椭圆的第三定义
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2023年2月15日发(作者：城市职能)--
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椭圆的定义与性质
1.椭圆的定义
(1）第一定义:平面内与两个定点F
1
,F
2
的距离之和等于常数(大于|F
1
F
2
|）的点的轨迹叫做椭圆,这两个定
点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距.
(２）第二定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e(０ 定点Ｆ叫做椭圆的焦点,定直线l叫做焦点F相应的准线,根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和两条准线. ２．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ｘ2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0) ＼f（ｙ2,a2)＋＼f(x2，b2） =1(a>b>0） 图形 性质 范围－ａ≤x≤a-ｂ≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 顶点A１(－a,0），Ａ 2 (a，0)A 1 (０,-a)，A 2 （０,a) B 1 (0,－ｂ),B２(0,ｂ）B 1 (－b,0)，B 2 （b,0) 焦点F 1 (-ｃ，0)Ｆ２(c,０)Ｆ 1 （0，-ｃ)F２(0,c） 准线 ｌ１:x=－错误!ｌ２：x= 错误! ｌ 1 ：y=-错误!ｌ 2 ：y＝错误! 轴 长轴A 1 A 2 的长为2a 短轴B 1 B 2 的长为２b 焦距F１Ｆ 2 =2c 离心率ｅ=错误!,且ｅ∈（０,1) a,b,c 的关系 c2=a２-b2 对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点 １．(夯基释疑）判断下列结论的正误.(正确的打“√”，错误的打“×”） （1)动点P到两定点A（－2，0),B(2,０）的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆.() (2)椭圆上一点P与两焦点F 1 ,F 2 构成△PF 1 F 2 的周长为２ａ+２c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半 -- -- 焦距）.() （3)椭圆的离心率ｅ越大，椭圆就越圆．() (４)已知点F为平面内的一个定点,直线l为平面内的一条定直线．设ｄ为平面内一动点Ｐ到定直线l的 距离，若d=错误!｜ＰF|,则点P的轨迹为椭圆．() [解析](１)错误,|PA|+|ＰB|=|AＢ|＝4，点P的轨迹为线段AB；（2)正确，根据椭圆的第一定义知PF 1 +PF ２ =２a，F1 F 2 =２c,故△PF 1 Ｆ 2 的周长为2a＋2c；(３)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁．(4)正确,根据椭圆 的第二定义. ［答案］(1)×（2）√(3)×(4)√ 2．(教材习题改编）焦点在x轴上的椭圆＼f(x2,5）+错误!=1的离心率为错误!，则m＝_＿______． [解析]由题设知a2=5,ｂ2=m,c２=５-ｍ，ｅ2＝错误!＝错误!=（错误!)2＝错误!,∴５-ｍ＝2，∴ｍ=３.[答 案]3 ３．椭圆的焦点坐标为(０，－6),(0,6)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为２0，则椭圆的标准方程为__＿ __. [解析]椭圆的焦点在ｙ轴上，且c＝６,２a=２0，∴ａ=10,b2=ａ２－c２=６４,故椭圆方程为 x2 64 ＋ y2 10０ ＝1. [答案]错误!+错误!＝1 4.(２０14·无锡质检)椭圆 ｘ2 4 ＋＼f(y２，3)＝１的左焦点为F,直线x＝ｍ与椭圆相交于点Ａ,Ｂ,当△FＡB的周 长最大时,△FＡB的面积是______＿_. [解析]直线ｘ＝m过右焦点（1,0）时，△FAB的周长最大,由椭圆定义知，其周长为４a＝8, 此时，|AB｜＝2× b2 a ＝错误!