函数的三种表示方法
-gps技术
2023年2月15日发(作者：如视)1
教学内容
知识梳理
知识点一、函数的概念
1
．函数的定义
设
A
、
B
是非空的数集，如果按照某个确定的
是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系对应关系
f
，使对于集合
A
中的任意一个数
x
，在集合
B
中都有唯
一确定的数
f(x)
和它对应，那么就称
f:A→B
为从集合
A
到集合
B
的一个函数
.
记作：
y=f(x)
，
xA
．
其中，
x
叫做
叫做自变量自变量，
x
的取值范围
A
叫做函数的
叫做函数的定义域定义域；与
x
的值相对应的
y
值叫做函数值，函数值的集合
{f(x)|x
A}
叫做函数的值域
.
2
．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域
.
由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数
的定义域和对应关系完全
—
致，即称这两个函数相等
(
或为同一函数
)
；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全
—
致，而与表示自变量和函数值的
致，而与表示自变量和函数值的字母字母无关
.
3
．区间的概念
(1)
区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
(2)
无穷区间；
无穷区间；
(3)
区间的数轴表示．
区间的数轴表示．
区间表示：
区间表示：
{x|a≤x≤b}=[a
，
b]
；；；
.
知识点二、函数的表示法
1
．函数的三种表示方法：
解析法：用数学
解析法：用数学表达式表达式
表示两个变量之间的对应关系．
表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值
.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势
.
列表法：列出
列表法：列出表格表格
来表示两个变量之间的对应关系．
来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值
.
2
．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明
各部分的自变量的取值情况．
各部分的自变量的取值情况．
知识点三、映射与函数
1.
映射定义：
设
A
、
B
是两个非
是两个非空集空集合，如果按照某个对应法则
f
，对于集合
A
中的任何一个元素，在集合
B
中都有唯一的元素和
它对应，这样的对应叫做从
A
到
B
的映射；记为
f
：
A→B.
象与原象：
象与原象：如果给定一个从集合如果给定一个从集合
A
到集合
B
的映射，
的映射，那么那么
A
中的元素
a
对应的
B
中的元素
b
叫做
a
的象，
a
叫做
b
的原象
.
注意：
(1)A
中的每一个元素都有象，且唯一；
中的每一个元素都有象，且唯一；
(2)B
中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；
中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；
(3)a
的象记为
f(a).
2.
函数：
设
A
、
B
是两个非空数集，若
f
：
A→B
是从集合
A
到集合
B
的映射，这个映射叫做从集合
A
到集合
B
的函数，
记为
y=f(x).
2
注意：
注意：
(1)
函数一定是映射，映射不一定是函数；
函数一定是映射，映射不一定是函数；
(2)
函数三要素：定义域、值域、
函数三要素：定义域、值域、对应法则对应法则；
(3)B
中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；
中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；
(4)
原象
原象集合集合
=
定义域，值域
=
象集合
.
例题讲解
类型一、函数概念
1.
下列各组函数是否表示同一个函数？
下列各组函数是否表示同一个函数？
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式
1
】判断下列命题的
】判断下列命题的真假真假
(1)y=x-1
与
是同一函数；
是同一函数；
(2)
与
y=|x|
是同一函数；
是同一函数；
(3)
是同一函数；
是同一函数；
(4)
与
g(x)=x2-|x|
是同一函数
.
2.
求下列
求下列函数的定义函数的定义域
(
用区间表示
).
(1)
；
(2)
；
(3).
【变式
1
】求下列函数的定义域：
】求下列函数的定义域：
(1)
；
(2)
；
(3).
3
3.
已知函数
f(x)=3x2+5x-2
，求
f(3)
，，
f(a)
，
f(a+1).
【变式
1
】已知函数
.
(1)
求函数的定义
域；
域；
(2)
求
f(-3)
，
的值；
的值；
(3)(3)
当
a
＞
0
时，求
f(a)×
f(a)×f(a-1)f(a-1)
的值
.
【变式
2
】已知
f(x)=2x2
-3x-25
，
g(x)=2x-5
，求：
，求：
(1)f(2)
，
g(2)
；
(2)f(g(2))
，
g(f(2))
；
(3)f(g(x))
，
g(f(x))
4.
求值域
(
用区间表示
)
：
4
(1)y=x
2
-2x+4；
.
类型二、映射与函数
5.
