一元二次不等式的解法
-秘密倒数
2023年2月15日发(作者：私募投资基金监督管理暂行办法)1/9
一元二次不等式解法·典型例题
例若＜＜，则不等式－－＜的解是10a1(xa)(x)0
1
a
[]
Aax
Bxa
．＜＜
．＜＜
1
1
a
a
Cxa
Dxxa
．＞或＜
．＜或＞
x
a
a
1
1
例有意义，则的取值范围是．2xx2x6
例3若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝______，b＝______．
例4解下列不等式
(1)(x－1)(3－x)＜5－2x
(2)x(x＋11)≥3(x＋1)2
(3)(2x＋1)(x－3)＞3(x2＋2)
(4)3x2
31
3
2
51
1
3
1
2
2
xx
xxxx
＞
＞()()
例不等式＋＞的解集为51x
1
1x
（）
例与不等式≥同解的不等式是60
x
x
3
2
（）
A．(x－3)(2－x)≥0B．0＜x－2≤1
C．≥
2
3
0
x
x
D．(x－3)(2－x)≤0
例不等式＜的解为＜或＞，则的值为71{x|x1x2}a
ax
x1
（）
AaBa
CaDa
．＜．＞
．＝．＝－
1
2
1
2
1
2
1
2
2/9
例解不等式≥．82
37
232
x
xx
例9已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2
≤，若，求的范围．0}BAa
例10解关于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0．
例11若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}(0
＜α＜β)，求cx2＋bx＋a＜0的解集．
例解关于的不等式：＜－∈．12x1a(aR)
x
x1
例13不等式|x2－3x|＞4的解集是________．
例14设全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，B＝{x||x－5|＜a}(a是常数)，
且11∈B，则[]
A．(UA)∩B＝RB．A∪(UB)＝R
C．(UA)∪(UB)＝RD．A∪B＝R
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参考答案
例1：
分析比较与的大小后写出答案．a
1
a
解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．
选．
0a1aax
A
11
aa
例2
分析求算术根，被开方数必须是非负数．
解据题意有，x2－x－6≥0，即(x－3)(x＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x≥3
或x≤－2．
例3：
分析根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax2＋bx－1＝0
的两个根，考虑韦达定理．
解根据题意，－1，2应为方程ax2＋bx－1＝0的两根，则由韦达定理知
b
a
a
()
()
121
1
122×
得
ab
1
2
1
2
，．
例4：
分析将不等式适当化简变为ax2＋bx＋c＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”
给出答案(过程请同学们自己完成)．
答:(1){x|x＜2或x＞4}
(2){x|1x}≤≤
3
2
(3)
(4)R
(5)R
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说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．
例5：
分析直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．
解不等式化为＋－＞，
通分得＞，即＞，
1x0
00
1
1
11
22
x
x
x
x
x
∵x
2
＞0，∴x－1＞0，即x＞1.
说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．
例6：
解法一原不等式的同解不等式组为
≥，
≠．
()()xx
x
320
20
故排除A、C、D，选B．
解法二≥化为＝或－－＞即＜≤
x3
2
0x3(x3)(2x)02x3
x
两边同减去2得0＜x－2≤1．选B．
说明：注意“零”．
例7：
分析可以先将不等式整理为＜，转化为0
()ax
x
11
1
[(a－1)x＋1](x－1)＜0，根据其解集为{x|x＜1或x＞2}
可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a10a12a
1
1
1
2a
答选C．
说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．
例8：
解先将原不等式转化为
5/9
37
23
20
2
x
xx
≥
即≥，所以≤．
由于＋＋＝＋＋＞，
21
23
21
23
1
4
7
8
2
2
2
2
xx
xx
xx
xx
00
2xx12(x)022
∴不等式进一步转化为同解不等式x2＋2x－3＜0，
