椭圆第二定义
-耦合的做法
2023年2月15日发(作者：数字蚌埠)高二数学椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识精
讲
一.本周教学内容：
椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系
［知识点］
1.第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数
e
c
a
eM()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为
椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，
x
a
y
b
abFc
2
2
2
2
2
100()()
方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x
a
c
Fcx
a
c
2
1
2
0()
②e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
2.焦半径及焦半径公式：
椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。
对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：
x
a
y
b
abPxy
22
2
10
()()
左焦半径∴·左
左
r
x
a
c
c
a
rex
c
a
a
c
aex
0
2
0
2
0
右焦半径右
右
r
a
c
x
c
a
raex
2
0
0
3.椭圆参数方程
问题：如图以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA
与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BN⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕
O旋转时点M的轨迹的参数方程。
解：设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为Mxy()Ox
参数。
那么
∴
xONOA
yNMOB
xa
yb
||cos
||sin
cos
sin
()
1
这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”
说明：对上述方程（1）消参即
x
a
y
b
x
a
y
b
cos
sin
2
2
2
2
1普通方程
由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。
4.补充
名称方程参数几何意义
直线
xxt
yyt
t
0
0
cos
sin
()
为参数
Pxy
000
()，
定点，
倾斜角,tPP
0
，
P（x，y）动点
圆
xar
ybr
cos
sin
()
为参数
A（a，b）圆心，r半径，
P（x，y）动点，
旋转角
椭圆
xa
yb
cos
sin
()
为参数
a长半轴长，b短半轴长
离心角不是与的夹角()OMOx
一般地，
、取，[]02
5.直线与椭圆位置关系：
（1）相离
x
a
y
b
ykxb
2
2
2
2
1
①相离无解
x
a
y
b
ykxb
2
2
2
2
1
②求椭圆上动点P（x，y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，
数形结合，求平行线间距离，作l'∥l且l'与椭圆相切）
③关于直线的对称椭圆。
（2）相切
①相切有一解
x
a
y
b
ykxb
2
2
2
2
1
②过椭圆上一点，的椭圆的切线方程为Pxy
xx
a
yy
b000
0
2
0
2
1()
()3
1
2
2
2
2相交有两解
x
a
y
b
ykxb
①弦长公式：
||()()ABxxyy
12
2
12
2
142
12
2
12
kxxxx()
12
12
kxx||
12k
a
·
||
作差法中点：斜率②)(
例1.
已知，，是椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，当AF
xy
M()23
1612
1
22
|MA|＋2|MF|取最小值时，求点M的坐标。
分析：结合图形，用椭圆的第二定义可得|||||||||'|MAMFMAMPAA2
这里|MP|、|AP|分别表示点A到准线的距离和点M到准线的距离。
解：设直线是椭圆的右准线，⊥，垂足为，则，lMPlP
MF
MP
eMP
e
||
||
||
1
||||||MFabceMP
e
MF，由已知方程得，，∴，，由此得4232
1
2
1
2||MF，从而得
|||||||||'|MAMFMAMPAAMAPMAP2，即当点、、三点共线且是内分点
时，等号成立，此时取得最小值，点的坐标为，||||()MAMFM2233
