值域的求法

值域的求法

-德国假期

2023年2月15日发(作者：初中音乐教学反思)

.

.

函数值域的求法大全

题型一求函数值：特别是分段函数求值

例1已知f(x)＝

1

1＋x

(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).

(1)求f(2)，g(2)的值；

(2)求f[g(3)]的值.

解(1)∵f(x)＝

1

1＋x

，∴f(2)＝

1

1＋2

＝

1

3

.

又∵g(x)＝x2＋2，

∴g(2)＝22＋2＝6.

(2)∵g(3)＝32＋2＝11，

∴f[g(3)]＝f(11)＝

1

1＋11

＝

1

12

.

反思与感悟求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f的具体含义，然后将变量代入解

析式计算，对于f[g(x)]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f[g(x)]与g[f(x)]的区别.

跟踪训练4已知函数f(x)＝

x＋1

x＋2

.

(1)求f(2)；(2)求f[f(1)].

解(1)∵f(x)＝

x＋1

x＋2

，∴f(2)＝

2＋1

2＋2

＝

3

4

.

(2)f(1)＝

1＋1

1＋2

＝

2

3

，f[f(1)]＝f(

2

3

)＝

2

3

＋1

2

3

＋2

＝

5

8

.

5.已知函数f(x)＝x2＋x－1.

(1)求f(2)，f(

1

x

)；

(2)若f(x)＝5，求x的值.

解(1)f(2)＝22＋2－1＝5，

f(

1

x

)＝

1

x2

＋

1

x

－1＝

1＋x－x2

x2

.

(2)∵f(x)＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0，

∴x＝2，或x＝－3.

(3)

4.函数f(x)对任意自然数x满足f(x＋1)＝f(x)＋1，f(0)＝1，则f(5)＝________.

答案6

.

.

解析f(1)＝f(0)＋1＝1＋1＝2，f(2)＝f(1)＋1＝3，

f(3)＝f(2)＋1＝4，f(4)＝f(3)＋1＝5，f(5)＝f(4)＋1＝6.

二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。

常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）

（3）函数单调性法（4）配方法

（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）

（7）分离常数法（8）判别式法

（9）复合函数法（10）不等式法

（11）平方法等等

这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

求值域问题

利用常见函数的值域来求（直接法）

一次函数y=ax+b(a



0)的定义域为R，值域为R；

反比例函数

)0(k

x

k

y

的定义域为{x|x



0}，值域为{y|y



0}；

二次函数

)0()(2acbxaxxf

的定义域为R，

当a>0时，值域为{

a

bac

yy

4

)4(

|

2



}；当a<0时，值域为{

a

bac

yy

4

)4(

|

2



}.

例1求下列函数的值域

①y=3x+2(-1x1)②

）（3x1

x3

2

)(xf

③

x

xy

1

（记住图像）

解：①∵-1x1，∴-33x3，

∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]

②略

③当x>0，∴

x

xy

1

=2)

1

(2

x

x

2，

y=x

o

-2

-1

1

2

fx



=x+

1

x

.

.

当x<0时，)

1

(

x

xy



=－2)

1

(2





x

x

2

∴值域是]2,([2，+



).（此法也称为配方法）

函数

x

xy

1

的图像为：

二次函数在区间上的值域(最值)：

例2求下列函数的最大值、最小值与值域：

①

142xxy

；②；]4,3[,142xxxy

③]1,0[,142xxxy；④]5,0[,142xxxy；

解：∵

3)2(1422xxxy

，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.

①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，

∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y-3}.

②∵顶点横坐标2[3,4]，

当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；

∴在[3,4]上，

min

y=-2，

max

y=1；值域为[-2，1].

③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,

∴在[0,1]上，

min

y=-2，

max

y=1；值域为[-2，1].

④∵顶点横坐标2



[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,

∴在[0,1]上，

min

y=-3，

max

y=6；值域为[-3，6].

