什么是导数
-高三数学试卷
2023年2月15日发(作者：gb191)求导数的简单方法
这里我们要讨论的是非常重要的议题——求导数.求导数是一件有趣的事情，而且求导数的
各种基本技巧并不难掌握.
一、导数的基本公式和基本法则
没什么可说的，就像你记住“行人要走斑马线”、“不要随地吐痰”一样，要把这些公式法则
记得滚瓜烂熟、倒背如流.
二、幂函数的导数
这个幂函数的导数公式英文名字叫：powerrule，很有气势吧.
1)(nnnxx
dx
d
式子里的n可以是任何数字，既可以是正数，也可以是负数，还可以是分数，甚至可以是π
跟2之类的无理数.
例如：
233)(xx
dx
d
；1)(1x
dx
d
（这是一个特例）；
322)(xx
dx
d
；
2
21
1
1)()
1
(
x
xx
dx
d
xdx
d
；
2
1
2
1
2
1
)()(xx
dx
d
x
dx
d
；1)(xx
dx
d
三、乘积的导数
两个函数的乘积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第二个函数的导数乘
上第一个函数.
gfgffg
dx
d
)(
假设f(x)=g(x)=x，根据上面的法则，得到：
xxxxxxxxx
dx
d
2))(()()())((
符合前面幂函数的导数公式.
四、商的导数
我们还想求
g
f
这样的分式的导数，其中f和g是两个函数.
2
)(
g
gfgf
g
f
dx
d
这个公式不大容易记住，需要你多看几遍，分子的形式和乘积的导数类似，不过是减号，牢
记在上面的函数优先求导，分子由一个函数增加到4个，变沉了，那么分母需要增加一个g，
才能抗得住，因此是g的平方.
五、三角函数的导数
xx
dx
d
cos)(sin
xx
dx
d
sin)(cos
这两个公式必须牢记，不得搞混，因为所有其他的三角函数的导数，都可以从这两个基本公
式推导出来.
对于这两个公式，你可能不容易记住哪一个的前面有负号.我的建议是，你只要记住“正弦
函数求导后还是正的”，那么意味着余弦函数求导后就要变号了.
我们在用导数定义来证明上面这两个导数公式时，需要用到下面的重要极限公式：
1
sin
lim
0
x
x
x
现在好了，知道了这两个三角函数的导数，接下来就水到渠成了.
例如
x
xx
xx
x
xxxx
x
xxxx
x
x
dx
d
x
dx
d
2
22
22
2
2
sec
cos
1
cos
sincos
cos
sinsincoscos
)(cos
)(cossincos)(sin
)
cos
sin
()(tan
因为这个正切函数的导数经常出现，所以值得把它背下来：
xx
dx
d
2sec)(tan
其他的三角函数似乎不需要去背，因为它们都很容易推导出来.
正如余弦函数的导数出现了负号，其他两个以“余”开头的三角函数，也就是余割及余切，
求导后也要加负号.
六、对数函数的导数
e
x
x
dx
d
aa
log
1
)(log
我们在用导数定义来证明上面这个导数公式时，需要用到另一个重要极限公式：
exx
x
1
0
)1(lim
特别地，当a=e时，
1loge
a
，于是得到自然对数的导数：
x
x
dx
d1
)(ln