下列
下列对应关系对应关系中，哪些是从
A
到
B
的映射，哪些不是
?
如果不是映射，如何修改可以使其成为映射
?
(1)A=R
，
B=R
，对应法则
f
：取倒数；
：取倒数；
(2)A={
平面内的
平面内的三角形三角形
}
，
B={
平面内的圆
}
，对应法则
f
：作三角形的
：作三角形的外接圆外接圆；
(3)A={
平面内的圆
}
，
B={
平面内的三角形
}
，对应法则
f
：作圆的
：作圆的内接内接
三角形．
三角形．
【变式
1
】判断下列两个对应是否是
】判断下列两个对应是否是集合集合
A
到集合
B
的映射？
的映射？
①
A={1
，
2
，
3
，
4}
，
B={3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9}
，对应法则
②
A=N
*
，
B={0
，
1}
，对应法则
f:x→x
除以
2
得的
得的余数余数；
③
A=N
，
B={0
，
1
，
2}
，
f
：
x→x
被
3
除所得的余数；
除所得的余数；
④设
X={0
，
1
，
2
，
3
，
4}
，
【变式
2
】已知映射
f
：
A→B
，在
f
的作用下，判断下列说法是否正确？
的作用下，判断下列说法是否正确？
(1)
任取
x
∈
A
，都有唯一的
y
∈
B
与
x
对应；
对应；
(2)A
中的某个元素在
B
中可以没有象；
中可以没有象；
(3)A
中的某个元素在
B
中可以有两个以上的象；
中可以有两个以上的象；
(4)A
中的不同的元素在
B
中有不同的象；
中有不同的象；
(5)B
中的元素在
A
中都有原象；
中都有原象；
(6)B
中的元素在
A
中可以有两个或两个以上的原象
.
【变式
3
】下列对应哪些是从
A
到
B
的映射？是从
A
到
B
的一一映射吗？是从
A
到
B
的函数吗？
的函数吗？
(1)A=N
，
B={1
，
-1}
，
f
：
x→y=(
x→y=(-1)-1)x；
(2)A=N
，
B=N
+
，
f
：
x→y=|x
x→y=|x-3|-3|
；
(3)A=R
，
B=R
，
(4)A=Z
，
B=N
，
f
：
x→y=|x|
；
(5)A=N
，
B=Z
，
f
：
x→y=|x|
；
(6)A=N
，
B=N
，
f
：
x→y=|
x→y=|x|. x|.
5
6.
已知
A=R
，
B={(x
，
y)|x
，
yR}
，
f
：
A→B
是从
是从集合集合
A
到集合
B
的映射，
f
：
x→(x+1
，
x2+1)
，求
A
中的元素
的象，
B
中元素的原象
.
【变式
1
】设
f
：
A→B
是集合
A
到集合
B
的映射，其中
的映射，其中
(1)A={x|x
＞
0}
，
B=R
，
f
：
x→x2-2x-1
，则
A
中元素的象及
B
中元素
-1
的原象分别为什么？
的原象分别为什么？
(2)A=B={(x
，
y)|x
∈
R
，
y
∈
R}
，
f
：
(x
，
y)→(x
y)→(x-y-y
，
x+y)
，则
A
中元素
(1
，
3)
的象及
B
中元素
(1
，
3)
的原象分别为什
么？
么？
类型三、函数的表示方法
7.
求函数的
求函数的解析式解析式
(1)
若
f(2x-1)=x2，求
f(x)
；
(2)
若
f(x+1)=2x2+1
，求
f(x).
【变式
1
】
(1)
已知
f(x+1)=x2+4x+2
，求
f(x)
；
(2)
已知：，求
f[f(-1)].
8.
作出下列函数的
作出下列函数的图象图象
.
(1)
；
(2)
；
6
类型四、分段函数
9.
已知，求
f(0)
，
f[f(-1)]
的值
.
【变式
1
】已知，作出
f(x)
的图象，求
f(1)
，
f(-1)
，
f(0)
，
f{f[f(-1)+1]}
的值
.
10.
某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：
某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)
乘坐汽车
5
公里以内，票价
2
元；
元；
(2)5
公里以上，每增加
5
公里，票价增加
1
元
(
不足
5
公里按
5
公里计算
)
，已知两个相邻的公共汽车站间相距约
为
1
公里，如果沿途
(
包括起点站和终点站
)
设
20
个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数
个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式解析式，并画出
函数的图象
.