注：对于二次函数

)0()(2acbxaxxf

,

⑴若定义域为R时，

①当a>0时，则当

a

b

x

2

时，其最小值

a

bac

y

4

)4(2

min





；

②当a<0时，则当

a

b

x

2

时，其最大值

a

bac

y

4

)4(2

max





;

⑵若定义域为x



[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].

3

2

1

-1

-2

-3

65

4321

-1

-2xO

y

.

.

①若

0

x

[a,b],则)(

0

xf是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，

再比较

)(),(bfaf

的大小决定函数的最大（小）值.

②若

0

x[a,b],则[a,b]是在)(xf的单调区间内，只需比较

)(),(bfaf

的大小即可决定

函数的最大（小）值.

注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行

讨论.

练习：1、求函数y=3+x32的值域

解：由算术平方根的性质，知x32≥0，故3+x32≥3。∴函数的值域为

,3.

2、求函数5,0,522xxxy的值域

解：对称轴5,01x

20,4

20,5

4,1

max

min

值域为

时

时







yx

yx

1单调性法

例3求函数y=4x－x31(x≤1/3)的值域。

设f(x)=4x,g(x)=－x31,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而

y=f(x)+g(x)=4x-x31

在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为

｛y|y≤4/3｝。

小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函

数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

练习：求函数y=3+x4的值域。(答案：｛y|y≥3｝)

2换元法

.

.

例4求函数xxy12的值域

解：设tx1，则)0(122ttty



2,

21,01

max





值域为

，时当且开口向下，对称轴ytt

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确

定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分

广泛。

练习：求函数y=xx1的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝

求

xx

xx

cossin

cossin1





的值域；

例5（三角换元法）求函数21xxy的值域

解：11x设,0cosx



2,1

2,1)

4

sin(2sincossincos





原函数的值域为



y

小结：（1）若题目中含有1a，则可设)0,cos(

22

,sin







aa或设

（2）若题目中含有122ba则可设sin,cosba，其中20

（3）若题目中含有21x，则可设cosx，其中0

（4）若题目中含有21x，则可设tanx，其中

22









（5）若题目中含有)0,0,0(ryxryx，则可设

22sin,cosryrx其中













2

,0





3平方法

例5（选）求函数

xxy53

的值域

解：函数定义域为：5,3x

.

.



2,24,2

1,0158,5,31582)5()3(

2

222

原函数值域为

得由





y

xxxxxxxy

4分离常数法

例6求函数

2

1







x

x

y的值域

由1

2

3

1

2

32













xx

x

y，可得值域1yy

小结：已知分式函数)0(





c

dcx

bax

y，如果在其自然定义域（代数式自身对变量

的要求）内，值域为















c

a

yy

；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），

采用部分分式法将原函数化为

)(bcad

dcx

c

ad

b

c

a

y







，用复合函数法来

求值域。

练习

求函数

64

12







x

x

y

的值域

求函数

13

3





x

x

y的值域

求函数y=

12

12





x

x

的值域；（y∈(-1，1)）

例7求13xxy的值域

解法一：（图象法）可化为



















3,4

31,22

1,4

x

xx

x

y如图，

观察得值域44yy

解法二：（不等式法）

414114)1(13

4)1()3(13





xxxxxx

xxxx

同样可得值域

.

.

练习：1yxx的值域,1

例8求函数)1,0(239xyxx的值域

解：（换元法）设tx3，则31t原函数可化为



8,2

8,3;2,13,1

2

1

,2

maxmin

2

值域为

时时对称轴



ytytttty

例9求函数

xx

y

22

3

1













的值域

解：（换元法）令1)1(222xxxt，则)1(

3

1















ty

t

由指数函数的单调性知，原函数的值域为











,

3

1

例10求函数)0(2xyx的值域

解：（图象法）如图，值域为1,0

（换元法）设tx13，

则1

1

1

13

1

1

13

113











t

t

y

xx

x

101

1

01y

t

t

1,0原函数的值域为

例13函数

1

1

2

2







x

x

y的值域

解法一：（逆求法）110

1

1

2





y

y

y

x

1,1原函数的值域为

解法二：（换元法）设tx12，则

2

.

