函数求值域

函数求值域

-5种血管瘤图片

2023年2月15日发(作者：刑法全文)

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求函数值域的十种方法

一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1．求函数1yx的值域。

【解析】∵0x，∴11x，∴函数1yx的值域为

[1,)

。

【练习】

1．求下列函数的值域：

①

32(11)yxx

；②

xxf42)(

；

③

1



x

x

y

；○4112xy，2,1,0,1x

。

【参考答案】①

[1,5]

；②

[2,)

；③

(,1)(1,)

；○4

{1,0,3}

。

二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如

2()()()Fxafxbfxc的函数的值域问题，均可使用配方法。

例2．求函数242yxx（

[1,1]x

）的值域。

【解析】2242(2)6yxxx。

∵11x，∴321x，∴21(2)9x，∴23(2)65x，∴

35y

。

∴函数242yxx（

[1,1]x

）的值域为

[3,5]

。

例3．求函数)4,0(422xxxy

的值域。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：

)0)((4)(2xfxxxf配方得：)4,0(4)2()(2xxxf利用二次函数的相关知识得

4,0)(xf，从而得出：0,2y







。

说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：

0)(xf

。

例4．若

,42yx0,0yx

，试求

yxlglg

的最大值。

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【分析与解】本题可看成第一象限内动点

(,)Pxy

在直线

42yx

上滑动时函数

xyyxlglglg

的最大

值。利用两点

(4,0)

，

(0,2)

确定一条直线，作出图象易得：

2(0,4),(0,2),lglglglg[(42)]lg[2(1)2]xyxyxyyyy而，y=1时，

yxlglg

取最大

值

2lg

。

【练习】

2．求下列函数的最大值、最小值与值域：

①

142xxy

；②]4,3[,142xxxy；③]1,0[,142xxxy；

④]5,0[,142xxxy；○5

x

xx

y

422

，]4,

4

1

[x；○6223yxx

。

【参考答案】①

[3,)

；②

[2,1]

；③

[2,1]

；④

[3,6]

；○5

73

[6,]

4

；○6

[0,2]

三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的

值域。

适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数

类型。

例5．求函数

1

2





x

x

y的值域。

分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x，从而便于求出反函数。

1

2





x

x

y反解得

y

y

x





2

，故函数的值域为

(,2)(2,)

。

【练习】

1．求函数

23

32

x

y

x







的值域。

2．求函数

axb

y

cxd







，

0,

d

cx

c









的值域。

【参考答案】1．

22

(,)(,)

33



；

(,)(,)

aa

cc



。

四．分离变量法：

适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

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例6：求函数

1

25

x

y

x







的值域。

解：∵

177

(25)

11

222

2525225

x

x

y

xxx









，

∵

7

2

0

25x





，∴

1

2

y，∴函数

1

25

x

y

x







的值域为

1

{|}

2

yy。

适用类型2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为

)(xfky

(为k常

数)的形式。

例7：求函数

12

2







xx

xx

y的值域。

分析与解：观察分子、分母中均含有

xx2项，可利用分离变量法；则有

22

22

11

11

xxxx

y

xxxx







2

1

1

13

()

24

x





。

不妨令：)0)((

)(

1

)(,

4

3

)

2

1

()(2xf

xf

xgxxf从而







,

4

3

)(xf

。

注意：在本题中若出现应排除

0)(xf

，因为

)(xf

作为分母.所以

4

()0,

3

gx















故1,

3

1







y

。

另解：观察知道本题中分子较为简单，可令

2

22

11

1

xx

t

xxxx







，求出t的值域，进而可得到

y

的

值域。

【练习】

1．求函数

1

322

2

2







xx

xx

y的值域。

【参考答案】1．

10

(2,]

3

五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方

法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根

式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

例8：求函数212yxx的值域。

解：令12tx（0t），则

21

2

t

x



，∴22

15

1()

24

yttt。

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∵当

1

2

t，即

3

8

x时，

max

5

4

y，无最小值。∴函数212yxx的值域为

5

(,]

