函数的导数怎么求

函数的导数怎么求

-临汾电视台

2023年2月15日发(作者：数控系统)

用心爱心专心121号编辑1

几种常见函数的导数

课题：3．2几种常见函数的导数

教学目的：

1.掌握四个公式，理解公式的证明过程.

2.学会利用公式，求一些函数的导数.

3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题

教学重点：用定义推导常见函数的导数公式．

教学难点：公式1)'(nnnxx)(Qn的推导．

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.导数的定义：设函数)(xfy在

0

xx处附近有定义，当自变量在

0

xx处有增量x

时，则函数()yfx相应地有增量

)()(

00

xfxxfy，如果0x时，y与x的

比

x

y





（也叫函数的平均变化率）有极限即

x

y





无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函

数)(xfy在

0

xx处的导数，记作

0

/

xx

y



，即

x

xfxxf

xf

x







)()(

lim)(00

0

0

/

2.导数的几何意义：是曲线)(xfy上点（

)(,

00

xfx）处的切线的斜率因此，如果

)(xfy在点

0

x可导，则曲线)(xfy在点（)(,

00

xfx）处的切线方程为

))(()(

00

/

0

xxxfxfy

3.导函数(导数):如果函数)(xfy在开区间),(ba内的每点处都有导数，此时对于每一

个),(bax，都对应着一个确定的导数

)(/xf，从而构成了一个新的函数)(/xf,称这个函数

)(/xf为函数)(xfy在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y，即)(/xf＝/y＝

x

xfxxf

x

y

xx











)()(

limlim

00

函数)(xfy在

0

x处的导数

0

/

xx

y



就是函数)(xfy在开区间),(ba)),((bax上导

数

)(/xf在

0

x处的函数值，即

0

/

xx

y



＝

)(

0

/xf所以函数)(xfy在

0

x处的导数也记作

)(

0

/xf

导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函

用心爱心专心121号编辑2

数在给定点的导数，就是求导函数值它们之间的关系是函数)(xfy在点

0

x处的导数就是导

函数)(/xf在点

0

x的函数值

4.可导:如果函数)(xfy在开区间),(ba内每一点都有导数，则称函数)(xfy在开区

间),(ba内可导

5.可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续，

反之不成立.函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.

6.求函数)(xfy的导数的一般方法：

（1）求函数的改变量)()(xfxxfy

（2）求平均变化率

x

xfxxf

x

y









)()(

（3）取极限，得导数/y＝()fx





x

y

x



0

lim

二、讲解新课：

1.0'C(C为常数)

说明：此公式可以叙述为：常函数的导数为零．其几何解释是：函数Cy的图象是平行

于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0.

证明：()yfx=C，∴Δy=f(x+Δx)－f(x)=C－C=0

∴

x

y





=0，y



=C′=

x

y

x



0

lim=0，∴y



=0.

2.1)'(nnnxx(Qn)

说明：实际上，此公式对Rn都成立，但证明较复杂，所以课本只给出了*Nn的证明

证明：()yfx=nx

∴Δy=f(x+Δx)－f(x)=

()nnxxx

=nx+1C

n

1nxΔx+2C

n

2nx(Δx)2+…+n

n

C()nx－nx

=1C

n

1nxΔx+2C

n

2nx(Δx)2+…+n

n

C·()nx

x

y





=1C

n

1nx+2C

n

2nxΔx+…+n

n

C·1()nx

∴y



=

()nx



=

x

y

x



0

lim

用心爱心专心121号编辑3

=

0

lim

x

（1C

n

1nx+2C

n

2nxΔx+…+n

n

C·1()nx)=1C

n

1nx=n1nx

∴y



=1)'(nnnxx

)'(sin

证明方法一：y=sinx，Δy=sin(x+Δx)－sinx=sinxcosΔx+cosxsinΔx－sinx

x

xxxxx

x

y









sinsincoscossin

∴y



=

x

xxxxx

x

y

xx











sinsincoscossin

limlim

00

0

sin(cos1)cossin

lim

x

xxxx

x







2

00

sin(2sin)

sin

2

limlimcos

xx

x

x

x

x

xx











2

0

2

sin

2

lim(2sin)cos

4

()