.

原函数值域即得112

2

01y

t

t

解法三：（判别式法）原函数可化为010)1(2yxxy

1）1y时不成立

2）1y时，110)1)(1(400yyy

11y

综合1）、2）值域}11|{yy

解法四：（三角换元法）Rx设













2

,

2

tan



x，则

1,12cos,22cos

tan1

tan1

2

2













y

原函数的值域为}11|{yy

例14求函数

342

5

2



xx

y的值域

解法一：（判别式法）化为0)53(422yyxyx

1）0y时，不成立

2）0y时，0得

500)53(8)4(yyyy

50y

综合1）、2）值域}50|{yy

解法二：（复合函数法）令txx3422，则

t

y

5



11)1(22xt

50y所以，值域}50|{yy

5

.

.

例15函数1

1



x

xy的值域

解法一：（判别式法）原式可化为

解法二：（不等式法）1）当0x时，32

1

y

x

x

2）0x时，

综合1）2）知，原函数值域为,31,

例16(选)求函数)1(

1

222







x

x

xx

y的值域

解法一：（判别式法）原式可化为02)2(2yxyx







,2

21

220)2(4)2(02

原函数值域为

舍去

或

yx

yyyy





解法二：（不等式法）原函数可化为)1(2

1

1

1

1

1)1(2











x

x

x

x

x

y

当且仅当0x时取等号，故值域为,2

例17（选）求函数)22(

1

222







x

x

xx

y的值域

解：（换元法）令tx1，则原函数可化为)31(

1

t

t

ty。。。

小结：已知分式函数)0(22

2

2







da

fexdx

cbxax

y，如果在其自然定义域内可采用

判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可

以化为

（选）)(

二次式

一次式

或

一次式

二次式

yy的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求

01)1(2xyx





,31,

1304)1(02





原函数值域为

或yyy

12

)(

1

)(

1

















y

x

x

x

x

.

.

出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数

)0(x

x

a

xy的单调性去解。

利用判别式求值域时应注意的问题

用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对

用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数

求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈

谈对本内容的一点体会。

一、判别式法求值域的理论依据

例1、求函数

12

2







xx

xx

y

的值域

象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。

解：由

12

2







xx

xx

y

得：

（y-1）x2+(1-y)x+y=0①

上式中显然y≠1,故①式是关于x的一元二次方程

























1

3

1

1

1,1

3

1

0

)1(4)1(

2

2

2

，

xx

xx

y

yy，

yyy

的值域为

又解得令

用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出

错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：

一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验

例：求函数

322

1

2

2







xx

xx

y的值域。

错解：原式变形为0)13()12()12(2yxyxy（＊）

∵Rx，∴0)13)(12(4)12(2yyy，解得

2

1

10

3

y。

.

.

故所求函数的值域是]

2

1

,

10

3

[

错因：把

2

1

y代入方程（＊）显然无解，因此

2

1

y不在函数的值域内。事实上，

2

1

y

时，方程（＊）的二次项系数为0，显然不能用“”来判定其根的存在情况。

正解：原式变形为0)13()12()12(2yxyxy（＊）

（1）当

2

1

y时，方程（＊）无解；

（2）当

2

1

y时，∵Rx，∴0)13)(12(4)12(2yyy，解得

2

1

10

3

y。

综合（1）、（2）知此函数的值域为)

2

1

,

10

3

[

二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化

例2：求函数

6

34

2

2







xx

xx

y的值域。

错解：将函数式化为0)36()4()1(2yxyxy

（1）当1y时，代入上式得093x，∴3x，故1y属于值域；

（2）当1y时，0)25(2y，

综合（1）、（2）可得函数的值域为Ry。

错因：解中函数式化为方程时产生了增根（3x与2x虽不在定义域内，但是方

程的根），因此最后应该去掉3x与2x时方程中相应的y值。所以正确答案为

1|{yy，且}

5

2

y。

三、注意变形后函数值域的变化

例3：求函数21xxy的值域。

错解：由已知得21xxy①，两边平方得221)(xxy

②

整理得012222yyxx，由0)1(8)2(22yy，解得

22y

。

.