例2.椭圆的焦点为、，点为其上的动点，当∠为钝角
xy
FFPFPF
22
121294
1
时，点P横坐标的取值范围是_______________。（2000年全国高考题）
分析：可先求∠F1PF2＝90°时，P点的横坐标。
解：法一在椭圆中，，，，依焦半径公式知，abcPFx3253
5
31
||
||||||||PFxFPFPFPFFF
2121
2
2
2
12
23
5
3
，由余弦定理知∠为钝角
()()()3
5
3
3
5
3
25
9
5
3
5
3
5
2222xxxx，应填
法二设，，则当∠°时，点的轨迹方程为，PxyFPFPxy()
12
22905
由此可得点的横坐标±，点在轴上时，∠；点在轴上PxPxFPFPy
3
5
0
12
时，∠为钝角，由此可得点横坐标的取值范围是FPFPx
12
3
5
3
5
小结：本题考查椭圆的方程、焦半径公式，三角函数，解不等式知识及推理、计算能力。
例3.过椭圆内一点，引一条弦，使弦被点平分，求这条
xy
MM
22
164
121()
弦所在的直线方程。
分析：本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本
例解法较多，可作进一步的研究。
解：法一设所求直线方程为，代入椭圆方程并整理，得ykx12()
()()()42kxkkxk，又设直线与椭圆的交点为
AxyBxyxxxx
kk
k
()()
()
11221212
2
2
82
41
，、，，则、是方程的两个根，于是，
又为的中点，∴，解之得，故所求直线方MAB
xx
kk
k
k12
2
22
42
41
2
1
2
()
程为xy240
法二设直线与椭圆的交点为，、，，，为的中点，AxyBxyMAB()()()
1122
21
∴，，又、两点在椭圆上，则，xxyyABxyxy
12121
2
1
2
2
2
2
2424164
1640
1
2
2
2
1
2
2
2，两式相减得()()xxyy
∴
yy
xx
xx
yy
12
12
12
12
4
1
2
()
即，故所求直线为kxy
AB
1
2
240
法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A（x，y），由于中点为M（2，1），
则另一个交点为，Bxy()42
∵、两点在椭圆上，∴有①，②ABxyxy222241644216()()
①②得：xy240
由于过、的直线只有一条，故所求直线方程为ABxy240
法四直线方程为
xt
yt
2
1
cos
sin
代入椭圆得：(cos)(sin)24116022tt
∴444841602222ttttcoscossinsin
∴(sincos)(sincos)48480222tt
∵，∴tt
12
22
0
84
4
0
sincos
sincos
∴820sincos
∴，82
1
2
sincostan
即，故所求直线为kxy
AB
1
2
240
例4.
已知椭圆，在椭圆上求一点，使到直线：xyPPlxy228840
的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？
解：法一
设，由参数方程得P(cossin)()22
则d
|cossin||sin()|224
2
34
2
其中，当时，tan
min
22
2
1
2
2
2
d
此时，cossinsincos
22
3
1
3
即点坐标为，PP()
8
3
1
3
法二因与椭圆相离，故把直线平移至，使与椭圆相切，则与的距离，llllll'''
即为所求的最小值，切点为所求点最大('')l
设：，则由消得lxym
xym
xy
x'
0
0
8822
928ymymmm，令×()
解之得±，为最大，由图得mm333()
此时，，由平行线间距离得Pl()
min
8
3
1
3
2
2
例5.已知椭圆：，，是椭圆上一点E
xy
Pxy
22
2516
1()
()122求的最大值xy
（2）若四边形ABCD内接于椭圆E，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形
ABCD的最大面积。
分析：题（1）解题思路比较多。法一：可从椭圆方程中求出y2代入x2+y2，转化为
xxyxy的二次函数求解。法二：用椭圆的参数方程，将、代入，转化为三角22
问题求解。法三：令，则利用圆与椭圆有公共点这一条件求的最xyrr2222
值，解题时可结合图形思考。得最大值为25，最小值为16。
题（2）可将四边形ABCD的面积分为两个三角形的面积求解，由于AC是定线段，故长
度已定，则当点B、点D到AC所在直线距离最大时，两个三角形的面积最大，此时
四边形的面积最大。求得ABCD202
解：()()1
2516
1161
25
22
2
2
法一由得，
xy
y
x
则，xyx
xx
222
22
161
25
16
9
25
1625()[]
∴的最大值为，最小值为xy222516
法二：令，
x
y
5
4
cos