＝3，∴S △FAB =错误!×2×3＝3.[答案]3 ５.(201４·江西高考)过点M（１,1)作斜率为－错误!的直线与椭圆C：错误!+错误!=1(a>ｂ>０）相交于A,B 两点，若Ｍ是线段AB的中点，则椭圆Ｃ的离心率等于＿_＿_____． [解析]设A(x １ ，y1 ),B(x 2 ，y 2 ),则错误!∴错误!＋错误!＝０, ∴ y 1 -y 2 ｘ１ －x2 ＝- ｂ2 a2 ·＼f(x 1 ＋x 2 ,ｙ １ +y2 ). ∵ y 1 -y 2 x 1 -ｘ 2 =－＼f（1,2),x 1 +x 2 ＝2，ｙ 1 ＋y 2 ＝2，∴- b２ ａ2 ＝-错误!， ∴a2＝2b2.又∵b２＝a2－ｃ2，∴a２=2(a2-c2），∴a２=2c2，∴＼f（c，a)=错误!.[答案]错误! 考向1椭圆的定义与标准方程 -- -- 【典例１】(1)(201４·全国大纲卷改编)已知椭圆C：错误!+错误!＝1（a>b＞０）的左、右焦点为Ｆ１、 F２，离心率为＼ｆ(3,３),过F 2 的直线ｌ交C于A、B两点．若△AF１Ｂ的周长为４＼r(3),则C的方程为___ ＿____. (2)(20１4·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=－4,则该椭圆的方程为＿___＿___. [解析](1)由条件知△AF 1 B的周长＝4a＝4错误!，∴a＝错误!. ∵e＝错误!＝错误!,c２＋b2＝a2,∴c=1，b=错误!．∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１. (2)∵椭圆的一条准线为ｘ=-4，∴焦点在x轴上且错误!=4，又2c=4,∴c=2，∴a２=8,b2＝4， ∴该椭圆方程为错误!+错误!=１.[答案](1）错误!＋错误!＝1(２)错误!+错误!＝１, 【规律方法】 (1）一般地,解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决. （2）求椭圆的标准方程有两种方法 ①定义法:根据椭圆的定义，确定ａ２，b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程． ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确， 则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax２＋Bｙ2=1(A>0，B＞0，A≠B). 【变式训练1】(1)（20１３·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(１,0)，离心率等于 ＼ｆ(1,2),则C的方程是___＿___＿. (２）(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是错误!＋错误!=1(a>5),它的两个焦点分别为F 1 ,Ｆ 2 ,且｜Ｆ 1 F 2 |＝ ８，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点Ｆ 1 ,则△ＡBＦ２的周长为___＿____． [解析](1)右焦点F(１,０),则椭圆的焦点在ｘ轴上；c=１. 又离心率为 c a =＼f(1，2)，故a=2,b２＝a2-c2＝4－1＝３，故椭圆的方程为 ｘ2 4 +＼f(y２，3)=1. (2）∵a＞5,∴椭圆的焦点在x轴上，∵|F １ F ２ |＝8,∴c=4,∴a2＝２５＋ｃ2＝41，则a＝＼r(41). 由椭圆定义,|AF1 |+|ＡF 2 |＝|ＢF 2 |＋|BＦ 1 |＝2a, ∴△ABF2 的周长为4a=441.[答案](１)错误!+错误!＝１(２）4错误! 考向2椭圆的几何性质 【典例２】(1）（2013·江苏高考)在平面直角坐标系ｘOy中，椭圆Ｃ的标准方程为 x2 ａ２+ ｙ2 b2 ＝1(ａ>b＞ ０),右焦点为F，右准线为l,短轴的一个端点为B．设原点到直线BF的距离为d 1 ，Ｆ到ｌ的距离为d 2 ,若d 2 ＝6d 1 ，则椭圆C的离心率为_____＿__． （2)(2014·扬州质检)已知Ｆ 1 、F 2 是椭圆C的左、右焦点,点Ｐ在椭圆上,且满足|PＦ１|＝2|ＰF 2 |，∠PF１ Ｆ 2 ＝30°，则椭圆的离心率为___＿＿___． -- -- ［解析］(１）依题意，d 2 =错误!