.

故函数得值域为]2,2[。

错因：从①式变形为②式是不可逆的，扩大了y的取值范围。由函数得定义域为]1,1[

易知1xy，因此函数得最小值不可能为2。∵1x时，1y，∴1

min

y，

故函数的值域应为]2,1[。

四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性

例4：求函数

5

4

2

2







x

x

y

的值域。

错解：令42xt，则

12



t

t

y，∴02ytyt，由0412y及0y

得值域为]

2

1

,0(y。

错因：解法中忽视了新变元t满足条件2t。∴设ytyttf2)(，0y，

),2[t，

























2

2

1

0)2(0)2(

0,0

y

ff

y

或

5

2

0y。故函数得值域为]

5

2

0，（。

综上所述，在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而

改变了函数得定义域或值域。因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑

原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。

练习：

1、)0(9

1

2

2x

x

xy；

解：∵x



0，11)

1

(9

1

2

2

2

x

x

x

xy，∴y11.

另外，此题利用基本不等式解更简捷：11929

1

2

2

x

xy(或利用对勾函数图

像法)

2、

342

5

2



xx

y

.

.

0

3、求函数的值域

①xxy2；②242xxy

解：①令xu2



0,则22ux,

原式可化为

4

9

)

2

1

(222uuuy,

∵u0，∴y

4

9

，∴函数的值域是（-，

4

9

].

②解：令t=4x2x0得0x4

在此区间内(4x2x)

max

=4，(4x2x)

min

=0

∴函数242xxy的值域是{y|0y2}

4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

解法1：将函数化为分段函数形式：



















)2(12

)21(3

)1(12

xx

x

xx

y，画出它的图象（下图），

由图象可知，函数的值域是{y|y3}.

解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y

的最小值是3，∴函数的值域是[3，+].如图

5、求函数xxy142的值域

解：设

xt1

则t0x=12t

代入得tttfy4)1(2)(24)1(224222ttt

∵t0∴y4

6、（选）求函数

6

65

2

2







xx

xx

y的值域

O12-1x

O12-1x

O12-1x

.

.

方法一：去分母得(y1)2x+(y+5)x6y6=0①

当y1时∵xR∴△=(y+5)2+4(y1)×6(y+1)0

由此得(5y+1)20

检验

5

1

y（有一个根时需验证）时

2

)

5

6

(2

5

5

1







x（代入①求根）

∵2定义域{x|x2且x3}∴

5

1

y

再检验y=1代入①求得x=2∴y1

综上所述，函数

6

65

2

2







xx

xx

y的值域为{y|y1且y

5

1

}

方法二：把已知函数化为函数

3

6

1

3

3

)3)(2(

)3)(2(

















xx

x

xx

xx

y(x2)

由此可得y1，∵x=2时

5

1

y即

5

1

y∴函数

6

65

2

2







xx

xx

y的值域为{y|y1

且y

5

1

}

函数值域求法十一种

1.直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1.求函数的值域。

解：∵

∴

显然函数的值域是：

x

1

y

0x

0

x

1



),0()0,(

.

.

例2.求函数的值域。

解：∵

故函数的值域是：

2.配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3.求函数的值域。

解：将函数配方得：

∵

由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，

故函数的值域是：[4，8]

3.判别式法

例4.求函数的值域。

解：原函数化为关于x的一元二次方程

（1）当时，

解得：

（2）当y=1时，，而

故函数的值域为

例5.求函数的值域。

x3y

0x

3x3,0x

]3,[

]2,1[x,5x2xy2

4)1x(y2

]2,1[x

4y

min



1x

8y

max



2

2

x1

xx1

y







0x)1y(x)1y(2

1y

Rx

0)1y)(1y(4)1(2

2

3

y

2

1



0x















2

3

,

2

1

1













2

3

,

2

1

)x2(xxy

.

