最小正周期公式
-三理教育
2023年2月15日发(作者：硫化碱)２０１６年１１月 西部皮革 文化与探索
最小公倍数法求最小正周期适用定理探索
陈洁 ，韩光松
（１．湖北工业大学理学院，湖北武汉４３００６８；２．华中科技大学，湖北武汉４３００７４）
摘要：本文主要针对最小公倍数法求和函数周期时存在的不足，基于周期函数的傅里叶级数展开式，分析了最小公倍数法
求最小正周期时的不足，给出了最小公倍数法的适用定理；然后，从频谱数的角度给出了两个推论，并讨论了三种正余弦函数的
周期。
关键词：最小公倍数法；最小正周期；傅里叶级数
中图分类号：Ｇ６２３．５ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７１—１６０２（２０１６）２２—０２２９—０２
１ 引言
对于函数＿厂（ ），如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域
内的每一个值时，都有厂（ ＋Ｔ）＝．厂（ ），那么函数．厂（ ）叫做周期函
数，非零常数 叫做这个函数的周期。对于一个周期函数，（ ），如
果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就
叫做厂（ ）的最小正周期。常见的求解函数最小正周期的方法有定义
法、公式法、图像法、检验法、求导法…、积分法 等。
当函数为多个函数和的形式时，最小公倍数法已经被大家广泛
地采用，然而，文献［３—５］通过反例指出了最小公倍数法求出的
周期不一定是最小正周期。到目前为止，还没有资料清楚地阐述最
小公倍数法的适用条件。本文通过周期函数的傅里叶级数展开式详
细地讨论了最小公倍数法的适用条件，给出了两个判据。
２三个引理
引理１ 设厂（ ）和ｇ（ ）为定义在实数域上的任意两个连续且
非常值的周期函数， 和 分别为它们的最小正周期，则．厂（ ）＋
ｇ（ｘ）为周期函数的充要条件是 ／ｒ２为有理数。
引理２…设 ≠（ｃＪ （ ≠Ｊ），且 为有理数，则函数
。 ｍｉ
∞ ＾ ∑ａｉｓｉｎ（￣ ＋ ）（ｎ 不全为ｏ）的最小正周期为ｆ （ｉ＝１，２，
…）的最小公倍数。
３最小公倍数法适用定理
三角函数ｙ＝Ａｓｉｎ（∞ ＋ ）＋ 的周期仅与角频率ｃｃ，有关，下面
的讨论不考虑振幅Ａ、初相‘Ｄ和参数 。另外，假设讨论的正余弦
函数的角频率为有理数，根据引理１，和函数的周期存在。
定理ｌ设周期函数 （ ）、 （ ）的傅里叶级数展开式中各正余
弦函数的周期集合分别为Ａ、Ｂ， （ ）与 （ ）傅里叶级数展开式的
和式中各正余弦函数周期的集合为ｃ，记Ｇ｛・｝表示集合的最小公
倍数，则Ｇ｛Ａ ｕ Ｂ｝≥Ｇ｛Ｃ｝
当且仅当等号成立时最小公倍数法适用于求和函数的周期。
证明：设周期函数 （ ）和． （ ）满足收敛定理，其周期分别为
Ｔ，＝２１，和 ＝２１ ，其傅里叶级数展开式为
）＝孚＋ （ 。ｓ ＋ｂ．ｓｉｎ ） ）
（ 。ｓ ＋ｄ．ｓｉｎ ）
根据引理２
ＣｌＡ ｕ曰｝＝Ｇ ｔ ｌ，Ｔ２１２
，丁
２ｌｌ
，
２１２
，…）＝ｃｌ２ｚ１，２ｚ ｝＝Ｇ｛ＴＩ， ｝
求周期函数 （ ）与 （ ）的和时，分下面两种情况：
（１）傅里叶级数没有出现“角频率消失”现象，根据引理２
作者简介：陈洁（１９７６一），女，湖北工业大学理学院，博士，讲师。
韩光松（１９８４一），男，华中科技大学，博士。
（ ）＋ （ ）的周期为
ｃｌ ｃｌ＝Ｇ』＿
ｔ ｌ，Ｔ
２１２
， ，
２１２
，
…）＝Ｇ｛２２，，２１ ｝＝Ｇ ， ｝
故Ｇ｛Ａ ｕ Ｂ｝＝Ｇ｛Ｃ｝，因此，可以使用最小公倍数法。
（２）傅里叶级数出现“角频率消失”现象，不妨设存在Ｐ 和ｑ．
（ｉ＝１，２，…，ｒ），使得
。ｐ ＋ ｇ
．
：０，ｂＰ
．