sin
则，xy2222225161691625cossincos[]
法三令，则数形结合得，xyrr22221625[]
（2）由题意得A（5，0），C（0，4），则直线AC方程为：4x＋5y－20
054，又设，，则点到直线的距离BBAC(cossin)
d
1
202020
41
202
4
20
41
20220
41
|cossin|
|sin()|
同理点到直线的距离DACd
2
20220
41
∴四边形的最大面积SACdd||()
12
202
例6.已知椭圆，是椭圆上两点，线段的垂直平
x
a
y
b
abABAB
2
2
2
2
10()
分线与x轴相交于点P（x0，0）。
求证：
ab
a
x
ab
a
22
0
22
（1992年全国高考题）
分析：本题证明的总体思路是：用、两点的坐标、及、来表示，ABxxabx
120
利用证明22
12
axxa
证明：法一设，、，，由题意知≠且，，AxyBxyxxPx()()()
1122120
0
由得①||||()()PAPBxxyxxy
10
2
1
2
21
2
2
2
又、两点在椭圆上，∴，AByb
x
a
yb
x
a1
22
1
2
2
2
22
2
2
2
11()()
代入①整理得，2
2102
2
1
2
22
2
()()xxxxx
ab
a
∵≠，∴有·xxx
xx
ab
a120
12
22
22
又，，且≠axaaxaxx
1212
∴22
12
axxa
由此得
ab
a
x
ab
a
22
0
22
法二令，则以为圆心，||PArP
rxxyr为半径的圆的方程为①()
0
222
圆与椭圆②交于、两点P
x
a
y
b
abAB
2
2
2
2
10()
由①、②消去整理得y
ab
a
xxxxrb
22
2
2
00
22220
由韦达定理得，xx
ax
ab
aa
12
2
0
22
2
22
()
∴
ab
a
x
ab
a
22
0
22
法三设，、，，的中点为、AxyBxyABMmn()()()
1122
∴，xxmyyn
1212
22
又、两点在椭圆上，AB
x
a
y
b
x
a
y
b
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
11
则两式相减得
()()()()xxxx
a
yyyy
b
1212
2
1212
2
0
将及，代入整理得：
yy
xx
mx
n
xxmyyn12
12
0
1212
22
x
ab
a
m
xx
ab
a0
22
2
12
22
22
·，下略
这种解题方法通常叫做“端点参数法”或叫做“设而不求”。
例7.
设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴，离心率，已知点，xeP
3
2
0
3
2
()
到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点的7P
距离等于的点的坐标7
解法一：设椭圆的参数方程为
xa
yb
ab
cos
sin
()
，
其中，002
由，得e
c
a
b
a
ab2
2
2
21
3
4
2()
设椭圆上的点，到点的距离为()xyPd
则dxy222
3
2
()
ab222
3
2
cos(sin)
3
1
2
43222b
b
b(sin)
如果即
1
2
1
1
2b
b
那么当时，取得最大值sin()()17
3
2
222db
由此得与矛盾bb7
3
2
1
2
1
2
因此必有，此时当时，取得最大值
1
2
1
1
2
743222
bb
dbsin()
解得，ba12
所求椭圆的参数方程是
x
y
2cos
sin
由，±sincos
1
2
3
2
求得椭圆上到点的距离等于的点是，与，P73
1
2
3
1
2
()()
解法二：设所求椭圆的方程为
x
a
y
b
ab
2
2
2
2
10()
由，解得e
c
a
b
a
b
a
2
2
2
21
3
4
1
2
()
设椭圆上的点，到点的距离为()xyPd
则dxy222
3
2
()
a
a
b
yy2
2
2
22
3
2
()
334
9
4
22yyb
3
1
2
4322()yb
其中，如果，则当时bybbyb
1
2
db2227
3
2
取得最大值()()
解得与矛盾bb7
3
2
1
2
1
2
故必有b
1
2
当时，取得最大值ydb
1
2
743222()
解得，ba12
所求椭圆方程为
x
y
2
2
4
1
由可求得到点的距离等于的点的坐标为±，yP
1
2
73
1
2
()
小结：椭圆的参数方程是解决椭圆问题的一个工具，但不是所有与椭圆有关的问题必须
用参数方程来解决。
【模拟试题】
1.已知椭圆
x
a
y
b
ab
2
2
2
2
10()的焦点坐标是FcFcPxy
1200
00()()()，和，，，
是椭圆上的任一点，求证：||||PFaexPFaexe
1020
，，其中是椭圆的离心率。
2.在椭圆
xy22
259
1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。