.

解：两边平方整理得：（1）

∵

∴

解得：

但此时的函数的定义域由，得

由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实

根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由

求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为

。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵

代入方程（1）

解得：

即当时，

原函数的值域为：

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集

时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4.反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函

数的值域。

例6.求函数值域。

解：由原函数式可得：

0yx)1y(2x222

Rx

0y8)1y(42

21y21

0)x2(x

2x0

0

0yx)1y(2x222

0













2

3

,

2

1

2x0

0)x2(xxy

21y,0y

min



]2,0[

2

2222

x

4

1







2

2222

x

4

1





]21,0[

6x5

4x3





3y5

y64

x







.

.

则其反函数为：，其定义域为：

故所求函数的值域为：

5.函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主

来确定函数的值域。

例7.求函数的值域。

解：由原函数式可得：

∵

∴

解得：

故所求函数的值域为

例8.求函数的值域。

解：由原函数式可得：，可化为：

即

∵

∴

即

解得：

3x5

y64

y







5

3

x















5

3

,

1e

1e

y

x

x







1y

1y

ex







0ex

0

1y

1y







1y1

)1,1(

3xsin

xcos

y





y3xcosxsiny

y3)x(xsin1y2

1y

y3

)x(xsin

2



Rx

]1,1[)x(xsin

1

1y

y3

1

2







4

2

y

4

2



.

.

故函数的值域为

6.函数单调性法

例9.求函数的值域。

解：令

则在[2，10]上都是增函数

所以在[2，10]上是增函数

当x=2时，

当x=10时，

故所求函数的值域为：

例10.求函数的值域。

解：原函数可化为：

令，显然在上为无上界的增函数

所以，在上也为无上界的增函数

所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值

显然，故原函数的值域为

7.换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式

含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，

在求函数的值域中同样发挥作用。

例11.求函数的值域。



















4

2

,

4

2

)10x2(1xlog2y

3

5x

1xlogy,2y

32

5x

1



21

y,y

21

yyy

8

1

12log2y

3

3

min



339log2y

3

5

max















33,

8

1

1x1xy

1x1x

2

y





1xy,1xy

21



21

y,y],1[

1

yy

2

y],1[

21

yyy

2

2

2

2



0y

]2,0(

1xxy

.

.

解：令，

则

∵

又，由二次函数的性质可知

当时，

当时，

故函数的值域为

例12.求函数的值域。

解：因

即

故可令

∴

∵

故所求函数的值域为

例13.求函数的值域。

解：原函数可变形为：

可令，则有

t1x

)0t(

1tx2

4

3

)

2

1

t(1tty22

0t

0t

1y

min



0t

y

),1[

2)1x(12xy

0)1x(12

1)1x(2

],0[,cos1x

1cossincos11cosy2

1)

4

sin(2











4

5

4

0,0

211)

4

sin(20

1)

4

sin(

2

2













]21,0[

1x2x

xx

y

24

3







2

2

2x1

x1

x1

x2

2

1

y











tgx











2

2

2

2

cos

x1

x1

,2sin

x1

x2

4sin

4

1

2cos2sin

2

1

y

.

.

当时，

当时，

而此时有意义。

故所求函数的值域为

例14.求函数，的值域。

解：

令，则

由

且

可得：

∴当时，，当时，

故所求函数的值域为。

例15.求函数的值域。

解：由，可得

故可令

∵

82

k







4

1

y

max



82

k







4

1

y

min



tan















4

1

,

4

1

)1x)(cos1x(siny

















2

,

12

x

)1x)(cos1x(siny

1xcosxsinxcosxsin

txcosxsin

)1t(

2

1

xcosxsin2

22)1t(

2

1

1t)1t(

2

1

y

)4/xsin(2xcosxsint

















2

,

12

x

2t

2

2



2t

2

2

3

y

max



2

2

t

2

2

4

3

y

















2

2

3

,

2

2

4

3

2x54xy

0x52

5|x|

],0[,cos5x

4)

4

sin(10sin54cos5y





0

.