＋ｄｑ ＝０，ｇ Ｚｌ Ｐ Ｚ２
则 （ ）＋ （ ）的傅里叶级数展开式中角频率 （ｉ＝１，２，
ｌ
ｒ’， ，， ，１、
…
，，）消失，记集合Ｄ＝｛ ， ，…， ｝，根据引理２， （ ）
Ｐ１ Ｐ２ Ｐ
（ ）的周期为
Ｇ｛Ｃ｝＝Ｇ｛Ａ ｕ Ｂ—Ｄ｝≤Ｇ｛Ａ ｕ Ｂ｝＝Ｇ｛Ｔ ， ｝
因此，使用最小公倍数法求得的周期可能大于实际的最小正周
期，当且仅当等号成立时最小公倍数法适用于求和函数的周期。
适用定理需要求周期函数的傅里叶级数，应用不是很方便，为
此，根据周期函数傅里叶级数展开式中角频率数量的不同，将周期
函数分为无限频周期函数和有限频周期函数，基于上面的适用定
理，给出下面两个推论。
推论１设 （ ）和 （ ）均为无限频或有限频周期函数， （ ）＋
（ ）可能出现“角频率消失”，导致Ｇ｛Ｃ｝＜Ｇ｛Ａ ｕ Ｂ｝，不能使
用最小公倍数法。
推论２设 （ ）为无限频周期函数， （ ）为有限频周期函数，
即使 （ ）＋ （ ）时出现“角频率消失”，由于该现象仅发生在有
限的角频率点，仍有Ｃ（Ａ ｕ Ｂ）＝Ｇ（Ｃ），可以使用最小公倍数法。
为方便大家使用最小公倍数法适用定理，给出常见的无限频周
期函数和有限频周期函数。
无限频周期函数
ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ（２ ＋１） （ｎ＝１，２，３，…），ＣＯ８ ：
∑ｋｌｃｏｓ（２ｉ＋１） （ｎ＝１，２ ３・・），
ｉ＝０
－ｓｉ一－＝ ２
一 砉 ｃｏｓ（２ｍ，一ｃ －＝ ２一 耋
ｃｏｓ ） ．
有限频周期函数
∑ｋ￣ｓｉｎ（２ｉ＋１） （ｎ＝０，１ ２－・），ｃ０ｓ ” ＝
ｉ＝０
ｙ ｋ，ｏ０ｓ（２ｉ＋１）ｚ（ｎ：０，１，２，…），
ｉ：０
２２９
文化与探索 西部皮革 ２０１６年１１月
ｓｉ ＝ｋ。 （一１）ｉ ｌｃ０ｓ（２ ） （ ：１，２ ３
。＋∑ｋ／ｃｏｓ（２ ） （ｎ＝１，２，３，…）
４正余弦函数的周期
基于最小公倍数法适用定理，下面讨论三种常用正余弦函数的
周期。
（１）复合函数的周期
设＿厂（ ）为连续奇函数，则，（ｓｉｎｗｘ）或＿厂（ＣＯＳ￣ＯＸ）的周期为Ｔ＝
２７ｒ
；，（ｓｉｎ￣ｘ）＋，（ｃｏｓｍｏｓ）的周期为Ｔ＝ 。
（Ｕ“Ｊ
设＿厂（ ）为连续偶函数，则，（ｓｉｎｗｘ）或＿厂（ＣＯＳＯ）Ｘ）的周期为Ｔ＝
卫；厂（ｓｉｎ￣ｘ）＋，（Ｃ０Ｓ０）２：）的周期为Ｔ＝ 。
“， 二ＣＵ
结论：当，（ ）为连续偶函数时，函数＿厂（ｓｉｎｗｘ）＋＿厂（ＣＯＳＯ）Ｘ）中存
在“角频率消失”。
（２）求，（咒）＝ｓｉｎｗ１ｘｓｉｎｔｏ２ 、ｓｉｎｔｏ】 ｃｏｓ∞２ 或ＣＯＳＷｌＸＣＯＳＯ）２ 的
周期，其中 １＞０和０９２＞０。
由积化和差公式有
１ ｓｉｎｗ１ｘｓｉｎｔｏ２ ＝一—｝［ｃｏｓ（∞】 ＋∞２） 一 ＣＯＳ（ １ 一 ２） ］，
１ ｓｉｎｗｌＸＣＯＳ￣２ ＝—｝［ｓｉｎ（ １＋∞２） ＋ｓｉｎ（０９１一 ２） ］，ｃ０ｓ∞ｌ ｃｏｓ ２
１
＝÷［ｃｏｓ（∞ｌ＋∞２） ＋ｃｏｓ（ ｌ—ｃｃＪ２） ］
二
由最小公倍数法有下面的结论：
结论：，（ ）＝ｓｉｎｔｏｌｘｓｉｎｔｏ２ 、ｓｉｎｗｌＸＣＯＳ￣２ 或ｃｏｓ∞ｌＮＣＯＳ￣２ 的周
期为『＿＿— 和— Ｌ的最小公倍数。
Ｉ １一 ，１ ０９１十０９，
舢— 止．址．址— 止．址．ｓ止 ．址 —Ｓ屯．Ｓ ．Ｓ屯—喜屯
（上接第２２３页）
４儒家伦理对当今时代的社会发展与治理
现今我国倡导以德治国，加强精神文明建设，我国大力发展教
育事业，加强国民文化素质建设，无论是九年义务制教育，还是大
学扩招的政策，都是在加强素质道德和更好地进行社会规范的治理
能力。先秦儒家提出了民贵与圣王之道，正是民主政治的主张，孑Ｌ
