双曲线的焦距

双曲线的焦距

-服饰色彩

2023年2月15日发(作者：蔡和平)

双曲线

最新考纲考情考向分析

了解双曲线的定义、几何图形

和标准方程，知道其简单的几

何性质(范围、对称性、顶点、

离心率、渐近线).

主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，

研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离

心率和渐近线是重点.以选择、填空题为主，难度为

中低档.一般不再考查与双曲线相关的解答题，解题

时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵

活应用双曲线的几何性质.

1.双曲线定义

平面内到两定点F

1

，F

2

的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F

1

F

2

|)的点的集合叫作双

曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距.

集合P＝{M|||MF

1

|－|MF

2

||＝2a}，|F

1

F

2

|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.

(1)当2a<|F

1

F

2

|时，P点的轨迹是双曲线；

(2)当2a＝|F

1

F

2

|时，P点的轨迹是两条射线；

(3)当2a>|F

1

F

2

|时，P点不存在.

2.双曲线的标准方程和简单性质

标准方程

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)

y2

a2

－

x2

b2

＝1(a>0，b>0)

图形

性

质

范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a

对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点

顶点A

1

(－a,0)，A

2

(a,0)A

1

(0，－a)，A

2

(0，a)

渐近线

y＝±

b

a

xy＝±

a

b

x

离心率

e＝

c

a

，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2

实虚轴

线段A

1

A

2

叫作双曲线的实轴，它的长|A

1

A

2

|＝2a，线段B

1

B

2

叫

作双曲线的虚轴，它的长|B

1

B

2

|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，

b叫作双曲线的虚半轴长

a，b，c

的关系

c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)

概念方法微思考

1.平面内与两定点F

1

，F

2

的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？

为什么？

提示不一定.当2a＝|F

1

F

2

|时，动点的轨迹是两条射线；

当2a>|F

1

F

2

|时，动点的轨迹不存在；

当2a＝0时，动点的轨迹是线段F

1

F

2

的中垂线.

2.方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是什么？

提示若A>0，B<0，表示焦点在x轴上的双曲线；若A0，表示焦点在y轴上的双曲

线.所以Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是AB<0.

3.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没有大小要求，

若a>b>0，a＝b>0,0

提示离心率受到影响.∵e＝

c

a

＝1＋









b

a

2，故当a>b>0时，1

(亦称等轴双曲线)，当02.

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内到点F

1

(0,4)，F

2

(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(×)

(2)方程

x2

m

－

y2

n

＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(×)

(3)双曲线方程

x2

m2

－

y2

n2

＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是

x2

m2

－

y2

n2

＝0，即

x

m

±

y

n

＝0.(√)

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.(√)

(5)若双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)与

x2

b2

－

y2

a2

＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e

1

，e

2

，则

1

e2

1

＋

1

e2

2

＝1(此

条件中两条双曲线称为共轭双曲线).(√)

题组二教材改编

2.若双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率

为()

A.5B.5C.2D.2

答案A

解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为

x

a

±

y

b

＝0，即bx±ay

＝0，

∴2a＝

bc

a2＋b2

＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.

∴e2＝

c2

a2

＝5，∴e＝5.

3.已知a>b>0，椭圆C

1

的方程为

x2

a2

＋

y2

b2

＝1，双曲线C

2

的方程为

x2

a2

－

y2

b2

＝1，C

1

与C

2

的离心率

之积为

3

2

，则C

2

的渐近线方程为()

A.x±2y＝0B.2x±y＝0

C.x±2y＝0D.2x±y＝0

答案A

解析椭圆C

1

的离心率为

a2－b2

a

，双曲线C

2

的离心率为

a2＋b2

a

，所以

a2－b2

a

·

a2＋b2

a

＝

3

2

，即a4＝4b4，所以a＝2b，所以双曲线C

2

的渐近线方程是y＝±

1

2

x，即x±2y＝0.

4.经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.

答案

x2

15

－

y2

15

＝1

解析设双曲线的方程为

x2

a2

－

y2

a2

＝±1(a>0)，

把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，

故所求方程为

x2

15

－

y2

15

＝1.