.

当时，

当时，

故所求函数的值域为：

8.数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直

线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，

赏心悦目。

例16.求函数的值域。

解：原函数可化简得：

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。

由上图可知，当点P在线段AB上时，

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

故所求函数的值域为：

例17.求函数的值域。

解：原函数可变形为：

上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，

，

故所求函数的值域为

4

5

44













4/

104y

max





54y

min



]104,54[

22)8x()2x(y

|8x||2x|y

)8(B

10|AB||8x||2x|y

10|AB||8x||2x|y

],10[

5x4x13x6xy22

2222)10()2x()20()3x(y

)0,x(P)1,2(B),2,3(A

43)12()23(|AB|y22

min



],43[

.

.

例18.求函数的值域。

解：将函数变形为：

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点

的距离之差。

即：

由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如

点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有

即：

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有

综上所述，可知函数的值域为：

注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B

两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。

如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），，在x轴的同侧；

例18的A，B两点坐标分别为（3，2），，在x轴的同侧。

9.不等式法

利用基本不等式，求函数的最值，

5x4x13x6xy22

2222)10()2x()20()3x(y

)1,2(B)0,x(P

|BP||AP|y

'P

'ABP

26)12()23(|AB|||'BP||'AP||22

26y26

26|AB|||BP||AP||

]26,26(

)1,2(

)1,2(

abc3cba,ab2ba3

)Rc,b,a(

.

.

其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，

不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例19.求函数的值域。

解：原函数变形为：

当且仅当

即当时，等号成立

故原函数的值域为：

例20.求函数的值域。

解：

当且仅当，即当时，等号成立。

由可得：

故原函数的值域为：

10.一一映射法

4)

xcos

1

x(cos)

xsin

1

x(siny22

5

2xcotxtan3

xcotxtan3

xsecxces1

xcos

1

xsin

1

)xcosx(siny

223

22

22

22

22











xcotxtan

4

kx





)zk(

),5[

x2sinxsin2y

xcosxsinxsin4y

xcosxsin42

27

64

]3/)xsin22xsinx[(sin8

)xsin22(xsinxsin8

xcosxsin16y

3222

222

24









xsin22xsin223

2

xsin2

27

64

y2

9

38

y

9

38





















9

38

,

9

38

.

.

原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变

量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。

例21.求函数的值域。

解：∵定义域为

由得

故或

解得

故函数的值域为

11.多种方法综合运用

例22.求函数的值域。

解：令，则

（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，

所以

（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：

注：先换元，后用不等式法

例23.求函数的值域。

解：

)0c(

dcx

bax

y







1x2

x31

y





















2

1

x

2

1

x|x或

1x2

x31

y







3y2

y1

x







2

1

3y2

y1

x







2

1

3y2

y1

x







2

3

y

2

3

y或



























,

2

3

2

3

,

3x

2x

y







)0t(2xt

1t3x2

0t

2

1

t

1

t

1

1t

t

y

2











1x

2

1

y0













2

1

,0

42

432

xx21

xxx2x1

y







42

3

42

42

xx21

xx

xx21

xx21

y













.

.

令，则

∴当时，

当时，

此时都存在，故函数的值域为

注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特

征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本

不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

2

2

2

2

x1

x

x1

x1



























2

tanx



























2

2

2

2

cos

x1

x1





sin

2

1

x1

x

2

1sin

2

1

sinsin

2

1

cosy22

16

17

4

1

sin

2

















4

1

sin

16

17

y

max



1sin2y

min



2

tan

















16

17

,2

sin