3.椭圆()()
||
xy
xy
11
4333
10
22的长轴长是___________。
4.椭圆
y
a
x
b
abFcFcc
2
2
2
2
12
10000()()()()的两焦点为，，，，离心率
e
3
2
，焦点到椭圆上点的最短距离为23，求椭圆的方程。
5.已知椭圆的一个焦点是F（1，1），与它相对应的准线是xy40，离心率为
2
2
，
求椭圆的方程。
6.已知点P在椭圆
y
a
x
b
ab
2
2
2
2
10()上，FF
12
、为椭圆的两个焦点，求
||||PFPF
12
·的取值范围。
7.在椭圆
xy
t
22
8
1内有一点A（2，1），过点A的直线l的斜率为－1，且与椭圆交
于B、C两点，线段BC的中点恰好是A，试求椭圆方程。
8.已知椭圆
xy22
2516
1，在椭圆上求一点M，使它到两焦点距离之积为16。
9.如图，已知曲线
49360022xyxy()，，点A在曲线上移动，点C（6，4），
以AC为对角线作矩形ABCD，使AB∥x轴，AD∥y轴，求矩形ABCD的面积最小时点A坐标。
[参考答案]
1.证明：椭圆
x
a
y
b
2
2
2
2
10()ab的两焦点FcFc
12
00()()，、，，相应的准线
方程分别是x
a
c
x
a
c
22
和。
∵椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率，
∴
||||PF
x
a
c
e
PF
a
c
x
e1
0
2
2
2
0
，。
化简得||||PFaexPFaex
1020
，。
点评：||||PFPF
12
、都是椭圆上的点到焦点的距离，习惯称作焦半径，
||||PFaexPFaex
1020
，称作焦半径公式，结合这两个公式，显然到焦点距离最远
（近）点为长轴端点。
2.解：设P点的坐标为（x，y），F1、F2分别为椭圆的左、右焦点。
∵椭圆的准线方程为x±
25
4
，
∴
||||PF
x
PF
x
12
25
4
25
4
∵||||PFPF
12
2
∴，∴
2
25
4
25
4
25
12
22
||||PF
x
PF
x
x
把代入方程x
xy
25
12259
1
22
得±y
119
4
因此，P点的坐标为()
25
12
119
4
，±。
点评：解决椭圆上的点到两焦点的距离（焦半径）问题，常利用椭圆的第二定义或焦半
径公式。如果利用焦半径公式，应先利用第二定义证明焦半径公式。
3.
32
3
解析：椭圆的方程可写成
()()
||
xy
xy
11
4333
5
1
2
22
，
∴
c
a
1
2
①
一个焦点是（－1，1），相对应的准线方程是43330xy，
∴
a
c
c
24333
5
8
||
②
由①、②得aa
16
3
2
32
3
，∴。
4.解：∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，
∴ac23
又e
c
a
3
2
，
∴，故ab21
∴椭圆的方程为
y
x
2
2
4
1
5.解：设P（x，y）为椭圆上任意一点，
∵椭圆的一个焦点是F（1，1），
与它相对应的准线是xy40，离心率为
2
2
，
∴
()()
||
xy
xy
11
4
2
2
2
22
∴
41414222()()()xyxy，
即
3328022xyxy为所求。
6.解：设P()xy
00
，，椭圆的准线方程为y
a
c
±
2
，不妨设F1、F2分别为下焦点、上
焦点
则
||||PF
y
a
c
c
a
PF
a
c
y
c
a
1
0
2
2
2
0
，
∴，||||PF
c
a
yaPFa
c
a
y
1020
∴·||||()()PFPFa
c
a
ya
c
a
y
1200
a
c
a
y2
2
2
0
2
∵aya
0
，
∴当y
0
0时，||||PFPFa
12
2·最大，最大值为
当yaPFPFacb
012
222±时，·最小，最小值为||||
因此，||||PFPF
12
·的取值范围是[]ba22，
7.解：设直线l的方程为yx12()
由
，
消去
yx
xy
t
y
12
8
1
22
()
得()txxt84872802，
由已知，
xx
t
12
2
24
8
2
，解得t4，
∴椭圆方程为
xy22
84
1
8.解：设M（x，y），由椭圆方程得abc543，，，
∴e
3
5
故1625
9
2512
2222||||()()MFMFaexaexaexx·，
∴x=±5。代入椭圆方程，得y0，
∴所求点M为（5，0）或（－5，0）
9.解：设A(cossin)32，，
()0
2
，，
则BCD(sin)()(cos)626434，，，，，，
SABAD
ABCD
||||(cos)(sin)·6342
24126(sincos)sincos，
令tt
t
sincos(]sincos，则，，12
1
2
2
，
St
ABCD
3292()
当时，，此时，，tSA227122
4
3
2
22
min
()