题组三易错自纠

5.(2016·全国Ⅰ)已知方程

x2

m2＋n

－

y2

3m2－n

＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，

则n的取值范围是()

A.(－1,3)B.(－1，3)

C.(0,3)D.(0，3)

答案A

解析∵方程

x2

m2＋n

－

y2

3m2－n

＝1表示双曲线，

∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2

由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，

解得|m|＝1，

∴－1

6.若双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()

A.

7

3

B.

5

4

C.

4

3

D.

5

3

答案D

解析由条件知y＝－

b

a

x过点(3，－4)，∴

3b

a

＝4，

即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，

∴25a2＝9c2，∴e＝

5

3

.故选D.

7.已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±

1

2

x，则该双曲线的标准方程为_________.

答案

x2

4

－y2＝1

解析由双曲线的渐近线方程为y＝±

1

2

x，可设该双曲线的标准方程为

x2

4

－y2＝λ(λ≠0)，已知

该双曲线过点(4，3)，所以

42

4

－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为

x2

4

－y2＝1.

题型一双曲线的定义

例1(1)已知定点F

1

(－2,0)，F

2

(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F

1

关于点N的

对称点为M，线段F

1

M的中垂线与直线F

2

M相交于点P，则点P的轨迹是()

A.椭圆B.双曲线

C.抛物线D.圆

答案B

解析如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF

1

的中点，又O为F

1

F

2

的中点，∴|MF

2

|

＝2.

∵点F

1

关于点N的对称点为M，线段F

1

M的中垂线与直线F

2

M相交于点P，由垂直平分线

的性质可得|PM|＝|PF

1

|，∴||PF

2

|－|PF

1

||＝||PF

2

|－|PM||＝|MF

2

|＝2<|F

1

F

2

|，∴由双曲线的定义

可得，点P的轨迹是以F

1

，F

2

为焦点的双曲线.

(2)已知F

1

，F

2

为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF

1

|＝2|PF

2

|，则cos∠F

1

PF

2

＝________.

答案

3

4

解析∵由双曲线的定义有

|PF

1

|－|PF

2

|＝|PF

2

|＝2a＝22，

∴|PF

1

|＝2|PF

2

|＝42，

则cos∠F

1

PF

2

＝

|PF

1

|2＋|PF

2

|2－|F

1

F

2

|2

2|PF

1

|·|PF

2

|

＝

422＋222－42

2×42×22

＝

3

4

.

引申探究

1.本例(2)中，若将条件“|PF

1

|＝2|PF

2

|”改为“∠F

1

PF

2

＝60°”，则△F

1

PF

2

的面积是多少？

解不妨设点P在双曲线的右支上，

则|PF

1

|－|PF

2

|＝2a＝22，

在△F

1

PF

2

中，由余弦定理，得

cos∠F

1

PF

2

＝

|PF

1

|2＋|PF

2

|2－|F

1

F

2

|2

2|PF

1

|·|PF

2

|

＝

1

2

，

∴|PF

1

|·|PF

2

|＝8，

∴

12

FPF

S＝

1

2

|PF

1

|·|PF

2

|·sin60°＝23.

2.本例(2)中，若将条件“|PF

1

|＝2|PF

2

|”改为“PF

1

→

·PF

2

→

＝0”，则△F

1

PF

2

的面积是多少？

解不妨设点P在双曲线的右支上，

则|PF

1

|－|PF

2

|＝2a＝22，

∵PF

1

→

·PF

2

→

＝0，∴PF

1

→

⊥PF

2

→

，

∴在△F

1

PF

2

中，有|PF

1

|2＋|PF

2

|2＝|F

1

F

2

|2，

即|PF

1

|2＋|PF

2

|2＝16，

∴|PF

1

|·|PF

2

|＝4，

∴

12

FPF

S＝

1

2

|PF

1

|·|PF

2

|＝2.

思维升华(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要

求可求出双曲线方程.

(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF

1

|－|PF

2

|＝2a，运用平方

的方法，建立与|PF

1

|·|PF

2

|的联系.

跟踪训练1设双曲线x2－

y2

3

＝1的左、右焦点分别为F

1

，F

2

，若点P在双曲线上，且△F

1

PF

2

为锐角三角形，则|PF

1

|＋|PF

2

|的取值范围是________.