4

。

例9：求函数221(1)yxx

的值域。

解：因21(1)0x，即2(1)1x。

故可令

1cos,[0,]x

，∴

1cossincos11cosy2

1)

4

sin(2





。

∵









4

5

44

,0，

2

sin()1

24



，02sin()112

4





故所求函数的值域为

]21,0[。

例10.求函数3

4221

xx

y

xx







的值域。

解：原函数可变形为：2

22

121

211

xx

y

xx







可令X=tan，则有2

2

22

21

sin2,cos

11

xx

xx









11

sin2cos2sin4

24

y

当

28

k



时，

max

1

4

y

当

28

k



时，

min

1

4

y

而此时

tan

有意义。

故所求函数的值域为















4

1

,

4

1

例11.求函数

(sin1)(cos1)yxx

，

,

122

x











的值域。

解：

(sin1)(cos1)yxx

sincossincos1xxxx

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令

sincosxxt

，则2

1

sincos(1)

2

xxt

22

11

(1)1(1)

22

yttt

由

sincos2sin()

4

txxx





且

,

122

x











可得：

2

2

2

t

∴当

2t

时，

max

3

2

2

y

，当

2

2

t

时，

32

42

y

故所求函数的值域为

323

,2

422









。

例12.求函数245yxx

的值域。

解：由250x

，可得

||5x

故可令

5cos,[0,]x

5cos45sin10sin()4

4

y





∵

0

5

444





当

4





时，

max

410y

当



时，

min

45y

故所求函数的值域为：

[45,410]

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六、判别式法：把函数转化成关于x的二次方程

(,)0Fxy

；通过方程有实数根，判别式

0，从而求得原函数的值域，形如

2

111

2

222

axbxc

y

axbxc







（

1

a

、

2

a

不同时为零）的函数的值域，常用此方

法求解。

例13：求函数

2

2

3

1

xx

y

xx







的值域。

解：由

2

2

3

1

xx

y

xx







变形得2(1)(1)30yxyxy，

当

1y

时，此方程无解；

当

1y

时，∵xR，∴2(1)4(1)(3)0yyy，

解得

11

1

3

y，又

1y

，∴

11

1

3

y

∴函数

2

2

3

1

xx

y

xx







的值域为

11

{|1}

3

yy

七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数

的值域。

例14：求函数12yxx的值域。

解：∵当x增大时，12x随x的增大而减少，12x随x的增大而增大，

∴函数12yxx在定义域

1

(,]

2

上是增函数。

∴

111

12

222

y，

∴函数12yxx的值域为

1

(,]

2

。

例15.求函数

11yxx

的值域。

解：原函数可化为：

1x1x

2

y





令

1,1

21

xyxy

，显然

21

y,y

在

],1[

上为无上界的增函数

所以

21

yyy

在

],1[

上也为无上界的增函数

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所以当x=1时，

21

yyy

有最小值

2

，原函数有最大值

2

2

2



显然

0y

，故原函数的值域为

]2,0(

适用类型2：用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）

例16：求函数

)4(log2

2

1

xxy

的值域。

分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：

2()4(()0)txxxtx配方得：2()(2)4()0,4)txxtx所以（由复合函数的单调性（同增异减）

知：

),2[y

。

八、利用有界性：一般用于三角函数型，即利用

]1,1[cos],1,1[sinxx

等。

例17：求函数

cos

sin3

x

y

x





的值域。

解：由原函数式可得：

sincos3yxxy

，可化为：

21sin()3yxxy

即

2

3

sin()

1

y

xx

y





∵

xR

∴

sin()[1,1]xx

即

2

3

11

1

y

y





解得：

22

44

y

故函数的值域为

22

,

44









注：该题还可以使用数形结合法。

coscos0

sin3sin3

xx

y

xx







，利用直线的斜率解题。

例18：求函数

12

12

x

x

y







的值域。

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解：由

12

12

x

x

y







解得

1

2

1

x

y

y







，

∵

20x

，∴

1

0

1

y

y







，∴

11y

∴函数

12

12

x

x

y







的值域为

(1,1)y

。

九、图像法（数形结合法）：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的

距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例19：求函数

|3||5|yxx

的值域。

解：∵

22

|3||5|8

22

x

yxx

x

















(3)

