隐函数是什么
-浙赣会战
2023年2月15日发(作者：教师业务学习心得)Borntowin
2018考研管综初数冲刺模拟卷（396）
答案与解析
二、数学单项选择题
21.【答案】(C)
【解析】由不定积分的概念和性质可知,
d
fxdxfxdxfx.
dx
fxdxdfxfxC,
C
为常数.
dfxdxfxdx.
故应选(C).
22.【答案】A
【解析】对()()xe
x
Fxftdt两边求导数得
()()()()()xxFxfeefxx
()().xxefefx
故本题选A.
23.【答案】(B)
【解析】方法一：用排除法.
由于不可导点也可取极值,如()1fxx,在
0
1x处取极大值,但是
0
1x不是
()1fxx的驻点,所以(A)不正确；
注意到极值的局部性,即极值不是最值,所以(D)也不正确；
对于()|1|fxx,在
0
1x处取极大值,但
0
1x并非是()|1|fxx的极小
值点,所以(C)也不成立；故选(B).
方法二：证明(B)是正确的,因为
0
0x,不妨设
0
0x,则
0
()fx为极大值,则在
0
x的某个领
域内有
00
()()fxfxx；
函数()yfx与函数()yfx关于原点对称,所以必有
00
()()fxfxx,即
在
0
x的某个领域内
0
()fx为极小值,故(B)是正确的.
24.【答案】(B)
Borntowin
【解析】由()fx的导函数是
sinx
,即()sinfxx
,得
()()sincosfxfxdxxdxxC
,其中
C
为任意常数.
所以()fx的原函数
12
()()(cos)sinFxfxdxxCdxxCxC,其中
12
,CC为任意常数.
令
1
0C,
2
1C得()1sinFxx.故选(B).
25．【答案】(B)
【解析】方法1：因3
2
(),(1)()
3
fxxxfx左可导,3
1
2
(1)2
3
x
fx
.
又2
11
lim()lim1(1)()
xx
fxxffx
不右连续()fx在
1x
的右导数不存在,
故选(B).
方法2：
2
(1)
3
f,而2
11
lim()lim1(1)
xx
fxxf
,
所以,()fx在
1x
点不连续,故不可导,但左,右导数可能存在,这只需要用左,右导数定义
进行验证.
2
11
3
11
2
()(1)
3
(1)limlim,
11
22
()(1)
33
(1)limlim2.
11
xx
xx
x
fxf
f
xx
x
fxf
f
xx
故()fx在
1x
点左导数存在,但右导数不存在,故应选(B).
26.【答案】(D)
【解析】因为对任意
12
,xx,当
12
xx时,
12
xx,则函数
12
()()fxfx,即
12
()()fxfx,故()fx是单调增加的.应选择(D).
对于(A)(B)(C)可令3()fxx,则对任意
12
,xx,当
12
xx时,都有
12
()()fxfx,
但2
0
(0)30
x
fx
,
2()3()0fxx
,
3()fxx,在其定义域内单调减少.
Borntowin
故排除(A)(B)(C).
27.【答案】(B)
【解析】题目即考查概率论方面的知识,在计算过程中又用到定积分的一些知识.
由积分的性质,换元积分,并改变积分上下限有
()()()(),
xt
aa
a
Faxdxtdtxdx
随机变量
X
的密度函数为()x,则()1xdx
,又由于()()xx,所以
0
0
1
()()
2
xdxxdx
,(偶函数积分的性质)
即
0
0
1
()()()()
2
aa
aa
xdxxdxxdxxdx
.
于是
000
1
()()()()()()
2
aaa
a
Faxdxxdxxdxxdxxdx
.
故应选(B).
28.【答案】B
【解析】方法１：由于
X
服从二项分布,参数为n,
p
,因此EXnp,DXnpq,即
24
1144
np.,
npp.,
解此方程组得到604n,p.,故应选(Ｂ).
方法２：排除法.由于
X
服从二项分布Bn,p,所以EXnp,DXnpq.易见四个选项
中的n,
p
都满足
24EX.,
但是只有604n,p.时,才有
144DX.
．应选(Ｂ).
29.【答案】(C)
【解析】本题考查||0A的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必
要.
因为对矩阵
A
来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了
||0A的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.
以3阶矩阵为例,若
112
123
134
A
,
条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有||0A,所以(A)、
(B)不满足题意,不可选.
Borntowin
若
123
124
125
A
,则||0A,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.
这样用排除法可知应选(C).
30.【答案】(C)
【解析】当行列式的一行(列)是两个数的和时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式
之和,拆开时其它各行(列)均保持不变.对于行列式的这一性质应当正确理解.
因此,若要拆开n阶行列式AB,则应当是2n个n阶行列式的和,所以(A)错误.矩阵
的运算是表格的运算,它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律,故(B)不正确.
若
1010
,
0102
AB
,则
1
1
11
1
1020
0
2010
2
,
13
1
0301
00
0
22
3
ABAB
.
而且1AB
存在时,不一定11,AB都存在,所以选项(D)是错误的.
由行列式乘法公式ABABBABA知(C)正确.
