等差数列的定义
-核舟记朗读
2023年2月15日发(作者：批量上传图片)等差数列的概念
【教学目标】
1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；掌握等差
中项的概念．
2.逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题．
3.通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗
透由特殊到一般的思想．
【教学重点】
等差数列的概念及其通项公式．
【教学难点】
等差数列通项公式的灵活运用．
【教学方法】
本节课主要采用自主探究式教学方法．充分利用现实情景，尽可
能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强
调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研
究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的
目的．
【教学过程】
环
教学内容师生互动设计意图
节
导
入
问题某工厂的仓库里
堆放一批钢管（参见教材
图6-1），共堆放了7层，
试从上到下列出每层钢
管的数量．
教师出示引例，并
提出问题．
学生探究、解答．
希望学生能
通过对日常
生活中的实
际问题的分
析对比，建
立等差数列
模型，进行
探究、解答
问题，体验
数学发现和
创造的过
程．
新
课
从上例中，我们得到一个
数列，每层钢管数为
4，5，6，7，8，9，10.
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从
第二项起，每一项与它前
一项的差等于同一个常
数，这个数列就叫做等差
数列，这个常数就叫做等
差数列的公差（常用字母
“d”表示）
练习一
抢答：下列数列是否为等
差数列？
1，2，4，6，8，10，12，…；
0，1，2，3，4，5，6，…；
3，3，3，3，3，3，3，…；
2，4，7，11，16，…；
－8，－6，－4，0，2，4，…；
师：请同学们仔细
观察，看看这个数
列有什么特点？
学生观察、回答．
教师总结特征：
从第二项起，每一
项与它前面一项的
差等于同一个常数
（即等差）
．
我们给具有这种特
征的数列一个名字
——等差数列．
教师板书定义．
师：等差数列的例
子，在生活中有很
多，谁能再举几
个？
教师出示题目．
学生思考、抢答．
师：你能说出练习
一中，各等差数列
由特殊到一
般，发挥学
生的自主
性，培养学
生的归纳能
力．
在学生自主
探究的基础
上得出定义
和公式，更
有利于学生
理解和运
用．
3，0，－3，－6，－9，…．
注意：求公差d一定要用
后项减前项，而不能用前
项减后项．
的公差吗？
学生说出各题的公
差d
．
教师订正并强调求
公差应注意的问
题．
新
课
2．常数列
特别地，数列
3，3，3，3，3，3，3，…
也是等差数列，它的公差
为0．公差为0的数列叫
做常数列．
3．等差数列的通项公式
首项是a1，公差是d的等
差数列{an}的通项公式可
以表示为
an＝a1＋(n－1)d
．
师：已知一个等差
数列{an}的首项是
a1，公差是d，如何
求出它的任意项an
呢？
学生分组探究，填
空，归纳总结通项
公式
a2＝a1+d，
a3=+d=+
d
=a1+d，
a4=+d=+
引导学生观
察、归纳、
猜想，培养
学生合理的
推理能力．
学生在分组
合作探究过
程中，可能
会找到多种
不同的解决
办法，教师
要逐一点
评，并及时
肯定、赞扬
学生善于动
4．通项公式的应用
根据这个通项公式，只要
已知首项a1和公差d，便
可求得等差数列的任意
项an
．
事实上，等差数列的通项
公式中共有四个变量，知
道其
d
=a1+d，，
……
an=a1+d
．
师：一个等差数列
的各项，已知和
就可以确定下来？
师：等差数列的通
脑、勇于创
新的品质，
激发学生的
创造意识．
新
课
中三个，便可求出第四
个．
例1求等差数列8，5，
2，…的通项公式和第20
项．
解因为a1=8，d=5－
8=－3，所以这个数列的
通项公式是
an=8+(n-1)×(-3)，
即an=－3n+11．所以
a20=－3×20+11=-49.