-c=错误!.又ＢＦ=错误!=ａ,所以ｄ 1 =错误!．由已知可得错误!＝ ＼r(6)·＼f(bc,ａ）,所以＼ｒ（6)c２＝ab，即6ｃ4=a2（a2－ｃ２），整理可得a2=3c２,所以离心率ｅ=＼f(ｃ，ａ) ＝＼f(3,3）. (2)在三角形PF 1 F 2 中，由正弦定理得sin∠PF ２ F1 =1，即∠PF ２ F １ =错误!， 设｜PF2 |＝1,则|ＰF 1 |=２，|F 2 F １ |＝3,∴离心率ｅ=错误!=错误!.[答案］(1）错误!(2)错误!, 【规律方法】 1．椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正 弦定理、余弦定理、|PF １ |＋|PF2 |=2a，得到a，c的关系． 2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法： （１)求出a，ｃ,代入公式e=错误!； (2)只需要根据一个条件得到关于ａ,b，c的齐次式,结合ｂ2＝a2-c2转化为a，c的齐次式,然后等式(不等 式)两边分别除以ａ或a２转化为关于ｅ的方程(不等式),解方程（不等式)即可得e(e的取值范围)． 【变式训练2】（1)(２０13·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：错误!+错误!＝1(a>ｂ>0)的左、右焦点分别 为F 1 ,Ｆ２,P是C上的点，PF２⊥F 1 Ｆ 2 ，∠PF 1 Ｆ２＝30°，则C的离心率为____＿___． (2)（２014·徐州一中抽测)已知F１、Ｆ２是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点,∠F１PF 2 =６0°.则椭圆离心 率的范围为________. ［解析］ （1)如图,在Rｔ△PＦ1 Ｆ 2 中,∠ＰF 1 F 2 ＝3０°,∴｜ＰF 1 |=2|ＰF 2 |,且|ＰF ２ |＝错误!｜F1 F 2 |， 又|ＰF1 |＋|PF 2 ｜＝2a，∴｜PF ２ ｜=＼f（2,3）a，于是|F1 Ｆ ２ ｜＝错误!a,因此离心率e＝错误!＝错误!＝ 错误!. （２）法一:设椭圆方程为错误!+错误!＝1(a＞b>0)，｜PＦ1 |＝m,｜PＦ 2 |=n,则ｍ＋n＝2ａ. 在△PF1 F ２ 中,由余弦定理可知，4ｃ２=ｍ2＋n2－2ｍncos60°＝（ｍ＋ｎ）2－3mn =4a2－3mn≥4a2－3·错误!２＝4a２－3a2=ａ2(当且仅当ｍ=n时取等号)．∴错误!≥错误!，即e≥错误!. 又０ -- -- 法二：如图所示,设Ｏ是椭圆的中心,A是椭圆短轴上的一个顶点,由于∠F １ＰＦ2 ＝60°，则只需满足60°≤ ∠Ｆ1 AF 2 即可, 又△F1 AF 2 是等腰三角形，且｜ＡＦ 1 |＝|AF 2 |，所以0°<∠F １Ｆ2 A≤６０°,所以 １ ２ ≤cos∠F 1 Ｆ 2 A＜1， 又ｅ＝cｏs∠F1Ｆ2A,所以e的取值范围是错误!．［答案]（1)错误!（2)错误! 课堂达标练习 一、填空题 1．在平面直角坐标系xＯy中，椭圆C的中心为原点，焦点F１，F 2 在x轴上，离心率为错误!.过Ｆ 1 的 直线l交Ｃ于A，B两点，且△ABＦ 2 的周长为16，那么椭圆C的方程为__＿___＿＿. ［解析］设椭圆方程为 x2 a２ +＼f（ｙ2,b２）=1（a>b>0)，由ｅ=错误!知错误!=错误!,故错误!=错误!. 由于△ABＦ2 的周长为|AB|+|ＢF 2 |＋｜AF 2 ｜＝(|AF 1 ｜＋｜AF 2 |)+(|BF １ |+｜BF ２ |)=4a=1６，故a=4.∴b2＝８. ∴椭圆Ｃ的方程为错误!＋错误!=１．[答案］错误!＋错误!＝1 2.(2013·四川高考改编)从椭圆错误!＋错误!=1(ａ>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1 ，Ａ 是椭圆与x轴正半轴的交点，Ｂ是椭圆与y轴正半轴的交点,且AＢ∥OＰ(O是坐标原点），则该椭圆的离心 率是__＿＿＿＿__. [解析]设P(-ｃ，ｙ 0 )代入椭圆方程求得ｙ ０ ,从而求得k ＯP ,由ｋOP ＝k AＢ 及ｅ＝＼f(c，ａ)可得离心率e． 由题意设Ｐ(－c,y ０ )，将P(-c,ｙ０ )代入＼ｆ（x2,ａ2)＋错误!=1,得错误!＋错误!=１，则ｙ错误!