子提出为学之道，齐之以礼，无不对今天的社会发展具有借鉴意
义，且当今我国所做的事情无不有着其倾向的一面，因为“传统是
秩序的保证，是文明质量的保证。”。孔子作为教育家提出为学思想
正是有学才有智与善，敬民养民是治理国家的社会规范。以礼制之
亦是社会伦理规范，当然我并不是说生硬地用周礼，而是在礼的深
层含义上理解，在现今时代下形成礼，既是文明、礼貌、公共精
神。用现代的“礼”去规范治理社会，即做到以德治国。对于今
天，就要加强国家的教育引导从而做到有教无类，人人皆有教育，
则人人均知道善和不善。孟子之道并没有被现代所摒弃，反而生机
勃勃地发挥着作用，以新时代的形式发扬着主流的文明，与人为
善，与朋友信，倡导诚信，无不显现着与今天主流价值的对应。市
场经济要有秩序，必有信；社会秩序的安稳，必有礼与善；文化素
质提高能够顺应全球科技化的浪潮，必有教育，教则为学，任重而
道远：处处都映着先秦儒家伦理的影子。国家的社会发展是在与时
俱进下，将“传统叙述与现代诠释都是我们料理传统文化（包括道
德文化）的基本方式，都是我们重访历史的有效途径，关键在于如
何运用它们，在于运用的目的和立场之有效合理性。” 以现代化的
（３）求ｌ ｓｉｎ￣ｏｘ ｌ、ｓｉｎ （￡， 、ｓｉｎ十ｎ肼、ｃ０ｓ ∞ 和ｃ０ｓ十∞ 中的某几
项乘积的周期，其中ｏ９＞０，ｋ为正整数。
这种情况较为复杂，为简单起见，这里通过一个例题进行
说明。
例１求＿厂（ ）＝ｓｉｎ ３ｘｃｏｓ５ｘ的最小正周期。
解存在常数ｃｆ（ｉ＝０，１，２），使得ｓｉｎ ３
Ｃ２ｃｏｓｌ２ｘ，于是
Ｉ厂（ ）＝ＣＯｃｏｓＳｘ＋ｃｌｃｏｓ６ｘｃｏｓ５ｘ＋Ｃ２ｃｏｓｌ２ｘｃｏｓ５ｘ
将，（ ）积化和差后的角频率依次为 ＝５，１，１１，７，１７，不可能
存在“角频率消失”现象，因此，可以使用最小公倍数法，，（ ）＝
ｓｉｎ４３ ｃ。ｓ５ 的周期为 ，Ｔ２－／７＂
，
２７＂／＂
，
２ ７７
， 的最小公倍数，Ｓ Ｔ＝２ 。
参考文献：
［１］ 李世杰．周期函数和周期数列［Ｍ］．浙江大学出版社，
２００８，７．
［２］ 李和逊．用定积分给出函数周期的一种方法［Ｊ］．重庆职业
技术学院学报，２００２，１．
［３］ 孙亦器．关于两周期函数之和的最小正周期问题［Ｊ］．中学
数学月刊，２００５，２．
［４］ 韦存军，封云．用最小公倍数法求周期函数的周期［Ｊ］．中
学数学杂志，２００６，１．
［５］ 朱威军．从两道错题谈周期函数［Ｊ］．科技资讯．
２０１１，１７．
［６］ 张严选．论任二周期函数和差积商的周期性［Ｊ］．江苏广播
电视大学学报，１９９７，２．
．址 ；止 ．Ｓ止 址．Ｓ —｛ Ｌ Ｓ ．ＳＩＬ—；屯．址 Ｓ ．Ｓ屯．址．Ｓ屯“ — Ｌ．址
眼光借鉴先秦时儒家伦理思想精华的主张，应用新时代下的儒家传
统伦理思想及其辅助作用，在面对社会治理规范中去解决遇到的新
问题、寻找新方法。且对于现代充满了变化的社会，希尔斯曾指出
“现代省会的大部分仍处在与那些从过去继承而来的法则相一致的、
持久的制度之中；那些用来评判世界的信仰也是时代相传的一部
分。” 所以先秦时代形成的儒家伦理对现今社会规范治理仍有指导
意义，只是以新的面貌在新时代下屹立着。
注释：
①《论语》里仁篇
② 《论语》里仁篇
③ 《论语》为政篇
④ 《论语》雍也
⑤ 《苟子 性恶》
⑥亚里士多德．形而上学［Ｍ］．黄颖译．——北京：时事出版
社，２０１４．９：１０８．
⑦Ｅ希尔斯．论传统［Ｍ］．傅铿，吕乐译．上海：上海人民出版
社．１９９１：２５．
⑧万俊人．寻求普世伦理［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００６．
９：ｌ１７．
⑨Ｅ希尔斯．论传统［Ｍ］．傅铿，吕乐译．上海：上海人民出版
社，１９９１：２．
２３０