2

x

x

x

xx

x









=－2sinx·1·0+cosx=cosx

∴y



=cosx

证明方法二：xysin，

2

)(

sin

2

)(

cos2sin)sin(

xxxxxx

xxxy





2

sin

2

cos2

xx

x

















，

2

2

sin

2

cos

x

x

x

x

x

y

























，

∴

0

lim)'(sin'





x

xy

2

2

sin

2

coslim

0x

x

x

x

x

y

x

























x

x

x

x

x

xx

cos

2

2

sin

lim

2

coslim

00

























．

)'(cos

证明方法一：y=cosx，

Δy=cos(x+Δx)－cosx=cosxcosΔx－sinxsinΔx－cosx

用心爱心专心121号编辑4

y



=

x

xxxxx

x

y

xx











cossinsincoscos

limlim

00

0

cos(cos1)sinsin

lim

x

xxxx

x







2

00

cos(2sin)

sin

2

limlimsin

xx

x

x

x

x

xx











2

0

2

sin

2

lim(2cos)sin1

4

()

2

x

x

x

xx

x









2cos10sinsinxxx

∴y



=－sinx

证明方法二：xycos，

2

)(

sin

2

)(

sin2cos)cos(

xxxxxx

xxxy





2

sin

2

sin2

xx

x

















，

2

2

sin

2

sin

x

x

x

x

x

y

























，

∴

0

lim)'(cos'





x

xy

2

2

sin

2

sinlim

0x

x

x

x

x

y

x

























x

x

x

x

x

xx

sin

2

2

sin

lim

2

sinlim

00

























．

∴y



=－sinx.

第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，

要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.我们把上面四种函数的导数可以作为

四个公式，以后可以直接用

三、讲解范例：

例1求(1)(x3)′(2)(

2

1

x

)′(3)(

x

)′

解：(1)(x3)′=3x3－1=3x2；

(2)(

2

1

x

)′=(x－2)′=－2x－2－1=－2x－3

用心爱心专心121号编辑5

(3)

x

xxxx

2

1

2

1

2

1

)()(2

1

1

2

1

2

1









例2质点运动方程是

5

1

t

s,求质点在2t时的速度．

解：∵

5

1

t

s，

∴65

5

5)()

1

(











tt

t

s,

∴

64

5

256

2





t

s．

答：质点在2t时的速度是

64

5

．

例3求曲线xysin在点A)

2

1

,

6

(



的切线方程．

解：∵xysin∴xxycos)(sin







∴

2

3

6

cos

6











x

y

∴所求切线的斜率

2

3

k

∴所求切线的方程为)

6

(

2

3

2

1

xy，

即

0361236yx

答：曲线xysin在点A)

2

1

,

6

(



的切线方程为

0361236yx

．

四、课堂练习：

1．(口答)求下列函数的导数：(1)y=x5(2)y=x6(3)x=sint(4)u=cos

答案：(1)y′=(x5)′=5x4；(2)y′=(x6)′=6x5；

(3)x′=(sint)′=cost；(4)u′=(cos)′=－sin

2.求下列函数的导数：(1)y=

3

1

x

(2)y=3x

答案：(1)y′=(

3

1

x

)′=(x－3)′=－3x－3－1=－3x－4

(23

2

1

3

1

3

1

3

3

1

3

1

)()(











xxxxy

3.质点的运动方程是s=t3，(s单位m，t单位s)，求质点在t=3时的速度.

解：v=s′=(t3)′=3t3－1=3t2

当t=3时，v=3×32=27m/s，∴质点在t=3时的速度为27m/s

用心爱心专心121号编辑6

4.物体自由落体的运动方程是s=s(t)=

2

1

gt2，(s单位m，t单位s，g=9.8m/s2)，求t=3时的

速度.

解：v=s′(t)=(

2

1

gt2)′=

2

1

g·2t2－1=gt.

t=3时，v=g·3=9.8·3=29.4m/s，∴t=3时的速度为29.4m/s.

5.求曲线y=x4在点P(2，16)处的切线方程.

解：y′=(x4)′=4x4－1=4x3.∴y′|x=2=4·23=32

∴点P(2，16)处的切线方程为y－16=32(x－2)，即32x－y－48=0

五、小结：这节课主要学习了四个公式:①C′=0(C是常数)，②(xn)′=nxn－1(n∈R)，③(sinx)′

=cosx，④(cosx)′=－sinx

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：