=b2 错误!＝b2·错误!=错误!. ∴y0 =错误!或y 0 =-错误!(舍去),∴P错误!，∴k OP ＝－错误!． ∵Ａ(a,0），B(0，ｂ),∴kAB ＝ b－0 0-ａ ＝－错误!.又∵AB∥ＯP，∴ｋAB =k OP ，∴-错误!＝-错误!,∴ｂ=ｃ. ∴e＝＼f(c,a)=＼f（c,b2＋ｃ２）=错误!＝错误!.[答案]错误! 3.(20１4·辽宁高考）已知椭圆C:错误!＋错误!=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称 点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|ＡN|＋｜ＢN|＝＿__＿＿___. -- -- ［解析]椭圆错误!＋错误!=1中，a=3.如图,设MN的中点为D,则|ＤF 1 |+|DＦ ２ |=２a=６． ∵D，Ｆ１ ,F2 分别为MN，AM，BM的中点，∴|BN｜＝2|ＤF 2 |，｜ＡN｜=2｜DＦ 1 |, ∴|ＡN|+|BN｜=2(|DF1 |+｜DＦ 2 |)＝12．［答案]12 4．（２01４·南京调研)如图,已知过椭圆错误!＋错误!＝1(a>b＞0）的左顶点A(－a，0)作直线ｌ交y轴 于点Ｐ,交椭圆于点Q，若△AOＰ是等腰三角形,且错误!＝2错误!，则椭圆的离心率为______＿_． [解析]∵△AOＰ为等腰三角形,∴OＡ=OＰ，故A(-a,0)，Ｐ(0,a),又错误!=2错误!, ∴Q错误!,由Ｑ在椭圆上得错误!＋错误!=１，解得错误!=错误!.∴e=错误!=错误!＝错误!.[答案] 错误! 5.(2０14·南京质检)已知焦点在ｘ轴上的椭圆的离心率为错误!,且它的长轴长等于圆Ｃ:x２+y2-2x-1５=0 的半径，则椭圆的标准方程是__＿___＿_. [解析]由x2＋y2-2x－15＝0，知r＝４=2a⇒a=2．又e=＼ｆ(c,a)=＼ｆ(１，2)，c=1，则ｂ2=a２－c2= ３. 因此椭圆的标准方程为＼f（x2,4）＋错误!=1.[答案］错误!＋错误!=1 ６．(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C: x2 a２+ y2 ｂ2 ＝１(a>b>０)的左焦点为Ｆ,椭圆C与过原点的直线相交于 Ａ，B两点,连接AF,BＦ.若|AB｜＝1０，|BＦ|=8，cos∠ABＦ＝＼f(４,5），则椭圆Ｃ的离心率为__＿___＿___. [解析]在△ABF中,由余弦定理得，|AF|2=|ＡB|2+｜BF|2－２|AＢ|·|BF|cｏs∠ABF， ∴|ＡＦ|2＝100+64－128=3６，∴|AF|＝６，从而｜AB|2＝|AF|２＋|BF|2，则AF⊥ＢF.∴c=|ＯF|＝ 1 2 |AB| ＝5， 利用椭圆的对称性,设F′为右焦点，则|BF′|=|ＡF｜=６,∴2ａ＝｜BＦ|＋|BF′｜=14，a＝7. 因此椭圆的离心率e＝错误!=错误!．［答案]错误! 7.已知F 1 ，F 2 是椭圆C: ｘ2 a2 ＋＼ｆ(y2，b２)＝1（a＞b>0）的两个焦点,P为椭圆Ｃ上的一点，且 ＼ｏ(ＰF１， → ）⊥错误!.若△PF 1 F 2 的面积为９，则b＝__＿_＿＿_＿． [解析］由定义，｜PF 1 |+｜ＰF 2 ｜＝２ａ，且错误!⊥错误!,∴|PＦ 1 ｜2＋|ＰF2 |2＝|F1 F ２ |２＝４c2， -- -- ∴(|ＰF1 |＋|PＦ 2 ｜)２-２｜PF 1 |｜PF ２ ｜=4c２， ∴2|ＰF １ |｜PF2 |＝4a2-4c2＝４b２,∴|PF 1 ｜|PF ２ |＝2b2.∴Ｓ△PF 1 F 2 ＝＼f（1,2)｜PF 1 ｜|PF 2 |= 1 ２ ×2b2＝ 9， 因此b=3.[答案]３ 8．(２0１3·大纲全国卷改编）已知F１(-1,０)，F 2 (1，0)是椭圆C的两个焦点，过F 2 且垂直于ｘ轴的直 线交Ｃ于A，B两点,且|AB｜＝３,则C的方程为___＿＿_＿_. ［解析］依题意,设椭圆Ｃ：错误!＋错误!=1(a＞ｂ>0)． 过点F ２ (1,０）且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长｜AB|＝3,∴点Ａ错误!必在椭圆上, ∴错误!＋错误!=1.①又由c=1,得１+b2＝a2.②由①②联立，得b2＝3，a2=4. 故所求椭圆C的方程为 ｘ２ 4 ＋＼f（y2,3)=1．[答案］＼f(x2,4)+错误!