连续和可导的关系
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2023年2月15日发(作者：会计职业生涯规划)-------------
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函数的可导性与连续性的关系教案
教学目的
1．使学生理解函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件．
2．使学生了解左导数和右导数的概念．
教学重点和难点
掌握函数的可导性与连续性的关系．
教学过程
一、复习提问
1．导数的定义是什么？
2．函数在点x
0
处连续的定义是什么？
在学生回答定义基础上，教师进一步强调函数f(x)在点x=x
0
处连续必须具备以
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∴f(x)在点x
0
处连续．
综合(1)(2)原命题得证．
在复习以上三个问题基础上，直接提出本节课题．先由学生回答函数的可导性与连
续性的关系．
二、新课
1．如果函数f(x)在点x
0
处可导，那么f(x)在点x
0
处连续．
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∴f(x)在点x
0
处连续．
提问：一个函数f(x)在某一点处连续，那么f(x)在点x
0
处一定可导吗？为什么？若
不可导，举例说明．
如果函数f(x)在点x
0
处连续，那么f(x)在该点不一定可导．
例如：函数y=|x|在点x＝0处连续，但在点x=0处不可导．从图2－3看出，曲线y
＝f(x)在点O(0，0)处没有切线．
证明：(1)∵Δy=f(0＋Δx)－f(0)＝|0＋Δx|－|0|=|Δx|，
∴函数y=|x|在点x
0
处是连续的．
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2．左导数与右导数的概念．
(2)左、右导数存在且相等是导数存在的充要条件(利用左右极限存在且相等是极限
存在的充要条件，可以加以证明，本节不证明)．
(3)函数在一个闭区间上可导的定义．
如果函数y=f(x)在开区间(a，b)内可导，在左端点x＝a处存在右导数，在右端点x
＝b处存在左导数，我们就说函数f(x)在闭区间[a，b]上可导．
三、小结
1．函数f(x)在x
0
处有定义是f(x)在x
0
处连续的必要而不充分条件．
2．函数f(x)在x
0
处连续是f(x)在x
0
处有极限的充分而不必要条件．
3．函数f(x)在x
0
处连续是f(x)在x
0
处可导的必要而不充分的条件．
四、布置作业
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作业解答的提示：
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=f(1)．
∴f(x)在点x＝1处连续．
∴f(x)在x=1处不可导．