单位向量是什么
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2023年2月15日发(作者：椒盐牛排)课题：平面向量概念
学校凤城高中姓名吴茂文
一、教学目标：
（1）使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正
确进行平面向量的几何表示。
（2）让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量
基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
（3）通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发
学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣．
二、教学重点、难点：
1、重点：理解并掌握向量的概念、相等向量的概念,向量的几何表示等.
2、难点：向量的概念和共线向量的概念
三、教学方法：
启发式、小组讨论．
四、教学过程：
（一）课题引入
(情境导入)如图,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方
向的D处追去,猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没
用,因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此
展开新课.
（二）新知探究
问题1在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？
问题2在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一
些这样的量吗？
请各举出几个只有大小和既有大小又有方向的量
在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，没
有方向的量叫数量
1、向量的概念
请举出物理中的数量（也叫标量）和向量（也叫矢量）的实例，并进行比较。
（数量：距离、身高、质量、时间、面积等
向量：位移、力、速度、加速度、电场强度等）
向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量
问题①如何表示向量?
问题②有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么?
问题③长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量?
问题④满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗?
问题⑤如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量？这时各
向量的终点之间有什么关系?
2、向量的几何表示
(1)向量用有向线段表示向量，长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向
量的方向。如：AaB
上面的向量可表示为AB
，A为向量的起点，B为向量的终点，也可表示为a
.
特别注意：把有向线段（即向量）任意平移，向量不变，即看作同一向量，因
为向量的大小和方向没有改变。
（2）向量的有关概念:
有向线段及有向线段的三要素；向量的模(长度)
（3）两个特殊向量
零向量，记作＿＿；单位向量
3、两种特殊位置关系
（1）相等向量
（2）共线向量
a
b
ab
方向相同或相反的非零向量叫平行向量（也叫共线向量）。再规定零向量与任何向
量平行。
（三）典型例题
例1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
(1)ABCD中,AB与CD是共线向量;
(2)单位向量都相等.
解:(1)正确;(2)不正确.
点评:本题考查基本概念,对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握
好.
例2.如图8,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中所示向量与、OC、OB、OA
相等的量.
解:OA=CB=DO;OB=DC=EO;OC=AB=ED=FO.
点评:向量相等是一个重要的概念,今后经常用到.让学生在训练中明确,向量
a
b
c
d
相等不仅大小相等,还要方向相同.
变式训练
本例变式一:与向量OA长度相等的向量有多少个？(11个)
本例变式二:是否存在与向量OA长度相等、方向相反的向量？(存在)
点评:向量相等是一个重要的概念,今后经常用到.让学生在训练中明确,向量相等不
仅大小相等,还要方向相同.
（四）拓展提升
例3下列命题正确的是()
A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
答案:C
点评:对于有关向量基本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行
考虑.即要判断一个结论不正确,只需举一个反例即可.要启发学生注意这两方面的
结合.
变式训练
在图中的方格纸中有一个向量AB
，
分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB
相等的向量有多少个？与AB
长度相等的共线向量B
有多少个？（AB
除外）
答案：(1)7个(2)15个
（五）归纳小结A
1.向量的概念
2.两个特殊向量：零向量、单位向量。
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3.两种特殊关系：共线向量(平行向量)；相等向量
4.向量的表示方法：几何表示法;字母表示法
五、作业布置
1.书面作业：P77．习题2.1中3、4、5
2.探究性作业：本节无
六、教学反思
（课后反思，课堂教学的成功与不足之处，学情把握等）
本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量
的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,
字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等
向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把
握好.
七、超级链接
习题
1.判断:
(1)平行向量是否一定方向相同？
(2)不相等的向量是否一定不平行？
(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？
(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？
(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？
(6)两个非零向量相等当且仅当什么？
(7)共线向量一定在同一直线上吗？
答案：（1）不一定；（2）不一定；（3）零向量；（4）零向量；（5）平行向量；
（6）长度相等且方向相同；（7）不一定
2.下列说法正确的是()
（A)方向相同或相反的向量是平行向量.
（B)零向量是0.
（C)长度相等的向量叫做相等向量.
（D)共线向量是在一条直线上的向量.
答案：B
3.把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是
()
A.一条线段B.一段圆弧C.两个点D.一个圆
答案:D
4.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点,则这些向量的终点所构
成的图形是()
A.一个点B.两个点C.一个圆D.一条线段
答案:B
5.等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E、F分别在两腰
AD、BC上，EF过点P且EF∥AB，则下列等式正确的是（）
A．ADBC
B．ACBD
C．PEPF
D．EPPF
答案：D
6.已知a、b是任意两个向量,下列条件:
①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相反;
④a=0或b=0;⑤a与b都是单位向量.
能判定向量a与b平行的是_____.
答案：①③④
7.如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED,OCFB都是正方形，在图
中所示的向量中：（1）分别找出与BOAO,相等的向量；（2）找出与AO共线的
向量（3）向量AO与CO是否相等？
AB
EOF
DC
答案：（1）AEBOBFAO,；（2）与AO共线的向量有：DECOBF,,；（3）
向量AO与CO不相等，因为他们的方向不相同。
8.一个人从A点出发沿东北方向走了100m到达B点,然后改变方向,沿南偏东15°
方向又走了100m到达C点,求此人从C点走回A点的位移.
解:根据题意画出示意图,如图所示.
|AB|=100m,|BC|=100m,∠ABC=45°+15°=60°,
∴△ABC为正三角形.
∴|CA|=100m,即此人从C点返回A点所走的路程为100m.
∵∠BAC=60°,
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向为西偏北15°.
故此人从C点走回A点的位移为沿西偏北15°方向100m.
方法指导和本节地位：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，是沟通代数、几
何与三角的有力工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的
应用。在高考中，可以单独出题，也可作为桥梁连接其他知识或作为工具来解决问
题。
本节内容是向量概念，基础的东西，作简单的了解，高考一般为简单题目出现。