＝1 二、解答题 ９．(2014·镇江质检)已知椭圆C１：错误!+y2＝1,椭圆C 2 以C 1 的长轴为短轴，且与C 1 有相同的离心率． (1)求椭圆C 2 的方程; （２）设Ｏ为坐标原点，点Ａ，B分别在椭圆Ｃ 1 和C 2 上,错误!=2错误!,求直线ＡB的方程． [解]（1）设椭圆C 2 的方程为错误!＋错误!=１(a>2),其离心率为错误!,故错误!＝错误!，解得a＝ 4. 故椭圆Ｃ2 的方程为＼f(y２,１6）＋错误!=1. (2)法一:A，B两点的坐标分别记为(x A ,ｙ A )，(x Ｂ ,ｙB )， 由错误!＝2错误!及(1)知，O、Ａ、B三点共线且点A、B不在y轴上，因此可设直线AＢ的方程为y=kx. 将ｙ=ｋx代入错误!＋y2＝1中，得（１+4ｋ2）ｘ2=4，所以ｘ错误!＝错误!. 将y=kx代入＼ｆ（y2,1６)＋错误!＝1中,得（４＋k2)x2＝16，所以x错误!=错误!. 又由错误!＝2错误!,得x错误!＝4x错误!，即错误!=错误!, 解得k=±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－ｘ. 法二:A,Ｂ两点的坐标分别记为（ｘ Ａ ，yA ),(x B ,ｙ B )， 由错误!=2错误!及(1)知,O、Ａ、Ｂ三点共线且点A、B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y＝kx. 将y＝kx代入＼f(ｘ2,４）＋y2=1中，得（1+4k2)x2=４,所以ｘ２，A = ４ １＋4ｋ2 .由错误!＝2错误!，得x 错误!＝错误!，y错误!=错误!. -- -- 将x2 B ,y错误!代入错误!＋错误!=1中,得错误!=１，即４＋k2＝１+4ｋ２，解得k＝±1. 故直线AB的方程为y=x或ｙ＝-x. 1０.(2０14·安徽高考）设F 1 ,Ｆ 2 分别是椭圆E：＼ｆ(ｘ2,a2)+错误!=1(ａ>b＞0)的左、右焦点，过点Ｆ 1 的直线交椭圆E于A,B两点，|AF１｜=3|F１B|． (1）若|AB|=4，△AＢＦ 2 的周长为１6,求|AF 2 |; (2）若ｃos∠AF２B＝错误!，求椭圆Ｅ的离心率. [解]（1）由｜ＡF １ |=3｜F1 Ｂ|,｜ＡB|=4，得|ＡF 1 |＝3,|F １Ｂ|=1. 因为△ＡBＦ2 的周长为16，所以由椭圆定义可得４a=1６，|AF １ |＋|ＡF2 |=2ａ=8. 故|AＦ2 |＝２a－|AF 1 |=8－3＝5． (2)设|F 1 B|＝k,则k>0且｜ＡF 1 |=3k,|ＡＢ｜=4ｋ． 由椭圆定义可得 |AF 2 |＝２a-3k,|ＢＦ 2 ｜=2a-k. 在△ABＦ２ 中,由余弦定理可得 |AＢ｜２=|AF 2 ｜２+｜BF 2 ｜２－2｜ＡＦ2 |·|BF ２ |ｃos∠ＡＦ2 Ｂ， 即(４ｋ)2＝(2a-3k)2+(２a-ｋ）2－＼f(6,5）(２ａ－３k)·（2a-k)， 化简可得(a+k)(a-３ｋ)＝0. 而a+k>0，故ａ＝3k. 于是有|AF2 |＝3k＝|AF 1 |，|BF 2 |=５k． 因此|BF2 ｜2=|F ２Ａ|2＋|AＢ｜２，可得F １ A⊥F ２ A， 故△AF1 Ｆ 2 为等腰直角三角形． 从而ｃ=＼f（＼r(2),2)a,所以椭圆E的离心率e=错误!=错误!. -- -- 椭圆的定义与性质 1．椭圆的定义 (1）第一定义：平面内与两个定点Ｆ 1 ,F２的距离之和等于（大于|F 1 F２|)的点的轨迹叫做椭圆, 这两个叫做椭圆的焦点,两个的距离叫做焦距. (2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数( 圆，定点F叫做椭圆的焦点,定直线l叫做焦点Ｆ相应的准线，根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和两条准 线. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程错误!＋错误!=1（a＞ｂ>0)错误!+错误!=1(ａ>b>0) 图形 性质 范围≤x≤≤ｙ≤≤x≤≤y≤ 顶点A 1 (）,A 2 ()A 1 (),A 2 （） B 1 ()，Ｂ 2 ()B１（),B 2 （） 焦点 F 1 ()F 2 () F 1 （)F 2 () -- -- 准线 l 1 :x＝- a2 c l 2 :x＝＼f(a2,c) l 1 ：y＝－错误!l２:ｙ=错误! 