(35)

(5)

x

x

x







，

∴

|3||5|yxx

的图像如图所示，

由图像知：函数

|3||5|yxx

的值域为

[8,)

例20.求函数22(2)(8)yxx

的值域。

解：原函数可化简得：

|2||8|yxx

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），

(8)B

间的距离之和。

由上图可知，当点P在线段AB上时，

|2||8|||10yxxAB

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

|2||8|||10yxxAB

故所求函数的值域为：

[10,]

例21.求函数2261345yxxxx

的值域。

解：原函数可变形为：

2222(3)(02)(2)(01)yxx

上式可看成x轴上的点

(,0)Px

到两定点

(3,2),(2,1)AB

的距离之和，

8

5-3

o

y

x

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由图可知当点P为线段与x轴的交点时，22

min

||(32)(21)43yAB

，

故所求函数的值域为

[43,]

例22.求函数2261345yxxxx

的值域。

解：将函数变形为：2222(3)(02)(2)(01)yxx

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点

)1,2(B

到点

)0,x(P

的距离之差。

即：

||||yAPBP

由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点

'P

，则构成

'ABP

，根据三角

形两边之差小于第三边，有22||'||'||||(32)(21)26APBPAB

即：

2626y

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有

||||||||26APBPAB

综上所述，可知函数的值域为：

(26,26]

例23、：求函数

x

x

y

cos2

sin3





的值域.

分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式

12

12

xx

yy

k





，将原

函数视为定点(2，3)到动点

)sin,(cosxx

的斜率，又知动点

)sin,(cosxx

满足单位圆的方程，从而问题就转

化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时

取得，从而解得：

]

3

326

,

3

326

[



y

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点评：本题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解。

例24．求函数xxy11的值域。

分析与解答：令

xu1

，

xv1

，则

0,0vu

，

222vu

，

yvu

，

原问题转化为：当直线

yvu

与圆

222vu

在直角坐标系uov的第一象限有公共点时，求直线

的截距的取值范围。

由图1知：当

yvu

经过点)2,0(时，2

min

y；

当直线与圆相切时，2222

max

OCODy

。

所以：值域为22y

2

2

O

V

U

A

B

C

D

E

十：不等式法：利用基本不等式32,3abababcabc

(,,)abcR

，求函数的最

值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添

项和两边平方等技巧。

例25.求函数22

11

(sin)(cos)4

sincos

yxx

xx



的值域。

解：原函数变形为：

22

22

22

22

22

11

(sincos)

sincos

1sec

3tancot

32tancot

5

yxx

xx

cesxx

xx

xx











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当且仅当

tancotxx

即当

4

xk





时

()kz

，等号成立

故原函数的值域为：

[5,)

例26.求函数

2sinsin2yxx

的值域。

解：

4sinsincosyxxx

24sincosxx

42

222

2223

16sincos

8sinsin(22sin)

8[(sinsin22sin)/3]

64

27

yxx

xxx

xxx









当且仅当22sin22sinxx

，即当2

2

sin

3

x

时，等号成立。

由2

64

27

y

可得：

8383

99

y

故原函数的值域为：

8383

,

99







＊十一、多种方法综合运用：

例27.求函数

2

3

x

y

x







的值域。

解：令

2(0)txt

，则231xt

（1）当

0t

时，2

11

1

12

t

y

t

t

t







，当且仅当t=1，即

1x

时取等号，所以

1

0

2

y

（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：

1

0,

2







注：先换元，后用不等式法

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例28.求函数234

24

12

12

xxxx

y

xx







的值域。

解：243

2424

12

1212

xxxx

y

xxxx







2

2

22

1

11

xx

xx













令

tan

2

x





，则

2

2

2

2

1

cos

1

x

x















2

1

sin

12

x

x





22

11

cossinsinsin1

22

y

2117

sin

416











∴当

1

sin

4



时，

max

17

16

y

当

sin1

时，

min

2y

此时

tan

2



都存在，故函数的值域为

17

2,

16









注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用

sin

的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当

的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方

法。