答案(27，8)

解析如图，由已知可得a＝1，b＝3，c＝2，从而|F

1

F

2

|＝4，由对称性不妨设P在右支上，

设|PF

2

|＝m，

则|PF

1

|＝m＋2a＝m＋2，

由于△PF

1

F

2

为锐角三角形，

结合实际意义需满足









m＋22

42<m＋22＋m2，

解得－1＋7

1

|＋|PF

2

|＝2m＋2，

∴27<2m＋2<8.

题型二双曲线的标准方程

例2(1)(2018·郑州模拟)已知圆C

1

：(x＋3)2＋y2＝1和圆C

2

：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与

圆C

1

及圆C

2

相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________.

答案x2－

y2

8

＝1(x≤－1)

解析如图所示，设动圆M与圆C

1

及圆C

2

分别外切于A和B.

根据两圆外切的条件，

得|MC

1

|－|AC

1

|＝|MA|，

|MC

2

|－|BC

2

|＝|MB|，

因为|MA|＝|MB|，

所以|MC

1

|－|AC

1

|＝|MC

2

|－|BC

2

|，

即|MC

2

|－|MC

1

|＝|BC

2

|－|AC

1

|＝2，

所以点M到两定点C

2

，C

1

的距离的差是常数且小于|C

1

C

2

|＝6.

又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C

2

的距离大，与C

1

的距离

小)，

其中a＝1，c＝3，则b2＝8.

故点M的轨迹方程为x2－

y2

8

＝1(x≤－1).

(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：

①虚轴长为12，离心率为

5

4

；

②焦距为26，且经过点M(0,12)；

③经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7).

解①设双曲线的标准方程为

x2

a2

－

y2

b2

＝1或

y2

a2

－

x2

b2

＝1(a>0，b>0).

由题意知，2b＝12，e＝

c

a

＝

5

4

，

∴b＝6，c＝10，a＝8.

∴双曲线的标准方程为

x2

64

－

y2

36

＝1或

y2

64

－

x2

36

＝1.

②∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.

又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.

∴双曲线的标准方程为

y2

144

－

x2

25

＝1.

③设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0).

∴









9m－28n＝1，

72m－49n＝1，

解得





m＝－

1

75

，

n＝－

1

25

.

∴双曲线的标准方程为

y2

25

－

x2

75

＝1.

思维升华求双曲线标准方程的方法

(1)定义法

(2)待定系数法

①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2＋By2＝1(AB<0).

②与双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1共渐近线的双曲线方程可设为

x2

a2

－

y2

b2

＝λ(λ≠0)；

③与双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1共焦点的双曲线方程可设为

x2

a2－k

－

y2

b2＋k

＝1(－b2跟踪训练2(1)(2018·洛阳调研)设椭圆C

1

的离心率为

5

13

，焦点在x轴上且长轴长为26，若

曲线C

2

上的点到椭圆C

1

的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C

2

的标准方程为

________________.

答案

x2

16

－

y2

9

＝1

解析由题意知椭圆C

1

的焦点坐标为F

1

(－5,0)，F

2

(5，0)，设曲线C

2

上的一点P，则||PF

1

|

－|PF

2

||＝8.

由双曲线的定义知，a＝4，b＝3.

故曲线C

2

的标准方程为

x2

42

－

y2

32

＝1.即

x2

16

－

y2

9

＝1.

(2)(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝

5

2

x，且与椭圆

x2

12

＋

y2

3

＝1有公共焦点，则C的方程为()

A.

x2

8

－

y2

10

＝1B.

x2

4

－

y2

5

＝1

C.

x2

5

－

y2

4

＝1D.

x2

4

－

y2

3

＝1

答案B

解析由y＝

5

2

x，可得

b

a

＝

5

2

.①

由椭圆

x2

12

＋

y2

3

＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，

可得a2＋b2＝9.②

由①②可得a2＝4，b2＝5.

所以C的方程为

x2

4

－

y2

5

＝1.故选B.

题型三双曲线的简单性质

命题点1与渐近线有关的问题

例3过双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，

B，双曲线左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为()

A.y＝±3xB.y＝±

3

3

x

C.y＝±2xD.y＝±

2

2

x

答案A

解析如图所示，连接OA，OB，设双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的焦距为2c(c>0)，则C(－a,0)，

F(－c,0).

由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝

1

2

∠ACB＝

1

2

×120°

＝60°.

因为|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO为等边三角形，

所以∠AOC＝60°.