轴 长轴Ａ 1 A 2 的长为 短轴B 1 B 2 的长为 长轴A 1 Ａ 2 的长为 短轴B 1 B 2 的长为 焦距F 1 F２= 离心率e＝＼f(c,a），且e∈ a,b,c 的关系 c２= 对称性 对称轴： 对称中心: 1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) （1)动点Ｐ到两定点Ａ(-2，0)，B(2,0)的距离之和为４,则点P的轨迹是椭圆．（) (2)椭圆上一点Ｐ与两焦点Ｆ 1 ，F 2 构成△ＰＦ 1 F 2 的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的 半焦距)．() (３)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆．（) (4)已知点F为平面内的一个定点，直线ｌ为平面内的一条定直线.设d为平面内一动点P到定直线l的 距离,若d＝错误!|PＦ｜，则点P的轨迹为椭圆．（) 2.(教材习题改编)焦点在x轴上的椭圆错误!+错误!＝1的离心率为错误!,则m＝_＿______. 3.椭圆的焦点坐标为(0,-6),（０，６)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为20,则椭圆的标准方程为_____. 4．（201４·无锡质检)椭圆错误!+错误!=1的左焦点为F，直线ｘ=m与椭圆相交于点A，Ｂ，当△FAB的周 长最大时，△FAB的面积是_＿___＿_＿． 5.(2０１4·江西高考）过点M(1,１)作斜率为－ １ ２ 的直线与椭圆C：错误!+错误!＝1(a>b>0)相交于A,Ｂ两点, 若Ｍ是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于____＿___. 考向1椭圆的定义与标准方程 【典例１】(1）(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C：＼f(ｘ2，a２)＋错误!＝1(a>ｂ>0）的左、右焦点为 F 1 、F２,离心率为错误!，过F 2 的直线l交C于Ａ、B两点．若△ＡF１Ｂ的周长为4错误!,则Ｃ的方程为______ ＿_. (２)（2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为４,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为_＿__＿__＿. -- -- 【规律方法】 （1）一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决． (2)求椭圆的标准方程有两种方法 ①定义法：根据椭圆的定义,确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． ②待定系数法：若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出ａ，b；若焦点位置不明确， 则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax２+Ｂｙ2＝1(Ａ>0，B>０,A≠Ｂ)． 【变式训练1】(1)（２013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0),离心率等于 ＼f(1,2)，则Ｃ的方程是＿_______. （2）(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是错误!+错误!=1(a>5),它的两个焦点分别为F 1 ,Ｆ２，且｜F１Ｆ 2 | ＝8，弦AＢ（椭圆上任意两点的线段)过点F 1 ，则△AＢF 2 的周长为＿_＿____＿. 考向２椭圆的几何性质 【典例２】（１）(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xＯｙ中，椭圆Ｃ的标准方程为错误!＋错误!＝ １(a>b>0),右焦点为F，右准线为l,短轴的一个端点为B.设原点到直线ＢF的距离为ｄ 1 ，F到l的距离为d 2 ， 若ｄ 2 =６d 1 ,则椭圆Ｃ的离心率为＿___＿_＿_． （2)(２014·扬州质检)已知Ｆ 1 、F 2 是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足｜PF１|＝2|PＦ 2 |，∠ PF 1 F２＝３0°,则椭圆的离心率为________. 