即(x＋3)(x－1)＜0，解之得－3＜x＜1．解集为{x|－3＜x＜1｝．
说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题．
例9：
分析先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关
系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．BAa
解易得A＝{x|1≤x≤4}
设y＝x2－2ax＋a＋2(*)
(1)BBA0若＝，则显然，由Δ＜得
4a2－4(a＋2)＜0，解得－1＜a＜2．
(2)B(*)116若≠，则抛物线的图像必须具有图－特征：
应有≤≤≤≤从而{x|xxx}{x|1x4}
12
12a120
42a4a20
14
12a
2
2
－·＋＋≥
－·＋＋≥
≤≤
解得≤≤
a
a
2
2
18
7
综上所述得的范围为－＜≤．a1a
18
7
说明：二次函数问题可以借助它的图像求解．
例10：
分析不等式的解及其结构与a相关，所以必须分类讨论．
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解1°当a＝0时，原不等式化为
x－2＜0其解集为{x|x＜2}；
2a02(x2)(x)0°当＜时，由于＞，原不等式化为－－＜，其解
集为
22
aa
{x|
2
a
x2}＜＜；
30a12(x2)(x)0°当＜＜时，因＜，原不等式化为－－＞，其解
集为
22
aa
{x|x2x}＜或＞；
2
a
4°当a＝1时，原不等式化为(x－2)2＞0，其解集是{x|x≠2}；
5a12(x2)(x)0°当＞时，由于＞，原不等式化为－－＞，其解
集是
22
aa
{x|xx2}＜或＞．
2
a
从而可以写出不等式的解集为：
a＝0时，{x|x＜2｝；
a0{x|
2
a
x2＜时，＜＜｝；
0a1{x|x2x}＜＜时，＜或＞；
2
a
a＝1时，{x|x≠2}；
a1{x|xx2}＞时，＜或＞．
2
a
说明：讨论时分类要合理，不添不漏．
例11：
分析由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实
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质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考
虑使用韦达定理：
解法一由解集的特点可知a＜0，根据韦达定理知：
－＝α＋β，
＝α·β．
b
a
c
a
即
＝－α＋β＜，
＝α·β＞．
b
a
c
a
()0
0
∵a＜0，∴b＞0，c＜0．
又×，
b
a
a
c
b
c
∴＝－
α
＋
β
①
由＝α·β，∴＝
α
·
β
②
b
c
c
a
a
c
(
1
)
1
11
对＋＋＜化为＋＋＞，cxbxa0xx022
b
c
a
c
由①②得
α
，
β
是＋＋＝两个根且
α
＞
β
＞，
1111
xx002
b
c
a
c
∴＋＋＞即＋＋＜的解集为＞
α
或＜
β
．xx0cxbxa0{x|xx}22
b
c
a
c
11
解法二∵cx2＋bx＋a＝0是ax2＋bx＋a＝0的倒数方程．
且ax2＋bx＋c＞0解为α＜x＜β，
∴＋＋＜的解集为＞
α
或＜
β
．cxbxa0{x|xx}2
11
说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维。
例12：
分析将一边化为零后，对参数进行讨论．
8/9
解原不等式变为－－＜，即＜，(1a)00
x
x
axa
x
1
1
1
进一步化为(ax＋1－a)(x－1)＜0．
(1)当a＞0时，不等式化为
(x)(x1)01{x|
a1
a
x
1}
－－＜，易见＜，所以不等式解集为＜
＜；
a
a
a
a
11
(2)a＝0时，不等式化为x－1＜0，即x＜1，所以不等式解集为{x|x＜1}；
(3)a0(x)(x1)01
{x|x1x}
＜时，不等式化为－·－＞，易见＞，所以
不等式解集为＜或＞．
a
a
a
a
a
a
11
1
综上所述，原不等式解集为：
当＞时，＜＜；当＝时，＜；当＜时，＞
或＜．
a0{x|
a1
a
x1}a0{x|x1}a0{x|x
x1}
a
a
1
例13：
分析可转化为(1)x2－3x＞4或(2)x2－3x＜－4两个一元二次不等式．
由可解得＜－或＞，．(1)x1x4(2)
答填{x|x＜－1或x＞4}．
例14：
分析由x2－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即
A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即
B＝{x|5－a＜x＜5＋a}
∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6
∴5－a＜－1，5＋a＞11∴A∪B＝R．
答选D．
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说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二
次不等式等内容都得到了考查