定积分的几何意义

定积分的几何意义

-琵琶相

定积分

教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．

教学难点:定积分的概念、定积分的几何意义．

教学重点：掌握过程步骤:分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）．

教学难点：过程的理解．

1.定积分的概念：

一般地,设函数

()fx

在区间

[,]ab

上连续，用分点

0121iin

axxxxxxb



将区间

[,]ab

等分成n个小区间，每个小区间长度为x（

ba

x

n





），在每个小区间

1

,

ii

xx



上取一点

1,2,,

i

in，作和式：

11

()()

nn

nii

ii

ba

Sfxf

n









如果

x

无限接近于

0

（亦即n）时,上述和式

n

S无限趋近于常数

S

，那么称该常数

S

为函数

()fx

在区间

[,]ab

上的定积分。记为:

()

b

a

Sfxdx

其中

()fx

成为被积函数，x叫做积分变量，

[,]ab

为积分区间，

b

积分上限，a积分下限。

说明：

(1）定积分()b

a

fxdx是一个常数，即

n

S无限趋近的常数

S

（n时）称为

()b

a

fxdx，而不是

n

S．

（2）用定义求定积分的一般方法是：

①分割：n等分区间,ab；②近似代替：取点

1

,

iii

xx



；

③求和：

1

()

n

i

i

ba

f

n





;④取极限：

1

()lim

n

b

i

a

n

i

ba

fxdxf

n













（3）积分的几何意义：曲边图形面积：b

a

Sfxdx；

积分的物理意义：变速运动路程2

1

()t

t

Svtdt;变力做功

()b

a

WFrdr

2．定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质:

性质1

abdx

b

a

1

性质2b

a

b

a

dxxfkdxxkf)()(

（其中k是不为0的常数)

性质3

1212

[()()]()()bbb

aaa

fxfxdxfxdxfxdx

性质4()()()()

bcb

aac

fxdxfxdxfxdxacb其中

例题：求曲线2xy与

0,1yx

所围成的区域的面积

解：（1）分割：将区间0,1等分成n个小区间：

11ii

t

nnn





(2）近似代替：2)

1

(

1

n

i

n

s

i





(3）求和：

1

n

i

i

SS



从而得到

S

的近似值

)

1

2)(

1

1(

6

1

nn

s

（4）取极限：

1

111115

limlimlim112

323

n

n

nnn

i

i

SSv

nnnn



















例1．利用定积分的定义计算dxx)1(2

1

0

的值。

例2．计算定积分

2

1

(1)xdx=

5

2

。

练习:

1。利用定积分的定义计算dxx)12(1

0

的值。

2。计算下列定积分

（1）

5

0

(24)xdx(2）1

1

xdx

（3)dxx)43(2

2

2



（4）求定分3

2

2

166xx



dx．