【变式
1
】移动公司开展了两种通讯业务：
“
全球通
”
，月租
50
元，每通话
1
分钟，付费
0.4
元；
“
神州行
”
不缴月租，
7
每通话
1
分钟，付费
0.6
元，若一个月内通话
x
分钟，两种通讯方式的费用分别为
y
1
，
y
2
(
元
)
，
Ⅰ
.
写出
y1，
y2与
x
之间的函数关系式？
之间的函数关系式？
Ⅱ
.
一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？
一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？
Ⅲ
.
若某人预计一个月内使用
若某人预计一个月内使用话费话费
200
元，应选择哪种通讯方式？
元，应选择哪种通讯方式？
一、选择题
1
．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为
( )
⑴，；
⑵，；
⑶，；
⑷，；
⑸，．
A
．⑴、⑵
．⑴、⑵
B
．⑵、⑶
．⑵、⑶
C
．⑷
．⑷
D
．⑶、⑸
．⑶、⑸
2
．函数
y=
的定义域是
()
A
．
-1≤x≤1B
．
x≤
x≤-1-1
或
x≥1 C
．
0≤x≤
0≤x≤1 1 D
．
{-1
，
1}
3
．函数的值域是
( )
A
．
(-
(-∞∞
，
)
∪
(
，
+∞)B
．
(-
(-∞∞
，
)
∪
(
，
+∞)C
．
R D
．
(-
(-∞∞
，
)
∪
(
，
+∞)
4
．下列从
．下列从集合集合
A
到集合
B
的对应中：
的对应中：
①
A=R
，
B=(0
，
+∞)
，
f:x→y=x2；
②
8
③
④
A=[-2
，
1]
，
B=[2
，
5]
，
f:x→y=x2+1
；
⑤
A=[-3
，
3]
，
B=[1
，
3]
，
f:x→y=|x|
其中，不是从
其中，不是从集合集合
A
到集合
B
的映射的个数是
( )
A
．
1 B
．
2 C
．
3 D
．
4
5
．已知映射
f:A→B
，在
f
的作用下，下列说法中不正确的是
( )
A
．
A
中每个元素必有象，但
B
中元素不一定有原象
中元素不一定有原象
B
．
B
中元素可以有两个原象
中元素可以有两个原象
C
．
A
中的任何元素有且只能有唯一的象
中的任何元素有且只能有唯一的象
D
．
A
与
B
必须是非空的
必须是非空的数集数集
6
．点
(x
，
y)
在映射
f
下的象是
(2x-y
，
2x+y)
，求点
(4
，
6)
在
f
下的原象
( )
A
．
(
，
1)B
．
(1
，
3) C
．
(2
，
6)D
．
(-1
，
-3)
7
．已知集合
P={x|0≤x≤4}
，
Q={y|0≤y≤2}
，下列各
，下列各表达式表达式中不表示从
P
到
Q
的映射的是
( )
A
．
y=B
．
y=C
．
y=x D
．
y=x2
8
．下列
．下列图象图象能够成为某个函数图象的是
( )
9
．函数
的图象与
的图象与直线直线的公共点数目是
( )
A
．
B
．
C
．或
D
．或
10
．已知集合，且，使中元素和中的
元素对应，则的值分别为
( )
A
．
B
．
C
．
D
．
11
．已知，若，则的值是
( )
A
．
B
．或
C
．，或
D
．
9
12
．为了得到函数的图象，可以把函数
的图象适当
的图象适当平移平移，这个平移是
( )
A
．沿轴向右平移
个单位
个单位
B
．沿轴向右平移
个单位
个单位
C
．沿轴向左平移
个单位
个单位
D
．沿轴向左平移
个单位
个单位
二、填空题
1
．设函数则实数的取值范围是
_______________
．
2
．函数的定义域
_______________
．
3
．函数
f(x)=3x-5
在区间
上的
上的值域值域是
_________
．
4
．若
．若二次函数二次函数的图象与
x
轴交于
，且函数的
，且函数的最大值最大值为，则这个二次函数的表
达式是
_______________
．
5
．函数的定义域是
_____________________
．
6
．函数的最小值是
_________________
．
三、解答题
1
．求函数
的定义域．
的定义域．
2
．求函数
的值域．
的值域．
3
．根据下列条件，求函数的
．根据下列条件，求函数的解析式解析式：
(1)
已知
f(x)
是一次函数，且
f(f(x))=4x-1
，求
f(x)
；
(2)
已知
f(x)
是二次函数，且
f(2)=-3
，
f(-2)=-7,f(0)=-3
，求
f(x)
；
10
(3)
已知
f(x-3)=x2+2x+1
，求
f(x+3)
；
(4)
已知；
(5)
已知
f(x)
的定义域为
R
，且
2f(x)+f(-x)=3x+1
，求
f(x).
