概率c
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2023年2月15日发(作者：继电器符号)《概率论与数理统计》试卷第1页共6页
东莞理工学院(本科)试卷(C卷)
2011--2012学年第二学期
一、填空题(共70分每空2分)
1、已知P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(A/B)=0.4,则P(AUB)=0.7。
2、已知P(A)=0.7,P(A-B)=0.3，则P(AUB)=_06
3、甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现
已知目标被命中，则它是乙射中的概率是84、一批产品共有6件正品2件次
品，从中不放回任取两件，则两件都是正品的
概率为28
5、某种动物活到25岁以上的概率为0.8,活到30岁的概率为0.4,则现年25岁的这
种动物活到30岁以上的概率是0.5。
&设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们被损坏而发生断路概
率均为P，则电路发生断路的概率是_1-(1-P)3。
9、指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。设某款电器的寿
命(单位：小时)的密度函数为
^0.002e^.002t,t>0
⑴冷，其它
则这种电器没有用到1000小时就坏掉的概率为1-e°，这种电器的寿命的
标准差为500小时。
10、设随机变量X服从参数为入的泊松分布，P{X=2}=P{X=1}，则EX=2
11、设随机变量X~N(3,22),则P(1CXC3)=0.3413
Y服从分布N(7,16)。
12、设X为连续性随机变量，则对于任意确定的常数a,有P(X=a)=_0
14、设X~N(0,4)，Y~B(9,
1
)，若X，丫相互独立，则D(2X-3Y)=—343
，设丫=2X+1,则
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若X和丫的相关系数PX
Y=-1/3，则D(2X-3Y)=34+8血。
15
、设
X
的概率密度为：小，
0
笃它
16、设二维随机向量(X,Y)的联合分布密度函数fxY(x)=fJ
1°
丫的密度函数fY(y)訂yb八
0
，EX=1
10,yc0
17、设随机变量X〜B(1000,0.2),由中心极限定理可得P(X>200)的近似值为
0.5。
18、.设随机变量X，丫的概率密度分别为：
fx(x-r
0
其它
1,
，f小仁其叢」
已知随机变量X和丫相互独立.则概率P^Y-X<0}=0.420、在假设检验中，在
假设检验中，显著水平为a,若H1为真，却拒绝H1，
称为犯第—类错误，犯此类错误的概率为a21、设Xi,...,Xi0及Y,,...,丫15分
别是总体N(20,6)的容量为10，15的两个独立样
本，X,丫分别为样本均值，S2,S2分别为样本方差。贝U：X-丫〜N(0,1)，
_I3S2
-Y>V=0.3174，-S12~/2(9)，盘~F(9,14)
2-----S2-----------------------
二、计算题(每题6分，共24分)
1、已知某产品的次品率为0.01，现随机抽取200件产品，其中次品数记为X，
(1)求X的分布律，并写出恰有二件次品的概率计算式;
(不要求算出数值结果)(3分)
(2)根据相关定理，X近似服从泊松分布。请写出该泊松分布，并用泊松
分布计算恰有二件次品的概率(3分)。
解：(1)X〜B(200,0.01)，分布律：P(X=k)=C；00(0.01)5(0.99)200^
(k=0,1,2,…，200)
《概率论与数理统计》试卷
g其它则,
《概率论与数理统计》试卷第3页共6页
恰有二件次品的概率P(X=2)=C爲(0.01)2X(0.99)98
(2)X近似服从泊松分布P仏)，几=np=200x0.01=2，X〜P(2)
eN22恰有二件次品的概率P(X=2)=e一—=2e工2!
2、设总体X的概率密度为
f(X)=
14-
0e,x>0,其中0>0为未知常数，X1,X2，…，Xn为X的j0,X<
0,
一个简单随机样本，求:
(1)日的矩估计量(3分)；
(2)9的最大似然估计量(3分)。
解：(1)寫X服从指数分布E(8)，二EX，令EX=X0=X
二9的矩估计量^=X
(2)似然函数L=f(Xi)f(X2)…f(Xn)=
X1+X2+•
•+Xn1-一e日
n
3
、
1
InL=-nIn£—一(x1+X2十"+xn)
6
dInL—n亠1,丄丄…丄、
----=中—(X1中X2中+Xn)
dH012n
令Unk=0，得0二丄刍+X2+…+xn)
dTn
/.0的最大似然估计量鱼=X从正态总体N(巴b2)
中抽取容量为5的样本值:
(1)
1.8，3.2,144.0,
2.6,
已知b=1.05，求卩的置信水平为0.95的置信区间;
若b未知，求卩的置信水平为0.95的置信区间。
(t0.05⑷=2.1318t0.025⑷=2.7764，鮎.025(5)=2.5706,to.o5(5)=2.0150)
1
5.5
解：样本均值XXi=2.6，样本方差S2(Xj-X)2=1.1，s=1.0488
5y4i=
(1)已知b=1.05，4的置信水平为0.95的置信区间为(X^Zoo25)
Vn
i=
