内切圆半径公式
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2023年2月15日发(作者：手机变砖)精品文档
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一、任意三角形外接圆半径
设三角形各边边长分别为a,b,c
外接圆半径为R，（如右图所示）
则
sinsincoscos
2
)cos(
222
ab
cba
（余弦定理）
而
R
b
R
b
2
2
cos，
R
b
R
4
sin
2
2
R
a
R
a
2
2
cos，
R
a
R
4
sin
2
2
即有：
ab
cba
2
222
R
a
R
R
b
R
R
a
R
b
44
22
2
2
2
2
即有：
2
2222
222
2
)4)(4(
R
aRbRab
ab
cba
所以：)4)(4()(22222
222
2aRbR
ab
cba
Rab
即有：2222242
222
422222)(416)(4)(4)(baRbaR
ab
cba
RcbaRab
所以：])(4[2
222
22
ab
cba
Rc
，即：])(4[2222222222cbabaRcba
所以：
))()()((acbbcacbacba
abc
R
而三角形面积：))()()((4acbbcacbacbaS（海伦公式）
所以，有：
S
abc
R
4
※另一求法，可用正弦定理，即：R
A
a
2
sin
，而
bc
acb
A
2
cos
222
所以：
222222
2
2222)(4
)
2
(12
)(cos12
sin2
acbcb
abc
bc
acb
a
A
a
A
a
R
a
bc
R
α
β
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二、任意三角形内切圆的半径
设三角形各边边长分别为a,b,c
内切圆半径为r，（如右图所示）
因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点，
所以，会有
czy
byx
azx
，解得
2
cba
x
显然：tanxr，而
2cos1
)2(cos1
2cos1
2sin
tan
2
而由余弦定理有：
ab
cba
2
2cos
222
所以：
))((
)()(4
2
1
)
2
(1
tan
22222
222
2
222
cbacba
cbaab
ab
cba
ab
cba
即有:
)(2
)()(4
))((
)()(4
2
2222222222
cba
cbaab
cbacba
cbaab
cba
r
即：
cba
S
cba
S
cba
acbbcacbacba
r
2
)(2
4
)(2
))()()((
x
a
bc
R
α
α
x
y
y
z
z
r