课后作业
一．选择题
一．选择题
1
．下列四种说法正确的一个是
．下列四种说法正确的一个是（）
A
．
)(
xf
表示的是含有x的代数式
B
．函数的值域也就是其定义中的
．函数的值域也就是其定义中的数集数集
B
C
．函数是一种特殊的映射
．函数是一种特殊的映射
D
．映射是一种特殊的函数
2
．已知
f
满足
f
(
ab
)=
f
(
a
)+
f
(
b)
，且
f
(2)=p，
qf
=
)3(那么
)72(
f
等于
等于（）
A
．
qp
+B
．
qp
23
+C
．
qp
32
+D
．
23
qp
+
3
．下列各组函数中，表示同一函数的是
．下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A
．
x
x
yy
==
,1B
．
1,11
2
-=+´-=
xyxxy
C
．33,
xyxy
==D
．
2
)(|,|xyxy
==
4
．已知函数
232
1
2
--
-
=
xx
x
y
的定义域为
的定义域为（）
A
．
]1,(
-¥B
．
]2,(
-¥
C
．
]1,
2
1
()
2
1
,(
-Ç--¥D
．]1,
2
1
()
2
1
,(
-È--¥
5
．设
ï
î
ï
í
ì
<
=
>+
=
)0(,0
)0(,
)0(,1
)(
x
x
xx
xfp，则=-
)]}1([{
fff
（）
11
A
．1
+pB
．
0 C
．pD
．1
-
6
．设函数x
x
x
f
=
+
-
)
1
1
(，则)(xf的表达式为（）
A
．
x
x
-
+
1
1
B
．
1
1
-
+
x
x
C
．
x
x
+
-
1
1
D
．
1
2
+
x
x
7
．已知)(xf的定义域为)2,1[
-，则|)(|xf
的定义域为
的定义域为（）
A
．)2,1[
-B
．]1,1[
-C
．)2,2(
-D
．)2,2[
-
8
．设
î
í
ì
<+
³-
=
)10()],6([
)10(,2
)(
xxff
xx
xf
则
)5(f
的值为（
的值为（）
A
．10B
．11C
．12D
．13
二、填空题
9
．已知
xxxf2)12(
2
-=+，则)3(f= .
10
．若记号“
*
”表示的是
2
*
ba
ba
+
=，则用两边含有“
*
”和“
+
”的运算对于任意三个
”的运算对于任意三个实数实数“
a
，
b
，
c
”成立一个
恒等式
.
11
．集合
A
中含有
2
个元素，集合
A
到集合
A
可构成
可构成个不同的映射
.
12
．设函数
.)(
).0(
1
),0(1
2
1
)(
aaf
x
x
xx
xf
>
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
<
³-
=
若则实数a的取值范围是
的取值范围是。
三、解答题
13
．①．求函数
|1||1|
13
-++
-
=
xx
x
y
的定义域；
的定义域；
②求函数
xxy21
-+=的值域；
③求函数
1
322
2
2
+-
+-
=
xx
xx
y
的值域
.
15
．在同一
．在同一坐标系坐标系中绘制函数
xxy2
2
+=，
||2
2
xxy
+=得图象
.
12
16
16．已知．已知
,
ab
为常数，若
22
()43,()1024,
fxxxfaxbxx
=+++=++
则求
ba
-
5
的值。
的值。
17
．设)(
xf
是抛物线，并且当点
),(
yx
在抛物线
在抛物线图象图象上时，点
)1,(
2
+
yx
在函数)]([)(
xffxg
=的图象上，求)(
xg
的解析式
.
20
已知函数
)(
xf
，
)(
xg
同时满足：
)()()()()(
yfxfygxgyxg
+=-；1)1(
-=-
f
，
0)0(
=
f
，
1)1(
=
f
，求
13
)2(),1(),0(
ggg
的值
.