【规律方法】 1.椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正 弦定理、余弦定理、|ＰF1 |＋|PF 2 |=2a，得到a,c的关系． 2.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围），常见有两种方法: (1)求出a，c,代入公式e＝错误!; (2)只需要根据一个条件得到关于a,b，c的齐次式，结合b２＝a２-ｃ2转化为ａ,ｃ的齐次式，然后等式(不 等式)两边分别除以a或ａ２转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e（e的取值范围). 【变式训练2】（1）（２０13·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C： x2 a2 ＋错误!=1(ａ＞b>0)的左、右焦点分别 为Ｆ 1 ,F 2 ，P是Ｃ上的点,PF 2 ⊥F 1 Ｆ２，∠ＰＦ 1 Ｆ２=30°,则C的离心率为＿__＿__＿＿． （2)(2０14·徐州一中抽测)已知F 1 、F 2 是椭圆的两个焦点，Ｐ为椭圆上一点，∠F１ＰF 2 =60°.则椭圆离心 -- -- 率的范围为＿_______． 课堂达标练习 一、填空题 １.在平面直角坐标系xＯy中，椭圆Ｃ的中心为原点,焦点Ｆ 1 ，F 2 在ｘ轴上，离心率为＼f(＼ｒ(2)，２). 过F 1 的直线ｌ交C于A，B两点，且△ＡBF 2 的周长为1６，那么椭圆Ｃ的方程为_＿_＿____． 2.（２0１3·四川高考改编）从椭圆错误!＋错误!＝1(ａ>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点 Ｆ 1 ，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点,且ＡB∥OP(Ｏ是坐标原点),则该椭圆的离 心率是______＿＿． ３．(2014·辽宁高考)已知椭圆C： x2 9 ＋错误!=１,点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点 分别为A，B，线段MN的中点在Ｃ上,则|ＡN|＋|BＮ｜=_____＿__. 4.(2014·南京调研）如图,已知过椭圆错误!+错误!＝1(a>ｂ>0)的左顶点A（-a,０)作直线ｌ交y轴于点P， 交椭圆于点Q，若△ＡOP是等腰三角形，且错误!＝2错误!,则椭圆的离心率为___＿____. 5.(2014·南京质检)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为＼f(1，2），且它的长轴长等于圆C：x2+y2－ 2x-15=0的半径，则椭圆的标准方程是＿__＿____. ６．（2013·辽宁高考改编)已知椭圆Ｃ:错误!+错误!＝１(a>ｂ＞0）的左焦点为Ｆ,椭圆C与过原点的直 线相交于A，B两点，连接ＡF,ＢF.若|ＡB|=10,|BF|=8,cos∠ABF＝错误!,则椭圆C的离心率为__＿_______． ７.已知F１,Ｆ 2 是椭圆C：错误!+错误!＝１(a>b>0）的两个焦点，Ｐ为椭圆Ｃ上的一点,且错误!⊥错误!. 若△PＦ 1 Ｆ 2 的面积为9，则b=_＿______. 8.（2013·大纲全国卷改编)已知F 1 (-1,0)，F 2 (１,0)是椭圆C的两个焦点,过F２且垂直于ｘ轴的直线交C 于Ａ，B两点,且｜AＢ|=3，则C的方程为___＿＿_＿_. 二、解答题 9.（2０14·镇江质检)已知椭圆C１: x2 4 ＋y2=1，椭圆Ｃ２以C 1 的长轴为短轴,且与C 1 有相同的离心率． （１）求椭圆C２的方程; (2)设O为坐标原点,点A,Ｂ分别在椭圆C１和C 2 上，错误!=2错误!,求直线AB的方程． -- -- 1０.(２014·安徽高考)设F 1 ，F 2 分别是椭圆E:错误!＋错误!＝１(ａ>b>0)的左、右焦点，过点F１的直线 交椭圆Ｅ于A,B两点，|AＦ 1 |=3|F 1 Ｂ|． (1)若|ＡB|=4，△ABＦ 2 的周长为16，求|ＡF 2 |;(２）若cos∠AＦ 2 B=错误!，求椭圆E的离心率.