因为FA与圆O切于点A，所以OA⊥FA，

在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即c＝2a，

所以b＝c2－a2＝2a2－a2＝3a，

故双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±

b

a

x，即y＝±3x.

命题点2求离心率的值(或范围)

例4已知双曲线C：

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F

1

(－c,0)，F

2

(c,0)，A，B是

圆(x＋c)2＋y2＝4c2与C位于x轴上方的两个交点，且F

1

A∥F

2

B，则双曲线的离心率为

________.

答案

3＋17

4

解析由双曲线定义及题意得|AF

2

|＝2a＋2c，|BF

2

|＝2c－2a，

因为F

1

A∥F

2

B，

所以∠F

2

F

1

A＋∠F

1

F

2

B＝180°，

所以cos∠F

2

F

1

A＝－cos∠F

1

F

2

B，

则

4c2＋4c2－2a＋2c2

2×2c×2c

＝－

4c2＋2c－2a2－4c2

2×2c×2c－2a

，

化简得2e2－3e－1＝0，

因为e>1，所以e＝

3＋17

4

.

思维升华(1)求双曲线的渐近线的方法

求双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)或

y2

a2

－

x2

b2

＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等

于0，即令

x2

a2

－

y2

b2

＝0，得y＝±

b

a

x；或令

y2

a2

－

x2

b2

＝0，得y＝±

a

b

x.反之，已知渐近线方程为y＝±

b

a

x，

可设双曲线方程为

x2

a2

－

y2

b2

＝λ(a>0，b>0，λ≠0).

(2)求双曲线的离心率

①求双曲线的离心率或其范围的方法

(ⅰ)求a，b，c的值，由

c2

a2

＝

a2＋b2

a2

＝1＋

b2

a2

直接求e.

(ⅱ)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e

的方程(或不等式)求解.

②双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k＝

b

a

＝

c2－a2

a

＝

c2

a2

－1＝e2－1.

跟踪训练3已知点F

1

，F

2

是双曲线C：

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，

点P在双曲线C的右支上，且满足|F

1

F

2

|＝2|OP|，|PF

1

|≥3|PF

2

|，则双曲线C的离心率的取值

范围是()

A.(1，＋∞)B.







10

2

，＋∞

C.









1，

10

2

D.









1，

5

2

答案C

解析由|F

1

F

2

|＝2|OP|，可得|OP|＝c，故△PF

1

F

2

为直角三角形，且PF

1

⊥PF

2

，则|PF

1

|2＋|PF

2

|2

＝|F

1

F

2

|2.

由双曲线的定义可得|PF

1

|－|PF

2

|＝2a，则|PF

1

|＝2a＋|PF

2

|，所以(|PF

2

|＋2a)2＋|PF

2

|2＝4c2，

整理得(|PF

2

|＋a)2＝2c2－a2.

又|PF

1

|≥3|PF

2

|，即2a＋|PF

2

|≥3|PF

2

|，可得|PF

2

|≤a，所以|PF

2

|＋a≤2a，即2c2－a2≤4a2，

可得c≤

10

2

a.由e＝

c

a

，且e>1，可得1

10

2

.故选C.

高考中离心率问题

离心率是椭圆与双曲线的重要简单性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般

有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，

无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其

中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问

题难点的根本方法.

例1已知椭圆E：

x2

a2

＋

y2

b2

＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y

＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于

4

5

，则椭圆E的离心

率的取值范围是()

A.









0，

3

2

B.









0，

3

4

C.







3

2

，1

D.









3

4

，1

答案A

解析设左焦点为F

0

，连接F

0

A，F

0

B，则四边形AFBF

0

为平行四边形.

∵|AF|＋|BF|＝4，

∴|AF|＋|AF

0

|＝4，

∴a＝2.

设M(0，b)，则M到直线l的距离d＝

4b

5

≥

4

5

，∴1≤b<2.

离心率e＝

c

a

＝

c2

a2

＝

a2－b2

a2

＝

4－b2

4

∈









0，

3

2

，

故选A.