《概率论与数理统计》试卷第4页共6页
105
即(2.6±-^x1.96),即卩(2.6±0.92)，即(1.68,3.52)
（2）若b未知，卩的置信水平为0.95的置信区间为（乂±-^to025（4））
Jn■
即(2.6±
10488X2.7764)，即(2.6±1.30)，即(1.30,3.90)75
4、某厂家声称其生产的某型号手机待机时间不低于100小时。从该厂家生产的
该型号手机总体中随机取得一个样本容量为16的样本，经测试待机时间为：
103,90,95,101,99,93,102,102,95,90（单位：小时）。设该厂家生
产的该型号手机待机时间服从正态分布。经计算求该厂家生产的该型号手机
待机时间的样本均值为97小时，样本标准差为5.03小时。请以95%的可靠程度
检验该厂家声明是否真实可信？
解：H0:4>100,H1:卩<100
可靠程度95%时，显著水平a=0.05,拒绝域：tV-tQ.Q
5（15）,即t<-1.731
计算统计量t=g^=97
一
100=-2.98，在拒绝域，故拒绝Ho，按受H1s5.03
42
该厂家声明不可信。
三、应用题（共6分）
已知一批产品中有95%是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判
为次品的概率为0.02,—个次品被误判为合格品的概率是0.03,求：（1任
意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；（2）—个经检查被判为合格的产
品确实是合格品的概率。
解：令A|=｛合格品｝,A2=｛次品｝,P(Ai)=0.95,P(A2)=0.05
B=｛产品检验为合格品｝，则P（BA。=0.98,P（BA2）=0.03
«）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率
2
P(B)=ZP(B|A)卩(4)=0.9^0.95中0.03X0.05=0.9325
（2）—个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率
《概率论与数理统计》试卷第5页共6页
P(A1B^P(BlA!)P(A|)_
0.9^0.95
P(B厂P(B)
=6e'打e」ydy=2e'x，当x<0时，fx(x)=0
P(AiB)=
0.9325“9984
2、二维随机变量（
X,丫的概率密度为
rAef（x,y）=
Ae
_(2x卡y)
0,
XA0,y>
0其他
求：(1)系数A;
LLf(x,
y
)dxd^0dx，0
Ae
解：（1）
（2）X,Y的边缘密度函数；
（3）
X,Y是否独立。
dy=A，0e/xdx，0e」ydy
1-be2x-be3y
6A.0e'xd(—2x)le」yd(—3y)=
A(e-x
+处3V
0)
(e
+oC
0
)
（2）当XAO时，X的边缘密度函数fx（x）=
-be
LJ(x,y)dy=
0Fxe」ydy
二fx（X）
_Re'x,X>0
—10,xE0
当y>0时,丫的边缘密度函数fY(y)=L.f(x,y)dx=06edxe'ydx
'=—10
=6eT
'xdx=3e'yx，当
y<0时，fY(y)=O
二fY（y）才
“3,yA0
0,y兰0
(3)寫fx(x)fY(y)=f(x,y)二X,Y独立。
3、从某饮料生产商生产的某种瓶装饮料中随机抽取100瓶，测得其营养成分A含量的平均
值为6.5克，样本标准差为1.0克。求该瓶装饮料中营养成分A含量的均值卩的置信水
平为95%的置信区间。
解：样本容量
n=100,为大样本b止S=1.0,1-a=95%,a=0.05
总体均值
CT
卩的置信水平为95%的置信区间为（X±〒Z0.025）
Jn
即(6.5±
曲00
1
=x1.96)，即(6.5±0.196)，即(6.304,6.696)
4、设X服从（0,日）上的均匀分布,9为未知参数，求9的矩估计量和最大似然估计量
《概率论与数理统计》试卷第6页共6页
解：(1)EX=9，令EX=X
2
11
(2)X的概率密度f(x)={6,
L0,
1
.•.似然函数L=n(X1,X2,-,Xn€(0,9))
9
欲使L最大，则0应取最小值。故取0=max{x1,X2,…，xn}
/.日的最大似然估计量铠=max{X1,X2,…,Xn}
、应用题（共6分）
某房地产开发公司经常需要购进灯泡，原供货商提供的灯泡平均使用寿命为时。现
有一个新的供货商愿意提供同类灯泡，价格也很相近，并声称他们的灯泡平均使用
寿命要显著高于1500小时，这对该公司具有一定的吸引力，如果灯泡平均使用寿命显著大
于1500小时，公司则准备购进新供货商的灯泡。为此，该公司管理人员对该供货商提供的
/.拒绝H。，接受H1
我（0
出）
其它
1500小
64个灯泡样品进行了检测，测得灯泡的平均寿命为1565小时，标准差为195小时，显著
性水平a=0.05，判断新供货商所提供灯泡的平均使用寿命是否显著大于
1500小时?
解：n=64,是大样本，应使用Z检验。bszS
H。：卩1500
显著水平a=0.05，拒绝域：ZA1.645
x—卩
计算统计量~Z=-一0c
Tn
1565-1500…
----------=2.67,
195
落在拒绝域
4、设X服从（0,日）上的均匀分布,9为未知参数，求9的矩估计量和最大似然估计量
《概率论与数理统计》试卷第7页共6页
二新供货商所提供灯泡的平均使用寿命是显著大于1500小
时。