例2等差数列－5，－9，
－13，…的第多少项是－
401？
解因为a1=－5，而且
d=－9－(－5)=－4，
an=－401，
所以
－401=－5+(n－1)
×(－4)．
解得n=100．
项公式中共有几个
变量？
教师引导学生分析
本题，已知什么？
求什么？怎么求？
学生思考、说出已
知、所求，代入通
项公式．
强调：通项公式是
用含有n的式子表
示
an
学生尝试解答后，
师生共同板书解题
过程．
仿照例1，教师引
导、点拨．
鼓励学生自
主解答，培
养学生运算
能力．
通过例题，
强化学生对
等差数列通
项公式的理
解，强化学
生学以致用
即这个数列的第100项是
－401．
练习二
（1）求等差数列3，7，
11，…的第4，7，10项．
（2）求等差数列10，8，
6，…的第20项．
学生解答．
多媒体出示解题过
程．
学生核对、订正．
教师强调解题过程
要规范、严谨．
的意识．
新
练习三
在等差数列{an}中：
（1）d=－13，a7=8，
求a1；
（2）a1=12，a6=27，
求d
．
例3在3与7之间插入
一个数A，使3，A，7成
等差数列，求A．
解因为3，A，7成等差
数列，所以
A－3=7－A，2A=3+7．
解得A=5．
5．等差中项的定义
一般地，如果a，A，b成
等差数列，那么A叫做a
与b的等差中项．
学生练习．
请学生在黑板上做
题．
教师巡视指导．
师生共同订正．
教师出示例题．
学生同桌之间合作
探究．
学生分析解题思
路．
教师出示答案，订
由特殊到一
般，发挥学
生的自主
性，培养学
生的归纳能
力．
在学生自主
探究的基础
上得出定义
和公式，更
有利于学生
课
6．等差中项公式
如果A是a与b的等差
中项，则
A=
a+b2
这就表明，两个数的等差
正．
师：在a与b之间
插入一个数A，使
a，A，b成等差数
列．你能用a，b来
表示A吗？
学生探究、回答．
理解和运
用．
引导学生观
察、归纳、
猜
中项就是它们的算术平
均数．
7．一个结论
在等差数列a1，a2，a3，…，
an，…中，
a2=a1+a32，
a3=a2+a42，
……
an=
an－1+an+12，
……
这就是说，在一个等差数
列中，从第2项起，每一
项（有穷等差数列的末项
除外）都是它的前一项与
后一项的等差中项．
练习四
求下列各组数的等差中
项：
教师订正学生的回
答，给出等差中项
的定义和公式．
师：你能用文字描
述一下这个式子的
含义吗？
师：在等差数列1，
3，5，7，9，11，
13，…中，每相邻
的三项，满足等差
中项的关系吗？
学生分组合作探
究，得出结论．
师：能将这个结论
推广到一般的等差
数列中吗？
学生继续分组合作
探究．
教师总结学生的回
答，给出结论．
想，培养学
生合理的推
理能力．
通过两道直
接套用公式
的练习题，
强化学生对
（1）732与－136；
（2）492与42．
例4已知一个等差数列
的第3项是5，第8项是
20，求它的第25项．
中项公式的
掌握．
学生在分组
合作探究过
程中，可能
会找到多种
不同的
新
课
所以
a25=－1+(25－1)×3=
71.强调：已知首项a1
和公差d，便可求得等差
数列的任意项an
．
练习五
（1）已知等差数列{an}
中，a1=3，an=21，d=
2，求n
．
（2）已知等差数列{an}
中，a4=10，a5=6，求
a8和d
．
例5梯子的最高一级是
33cm，最低一级是89cm，
中间还有7级，各级的宽
度成等差数列，求中间各
级的宽度．
解用{an}表示题中的
等差数列．已知a1=33，
学生做练习．
学生回答各题结
果，统一订正答案．
教师出示例题．
学生分组合作探
究．
教师点拨、引导：
（1）例题给出了哪
些量？如何用数列
符号表示？
（2）例题中的所求
量是什么？需要知
道哪些条件？
解决办法，
教师要逐一
点评，并及
时肯定、赞
扬学生善于
动脑、勇于
创新的品
质，激发学
生的创造意
识．
鼓励学生自
主解答，培
养学生运算
能力．
an=89，n=9，
则a9=33+(9－1)d，即
89=33+8d，
解得d=7．
于是
a2=33+7=40，
a3=40+7=47，
a4=47+7=54，
教师总结学生思
路，给出解题过程．
通过例题，
强化学生对
等差数列通
项公式的理
解，强化学
生学以致用
的意识．
新
课
a5=54+7=61，
a6=61+7=68，
a7=68+7=75，
a8=75+7=82．
即梯子中间各级的宽从
上到下依次是40cm，47
cm，54cm，61cm，68cm，
75cm，82cm
．．
例6已知一个直角三角
形的三条边的长度成等
差数列．求证：它们的比
是3∶4∶5．
证明设这个直角三角
形的三边长分别为
a－d，a，a+d
．
根据勾股定理，得
(a－d)2+a2=(a+d)2．
解得a=4d
于是这个直角三角形的
三边长是3d，4d，5d，即
学生自主练习．
教师巡视指导．
请个别学生在黑板
上做题后，师生共
同订正．
教师出示例题．
引导学生将题中的
已知和未知转化为
用数列符号表示．
学生解答．
教师巡视指导．
在例题的教
学中，教师
要注重引导
学生分析题
意，教会学
生思考问
题、解决问
这个直角三角形的三边
长的比是3∶4∶5．教师出示解题过
程，强调解题步骤
要规范、严谨，叙
述要简明、完整．
题的思路与
方法；在解
决问题中，
将新的知识
内化到学生
原有的认知
结构中去．
小
结
1．等差数列的定义及通
项公式．
2.等差中项的定义和
公式．
3．等差数列通项公式和
中项公式的应用．
学生阅读课本P9～
P12，畅谈本节课的
收获．
教师引导梳理，总
结本节课的知识点
和解题方法．
教师鼓励学
生积极回
答，答不完
整没有关
系，其它同
学补充．以
此培养学生
的口头表达
能力，归纳
概括能力．
作
业
教材P17，习题第1，2，
6题．
学生课后完成．巩固拓展．