例2已知F

1

，F

2

为双曲线的焦点，过F

2

作垂直于实轴的直线交双曲线于A，B两点，BF

1

交y轴于点C，若AC⊥BF

1

，则双曲线的离心率为()

A.2B.3

C.22D.23

答案B

解析不妨设双曲线方程为

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)，

由已知，取A点坐标为









c，

b2

a

，取B点坐标为









c，－

b2

a

，则C点坐标为









0，－

b2

2a

且F

1

(－

c,0).由AC⊥BF

1

知AC

→

·BF

1

→

＝0，又AC

→

＝









－c，－

3b2

2a

，BF

1

→

＝









－2c，

b2

a

，可得2c2－

3b4

2a2

＝0，

又b2＝c2－a2，可得3c4－10c2a2＋3a4＝0，则有3e4－10e2＋3＝0，可得e2＝3或

1

3

，又e>1，

所以e＝3.故选B.

1.(2018·合肥调研)双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋2y－1＝0垂直，则双

曲线的离心率为()

A.

5

2

B.5C.

3＋1

2

D.3＋1

答案B

解析由已知得

b

a

＝2，所以e＝

c

a

＝

a2＋b2

a2

＝

5a2

a2

＝5，故选B.

2.已知双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为()

A.x±y＝0B.x±3y＝0

C.3x±y＝0D.2x±y＝0

答案C

解析∵双曲线的方程是

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)，

∴双曲线的渐近线方程为y＝±

b

a

x.

又∵离心率e＝

c

a

＝2，

∴c＝2a，∴b＝c2－a2＝3a.

由此可得双曲线的渐近线方程为y＝±

3a

a

x＝±3x，

即3x±y＝0.故选C.

3.已知双曲线C：

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双

曲线C的右支交于点A，若BA

→

＝2AF

→

，且|BF

→

|＝4，则双曲线C的方程为()

A.

x2

6

－

y2

5

＝1B.

x2

8

－

y2

12

＝1

C.

x2

8

－

y2

4

＝1D.

x2

4

－

y2

6

＝1

答案D

解析不妨设B(0，b)，由BA

→

＝2AF

→

，F(c,0)，

可得A









2c

3

，

b

3

，代入双曲线C的方程可得

4

9

×

c2

a2

－

1

9

＝1，即

4

9

·

a2＋b2

a2

＝

10

9

，

∴

b2

a2

＝

3

2

.①

又|BF

→

|＝b2＋c2＝4，c2＝a2＋b2，

∴a2＋2b2＝16，②

由①②可得，a2＝4，b2＝6，

∴双曲线C的方程为

x2

4

－

y2

6

＝1，故选D.

4.(2018·洛阳联考)设F

1

，F

2

分别为双曲线

x2

9

－

y2

16

＝1的左、右焦点，过F

1

引圆x2＋y2＝9的切

线F

1

P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F

1

P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|

等于()

A.4B.3C.2D.1

答案D

解析连接PF

2

，OT，则有|MO|＝

1

2

|PF

2

|＝

1

2

(|PF

1

|－2a)＝

1

2

(|PF

1

|－6)＝

1

2

|PF

1

|－3，|MT|＝

1

2

·|PF

1

|

－|F

1

T|＝

1

2

|PF

1

|－c2－32＝

1

2

|PF

1

|－4，于是有|MO|－|MT|＝









1

2

|PF

1

|－3

－









1

2

|PF

1

|－4

＝1，故

选D.

5.已知双曲线x2－

y2

3

＝1的左、右焦点分别为F

1

，F

2

，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在

一点P使

sin∠PF

2

F

1

sin∠PF

1

F

2

＝e，则F

2

P

→

·F

2

F

1

—→

的值为()

A.3B.2C.－3D.－2

答案B

解析由题意及正弦定理得

sin∠PF

2

F

1

sin∠PF

1

F

2

＝

|PF

1

|

|PF

2

|

＝e＝2，

∴|PF

1

|＝2|PF

2

|，

由双曲线的定义知|PF

1

|－|PF

2

|＝2，

∴|PF

1

|＝4，|PF

2

|＝2，

又|F

1

F

2

|＝4，

由余弦定理可知

cos∠PF

2

F

1

＝

|PF

2

|2＋|F

1

F

2

|2－|PF

1

|2

2|PF

2

|·|F

1

F

2

|

＝

4＋16－16

2×2×4

＝

1

4

，

∴F

2

P

→

·F

2

F

1

—→

＝|F

2

P

→

|·|F

2

F

1

—→

|·cos∠PF

2

F

1

＝2×4×

1

4

＝2.故选B.

