二次函数的性质可知

当

0t

时，

1y

min



当

0t

时，

y

；故函数的值域为

),1[

。

例23.求函数

2)1x(12xy

的值域。

解：因

0)1x(12

；即

1)1x(2

；故可令

],0[,cos1x

∴

1cossincos11cosy2

1)

4

sin(2





∵







4

5

4

0,0

211)

4

sin(20

1)

4

sin(

2

2













；故所求函数的值域为

]21,0[

例24.求函数

)1x)(cos1x(siny

，

















2

,

12

x

的值域。

解：

)1x)(cos1x(siny

1xcosxsinxcosxsin

令

txcosxsin

，则

)1t(

2

1

xcosxsin2

22)1t(

2

1

1t)1t(

2

1

y

由

)4/xsin(2xcosxsint

且

















2

,

12

x

可得：

2t

2

2



10

∴当

2t

时，

2

2

3

y

max



，当

2

2

t

时，

2

2

4

3

y

故所求函数的值域为

















2

2

3

,

2

2

4

3

。

例25.求函数

2x54xy

的值域。

解：由

0x52

，可得

5|x|

；故可令

],0[,cos5x

4)

4

sin(10sin54cos5y





∵

0

4

5

44













当

4/

时，

104y

max



；当



时，

54y

min



；故所求函数的值域为：

]104,54[

。

例26．已知函数f(x)的值域是。求的值域。

解：∵，∴。故，

令，则，有，，

由于y=g(t)在时单调递增，

∴当时，;当时，。

∴的值域是。

例27．求函数

21)45)(125(22xxxxy

的值域。

解：令

4

9

2

5

45

2

2













xxxt

，则

4

9

t

。

542182182

2ttttty

，

当

4

9

t

时，

16

1

854

4

92

min















y

，值域为















16

1

8|yy

11

练习1．求函数

xxy142

的值域

解：设

xt1

则t



0x=1

2t

代入得

tttfy4)1(2)(24)1(224222ttt

∵t



0∴y



4

通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函

数值域的方法。

练习2．求函数

23102xxxy

的值域。

分析与解答：由

23102xxxy

=

252xx

，令

cos25x

，

因为

1cos10cos220522

2x

，

],0[

，则

252x

=

sin2

，

于是：

5

4

sin25cos2sin2

















y

，

]

4

5

,

4

[

4





，

1

4

sin

2

2





















，所以：

725y

。

Ⅺ、构造法：

求函数的值域可以通过构造函数和方程的方法，挖掘问题的隐含条件，揭示其本质属性。

例28．对于满足0≤p≤4的所有实数p,求使不等式x2+px>4x+p-3成立的x的取值范围。

解：原不等式等价转化为p(x-1)+x2-4x+3>0，构造关于p的一次函数不等式

f(p)=p(x-1)+x2-4x+3>0.

∵0≤p≤4，因此，不等式f(p)>0等价于不等式组：

解(1)得x3；解(2)得x1。

故满足题意的x的取值范围是。

Ⅻ、多种方法综合运用：

例29.求函数

3x

2x

y







的值域。

解：令

)0t(2xt

，则

1t3x2

12

（1）当

0t

时，

2

1

t

1

t

1

1t

t

y

2











，当且仅当t=1，即

1x

时取等号，所以

2

1

y0

（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：













2

1

,0

注：先换元，后用不等式法

例30.求函数

42

432

xx21

xxx2x1

y







的值域。

解：

42

3

42

42

xx21

xx

xx21

xx21

y













2

2

2

2

x1

x

x1

x1



























令

2

tanx





，则























2

2

2

2

cos

x1

x1

；





sin

2

1

x1

x

2

1sin

2

1

sinsin

2

1

cosy22

16

17

4

1

sin

2

















∴当

4

1

sin

时，

16

17

y

max



；当

1sin

时，

2y

min



此时

2

tan



都存在，故函数的值域为















16

17

,2

注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用

sin

的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先

考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

练习1.求函数y=

3

2





x

x

的值域

解：令t=

2x

（t≥0），则x+3=

2t

+1

（1）当t＞0时，y=

12t

t

=

tt/1

1



≤

2

1

，当且仅当t=1，即x=-1时取等号；所以0＜y≤

2

1

。

（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：[0，

2

1

]。

注：先换元，后用不等式法。