注意,行列式是数,故恒有ABBA.而矩阵则不行,故(B)不正确.
三、数学计算题
31.【解析】当
0x
时,
2
24
12
()arctan
1
x
fx
xx
,由于
2
24
0000
12
lim()lim()lim()limarctan0
122xxxx
x
fxfxfx
xx
,
2
000
()(0)()1
(0)limlimlimarctan
02xxx
fxffx
f
xxx
,
所以
00
lim()lim()(0)
xx
fxfxf
.
故()fx
在
0x
处连续.
32.【解析】用换元法求定积分.
令tx,则2,2xtdxtdt,则
422
2
111
111
22()
(1)1
(1)
dx
tdtdt
tttt
xx
Borntowin
2
1
214
2ln2(lnln)2ln
1323
t
t
.
33.【解析】
234
4824
,1,0yxyy
xxx
.
无定义点：
0x
,驻点：
2x
.
(,0)
0
(0,2)
2
(2,)
y
+无定义
0+
y
+无定义+++
y
上升无定义下降极小上升
函数在(,0)(2,)单调增加,在(0,2)单调减少,在(,0)(0,)凹,在
2x
取
极小值
2
3
x
y
；
34.【解析】利用定积分的分部积分法求解定积分,
111
1
2222
0
000
111
(2)(2)(2)(2)
222
xfxdxxdfxxfxfxdx
分部法
1
0
1
1(2)0(2)
2
fxfxdx
1
0
11
(2)(2)
22
fxdfx
1
1
0
0
111
(2)(2)(2)
222
fxfxfxdx
1
0
111
(2)(2)(2)
222
fffxdx
,
令
2tx
,则
11
,
22
xtdxdt,
所以
12
00
1
(2)()
2
fxdxftdt.
把
1
(2),(2)0
2
ff
及
2
0
()1fxdx代入上式,得
11
2
00
111
(2)(2)(2)(2)
222
xfxdxfffxdx
2
0
1111
(2)(2)()
2222
ffftdt
Borntowin
11111
010
22222
.
35.【解析】(1)因为边际成本函数是可变成本的微分,而总成本固定成本可变成本.
则总成本函数
223
0
1xCttdtxxx,
边际收入函数是总收入函数的微分,所以总收入函数
2
0
3210325xRtdtxx,
总利润总收入总成本,所以,总利润函数
223233251RCxxxxxxxx.
36.【解析】方法1：作辅助函数,将等式的右边移到等式的左边,令为Fx,y,z,即
22
z
Fx,y,zxzy
y
,
由复合函数可导性及求导法则及隐函数求导法则,有
y
zzz
Fx,y,z
yyy
,2
z
z
Fx,y,zz
y
,
故
2
y
z
zz
yz
Fx,y,z
yy
z
yFx,y,z
z
yzy
y
.
方法2：将原式两边同时对
y
求偏导,将z看做x和
y
的函数,x看作常数,得
2
11
2
zzzz
zyz
yyyyyy
,
由上式解出
z
y
,
22
zzzzz
yz
yyyyy
z
y
zz
zyzy
yy
.
37.【解析】||
1
()()
2
xx
tFxPXxftdtedt
,
当
0x
时,
11
()()
22
xx
txFxftdtedte
；
当
0x
时,
00
00
11
()()()
22
xx
ttFxftdtftdtedtedt
0
0
11
22
x
ttee
111
(1)1
222
xxee.
Borntowin
因此,
X
的分布函数为
1
,0,
2
()
1
1,0.
2
x
x
ex
Fx
ex
38.【解析】||()()0
2
x
x
EXxfxdxedx
.
(因为被积函数||
2
x
x
e是奇函数,积分区域关于
y
轴对称,所以积分值为0.)
2
2||
2||2
0
()()
2
11
2
22
x
xx
x
DXxfxdxedx
xedxxedx
偶函数积分的性质
22
0
00
0
0
0
2
2
2()2.
xxx
xx
x
xedxxexedx
xeedx
e
（+）
39.【解析】方法一：本题可采用一般的解法如下：
由
XAXB,
得EAXB.
因为
1
1
110021
1
101321
3
102011
EA,
所以1
021
1131
1
321
2020
3
011
5311
XEAB.
方法二：本题还可用由EAXB作初等行变换EABEX,此解法优点是
少算一次矩阵乘法,可以适当减少计算量.
11011
10120
10253
EAB
,
第一行乘以1分别加到第二行和第三行上,再第三行乘以1加到第三行上,得
11011
01111
00333
Borntowin
第三行自乘
1
3
,再加到第二行上,第二行再加到第一行上,有
10031
01020
00111
,
所以
31
20
11
X.
40.【解析】m个n维向量
12m
,,,线性相关的充分必要条件是齐次方程组.
1
2
12
0
m
m
x
x
x
有非零解.
特别地,n个n维向量
12
,,,
n
线性相关的充分必要条件是行列式
12
,,,0
n
.
由于
123
111
,,1235
13
t
t
,
故当
5t
时,向量组
123
,,线性无关；
5t
时向量组
123
,,线性相关.