6.(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线

x2

4

－

y2

2

＝1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点

A(0，2)，则△APF周长的最小值为()

A.4＋2B.4(1＋2)

C.2(2＋6)D.6＋32

答案B

解析由题意知F(6，0)，设左焦点为F

0

，则F

0

(－6，0)，由题意可知△APF的周长l为

|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF

0

|，∴l＝|PA|＋|PF

0

|＋2a＋|AF|≥|AF

0

|＋|AF|＋2a＝

0＋62＋2－02＋6－02＋0－22＋2×2＝42＋4＝4(2＋1)，当且仅当A，F

0

，

P三点共线时取得“＝”，故选B.

7.已知离心率为

5

2

的双曲线C：

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F

1

，F

2

，M是双曲

线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF

2

，O为坐标原点，若

2

OMF

S

＝16，则双曲线的实轴

长是()

A.32B.16C.84D.4

答案B

解析由题意知F

2

(c,0)，不妨令点M在渐近线y＝

b

a

x上，由题意可知|F

2

M|＝

bc

a2＋b2

＝b，所

以|OM|＝c2－b2＝a.由

2

OMF

S＝16，可得

1

2

ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，

c

a

＝

5

2

，所以

a＝8，b＝4，c＝45，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.

8.已知双曲线C

1

：

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)，圆C

2

：x2＋y2－2ax＋

3

4

a2＝0，若双曲线C

1

的一条渐

近线与圆C

2

有两个不同的交点，则双曲线C

1

的离心率的取值范围是()

A.









1，

23

3

B.







23

3

，＋∞

C.(1,2)D.(2，＋∞)

答案A

解析由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±

b

a

x，即bx±ay＝0，圆C

2

：x2＋y2－2ax＋

3

4

a2＝0

可化为(x－a)2＋y2＝

1

4

a2，圆心C

2

的坐标为(a,0)，半径r＝

1

2

a，由双曲线C

1

的一条渐近线与圆

C

2

有两个不同的交点，得

|ab|

a2＋b2

<

1

2

a，即c>2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2

－a2)，即c2<

4

3

a2，所以e＝

c

a

<

23

3

，又知e>1，所以双曲线C

1

的离心率的取值范围为









1，

23

3

，

故选A.

9.已知双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(5，0)，则a＝

______；b＝________.

答案12

解析由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以

b

a

＝2.

又c＝5，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.

10.已知F

1

，F

2

分别是双曲线x2－

y2

b2

＝1(b>0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，

若|AF

2

|＝2且∠F

1

AF

2

＝45°，延长AF

2

交双曲线的右支于点B，则△F

1

AB的面积等于________.

答案4

解析由题意知a＝1，由双曲线定义知|AF

1

|－|AF

2

|＝2a＝2，|BF

1

|－|BF

2

|＝2a＝2，

∴|AF

1

|＝2＋|AF

2

|＝4，|BF

1

|＝2＋|BF

2

|.由题意知|AB|＝|AF

2

|＋|BF

2

|＝2＋|BF

2

|，

∴|BA|＝|BF

1

|，∵△BAF

1

为等腰三角形，∵∠F

1

AF

2

＝45°，∴∠ABF

1

＝90°，∴△BAF

1

为等

腰直角三角形.

∴|BA|＝|BF

1

|＝

2

2

|AF

1

|＝

2

2

×4＝22，

∴

1

FAB

S＝

1

2

|BA|·|BF

1

|＝

1

2

×22×22＝4.

11.(2018·安阳模拟)已知焦点在x轴上的双曲线

x2

8－m

＋

y2

4－m

＝1，它的焦点到渐近线的距离的

取值范围是__________.

答案(0,2)

解析对于焦点在x轴上的双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0

的距离为

|bc|

b2＋a2

＝b.双曲线

x2

8－m

＋

y2

4－m

＝1，即

x2

8－m

－

y2

m－4

＝1，其焦点在x轴上，则









8－m>0，

m－4>0，

解得4

12.已知双曲线C：

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，FA为半径

的圆交C的右支于P，Q两点，△APQ的一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________.

答案

4

3

解析设左焦点为F

1

，由于双曲线和圆都关于x轴对称，

又△APQ的一个内角为60°，

∴∠PAF＝30°，∠PFA＝120°，|AF|＝|PF|＝c＋a，

∴|PF

1

|＝3a＋c，

在△PFF

1

中，由余弦定理得，

|PF

1

|2＝|PF|2＋|F

1

F|2－2|PF||F

1

F|cos∠F

1

FP，

即3c2－ac－4a2＝0，即3e2－e－4＝0，∴e＝

4

3

(舍负).

13.(2018·南昌调研)已知双曲线C：

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F

1

，F

2

，P为双

曲线C上第二象限内一点，若直线y＝

b

a

x恰为线段PF

2

的垂直平分线，则双曲线C的离心率

为()

A.2B.3C.5D.6

答案C

解析如图，直线PF

2

的方程为y＝－

a

b

(x－c)，设直线PF

2

与直线y＝

b

a

x的交点为N，易知

N









a2

c

，

ab

c

.又线段PF

2

的中点为N，所以P







2a2－c2

c

，

2ab

c

.因为点P在双曲线C上，所以

2a2－c22

a2c2

－

4a2b2

c2b2

＝1，即5a2＝c2，所以e＝

c

a

＝5.故选C.

14.已知F

1

，F

2

是双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F

1

的直线l与双曲线的左支

交于点A，与右支交于点B，若|AF

1

|＝2a，∠F

1

AF

2

＝

2π

3

，则12

2

AFF

ABF

S

S

等于()

A.1B.

1

2

C.

1

3

D.

2

3

答案B

解析如图所示，由双曲线定义可知|AF

2

|－|AF

1

|＝2a.

又|AF

1

|＝2a，所以|AF

2

|＝4a，因为∠F

1

AF

2

＝

2

3

π，所以

12

AFF

S＝

1

2

|AF

1

|·|AF

2

|·sin∠F

1

AF

2

＝

1

2

×2a×4a×

3

2

＝23a2.

由双曲线定义可知|BF

1

|－|BF

2

|＝2a，

所以|BF

1

|＝2a＋|BF

2

|，

又知|BF

1

|＝2a＋|BA|，所以|BA|＝|BF

2

|.

又知∠BAF

2

＝

π

3

，

所以△BAF

2

为等边三角形，边长为4a，

所以

2

ABF

S＝

3

4

|AB|2＝

3

4

×(4a)2＝43a2，

所以12

2

AFF

ABF

S

S

＝

23a2

43a2

＝

1

2

.

15.已知双曲线E：

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F

1

，F

2

，|F

1

F

2

|＝8，P是E右支

上的一点，PF

1

与y轴交于点A，△PAF

2

的内切圆与边AF

2

的切点为Q.若|AQ|＝3，求E的

离心率.

解如图所示，设PF

1

，PF

2

分别与△PAF

2

的内切圆切于M，N，依题意，

有|MA|＝|AQ|，|NP|＝|MP|，

|NF

2

|＝|QF

2

|，

|AF

1

|＝|AF

2

|＝|QA|＋|QF

2

|,2a＝|PF

1

|－|PF

2

|

＝(|AF

1

|＋|MA|＋|MP|)－(|NP|＋|NF

2

|)

＝2|QA|＝23，

故a＝3，从而e＝

c

a

＝

4

3

＝

43

3

.

16.已知双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F

1

，F

2

，点P在双曲线的右支上，

且|PF

1

|＝6|PF

2

|，求此双曲线的离心率e的最大值.

解由定义，知|PF

1

|－|PF

2

|＝2a.

又|PF

1

|＝6|PF

2

|，∴|PF

1

|＝

12

5

a，|PF

2

|＝

2

5

a.

当P，F

1

，F

2

三点不共线时，

在△PF

1

F

2

中，由余弦定理，

得cos∠F

1

PF

2

＝

|PF

1

|2＋|PF

2

|2－|F

1

F

2

|2

2·|PF

1

|·|PF

2

|

＝

144

25

a2＋

4

25

a2－4c2

2·

12

5

a·

2

5

a

＝

37

12

－

25

12

e2，

即e2＝

37

25

－

12

25

cos∠F

1

PF

2

.

∵cos∠F

1

PF

2

∈(－1,1)，∴e∈









1，

7

5

.

当P，F

1

，F

2

三点共线时，

∵|PF

1

|＝6|PF

2

|，∴e＝

c

a

＝

7

5

，

综上，e的最大值为

7

5

.